2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案(B卷).doc

2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案（B卷）1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．函数在上的最小值是 （ B ）A．3 B．2 C．1 D．0[解] 当时，，因此，当且仅当时上式取等号．而此方程有解，因此在上的最小值为2．2．设，，若，则实数的取值范围为 （ A ）A． B． C． D． [解] 因有两个实根 ，，故等价于且，即且，解之得．3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为 　　　 （ C ）A. 　 B. 　 C. 　 　 D. [解法一] 依题意知，的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 ．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有　，　，　　　　，故．[解法二] 依题意知，的所有可能值为2，4，6.令表示甲在第局比赛中获胜，则表示乙在第局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得， ， ，故．4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三个正方体的体积之和为 （ D ）A. 586 cm3 　 B. 586 cm3或564 cm3 　 C. 764 cm3　 　 D. 764 cm3或586 cm3[解] 设这三个正方体的棱长分别为，则有，，不妨设，从而，．故．只能取9，8，7，6．若，则，易知，，得一组解．若，则，．但，，从而或5．若，则无解，若，则无解．此时无解．若，则，有唯一解，．若，则，此时，．故，但，故，此时无解．综上，共有两组解或体积为cm3或cm3．5．方程组的有理数解的个数为 （ C ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1[解] 若，则解得或若，则由得． ①由得． ② 将②代入得． ③由①得，代入③化简得.易知无有理数根，故，由①得，由②得，与矛盾，故该方程组共有两组有理数解或6．设的内角所对的边成等比数列，则的取值范围是 （ B ）A. B. C. D. [解] 设的公比为，则，而 　　．因此，只需求的取值范围．因成等比数列，最大边只能是或，因此要构成三角形的三边，必需且只需且．即有不等式组即解得从而，因此所求的取值范围是．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设，其中为实数，，，，若，则　 17 .[解] 由题意知，由得，，因此，．因此　．8．设的最小值为，则．[解] ，(1) 时，当时取最小值；(2) 时，当时取最小值1；(3) 时，当时取最小值．又或时，的最小值不能为，故，解得，(舍去)．9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有　 222　　种．[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用表示名额．如　　 表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“”与每个“”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有种．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．[解法二]　设分配给3个学校的名额数分别为，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程　　　　　．的正整数解的个数，即方程的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．10．设数列的前项和满足：，，则=．[解] ，即 2=，由此得 2．令， ()，有，故，所以．因此　．11．设是定义在上的函数，若 ，且对任意，满足 ，，则=．[解法一] 由题设条件知 ，因此有，故 ．[解法二] 令，则 ，，即，故，得是周期为2的周期函数，所以．12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是． 答12图1[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．因，故，从而．记此时小球与面的切点为，连接，则．答12图2考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如答12图2．记正四面体的棱长为，过作于．因，有，故小三角形的边长．小球与面不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）．　　　　　　　　　 又，，所以．由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．已知函数的图像与直线 有且仅有三个交点，交点的横坐标的答13图最大值为，求证： 　　　　　　．[证] 的图象与直线 的三个交点如答13图所示，且在内相切，其切点为，． 由于，，所以，即． 因此 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14．解不等式．[解法一] 由，且在上为增函数，故原不等式等价于 ．　　　　　　　　　　　　　　即　　　　　　 ．　　　　　　　　　　　　　　分组分解　　　 ，，　　　　　　　　所以　　　，　　　　　． 所以，即．故原不等式解集为． 　 [解法二] 由，且在上为增函数，故原不等式等价于．　　　　　　　　　即， ， 　 令，则不等式为， 显然在上为增函数，由此上面不等式等价于 ， 即，解得　，故原不等式解集为． 　 题15图15．如题15图，是抛物线上的动点，点在直线上，圆内切于，求面积的最小值．[解] 设，不妨设．直线的方程:，化简得 ．又圆心到的距离为1， ， 故，展开得，易知，故，同理有． 　　　　　　　　　　　　　 所以，，．因是抛物线上的点，有，即，则，故，． 所以 ．当时，上式取等号，此时．因此的最小值为8． 2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（B卷） 第9页（共9页）。