等腰直角三角形模型、三垂直模型.doc

全等三角形的经典模型(一)题型一：等腰直角三角形模型等腰直角三角形数学模型思路：⑴利用特殊边特殊角证题(AC=BC或90°4545)如图1;⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题如图2;⑶补全为正方形如图3，4.图3图4例1】RtABCAB=ACBAC・90°OBCOABCA、B、CMN段ACAB上移动AN=CM.OMNMNCAABAN=CMC解析】例2】解析】OA=OB=OC⑵连接OA,OA=OCBAOC・45°AN=CMANOCMOON=OMNOAMOCNOABONMOCBON・90・NOM90OMN是等腰直角三角形ONM依然为等腰直角三角形，证明：BAC=90°,AB=AC,O为BC中点BAO=OAC=ABC=ACB=45°,AO=BO=OC,在厶ANO和厶CMO中，ANCMBAOCAOCOANOCMO(SAS)ON=OM,AON=COM,又COMAOM=90°,OMN为等腰直角三角形.3060ADEABCE,:A,C:BDBDMMEMCEMC△EMC是等腰直角三角形.证明：连接AM.由题意，得DEAC,DAEBAC・90,DAB・90.・•・DAB为等腰直角三角形.：DMMB,MMAMBDM,MDAMAB45.MDEMACB105,:EDMCAM.:EMMC,DMEAMC.又EMCEMAAMCEMADME90.CMEM,:EMC是等腰直角三角形.例3】：如图，△ABC中，ABACAFBDEBCFADBCDFBAC90°，DDFAC【解析】证法一：如图，过点A作ANBC于N,交BD于M.ABAC，BAC90°，3DAM45°.F3C.1BAE90°2BAE90°.CC45°，AFBD，BAC90°12.在△ABM和△CAF中1ABAC3CABMCAFAMCFADM和CDF中ADCDDAMCAMCFADMCDFADBCDF．证法二：如图，作CMAC交AF的延长线于M.AFBD，3290BAC90°，1290°，13.在△ACM和△BAD中，13ACABACMBAD90ACMBAD.MADB，ADCMADDC，CMCD.在△CMF和△CDF中，CFCFMCFDCF45°CMCDCMFCDF.MCDFADBCDF.例4】ABCACBCACB・90°PABCPBPC，APACBCP.15・BC【解析】补全正方形ACBD，连接DP,易证ADP是等边三角形，DAP60,BAD45■ BAP・15,PAC30,ACP75,■ BCP.15RtABCBAC=90°AB=ACMACBMADBMBCDDMAMB=CMD【解析】作等腰RtAABC关于BC对称的等腰RtABFC,延长AD交CF于点N,ANBM,由正方形的性质，可得AN=BM,易证RtAABMRtACAN,AMB=CND,CN=AM,M为AC中点，CM=CN,VZ1=Z2，可证得厶CMD34CND,:./CND=/CMD,.•.ZAMB=ZCMD.探究二】判定三角形形状【备选2】如图，RtAABC中,/BAC=90°,AB=AC,AD=CE,AN丄BD于点M,延长BD交NE的延长线于点F,试判定ADEF的形状.【解析】作等腰RtAABC关于BC对称的等腰RtABHC,可知四边形ABHC为正方形，延长AN交HC于点K,•ZAK丄BD，可知AK=BD，易证:RtAABD^Rt^CAK,:.ZADB=ZCKN，CK=AD，•.•AD=EC，:.CK=CE，易证△CKN^ACEN，:.ZCKN=ZCEN，易证ZEDF=ZDEF，：.ADEF为等腰三角形.探究三】利用等积变形求面积【备选3】如图，RtAABC中，ZA=90°,AB=AC,D为BC上一点，DEIIAC,DF〃AB,且BE=4,CF=3,求S矩形DFAE・FA【解析】作等腰RtAABC关于BC的对称的等腰RtAGCB，可知四边形ABGC为正方形，分别延长FD、ED交BG、CG于点N、M,可知DN=EB=4，DM=FC=3，由正方形对称性质，可知S^m=S=DM^DN=34=12.矩形DFAE矩形DMGN探究四】求线段长【备选4】如图，AABC中，AD丄BC于点D,ZBAC=45°,BD=3,CD=2,求AD的长.分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽管已知条件不是等腰直角三角形，但•.•ZBAC=45。

若分别以AB.AC为对称轴作RtAADB的对称直角三角形和RtAADC的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为90°的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形．【解析】以AB为轴作RtAADB的对称的RtAAEB，再以AC为轴作RtAADC的对称的RtAAFC.可知BE=BD=3，FC=CD=2，延长EB、FC交点G，•.•ZBAC=45由对称性，可得ZEAF=90°，且AE=AD=AF，易证四边形AFGE为正方形，且边长等于AD，设AD=x，则BG=x_3,CG=x—2,在RtABCG中，由勾股定理，得B252，解得x=6，即AD=6.探究五】求最小值【备选5】如图，Rt^ABC中，ZACB=90AC=BC=4,M为AC的中点，P为斜边AB上的动点，求PM+PC的最小值.【解析】将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作Rt^ACB关于AB对称的RtAADB，可知四边形ACBD为正方形，连接CD，可知点C关于AB的对称点D，连接MD交AB于点P，连接CP，则PM+PC的值为最小，最小值为:PM+PC=DM=P42・222y5.常见三垂直模型已知AB丄BD,ED丄BD,AB=CD,BC=DE,⑴求证：AC丄CE；⑵若将ACDE沿CB方向平移得到①②③④等不同情形，ABCD,1其余条件不变，试判断AC丄C]E这一结论是否成立？若成立，给予证明；若不成立，请说明理由.【解析】(l)TAB丄BD,ED丄BD:.BBBBDB90B在△ABC与5CDE中ABCDBDBCDE・•・△ABC◎△CDE(SAS)・•・B1BBE•・•B2BBEB90B:.BACEB90即AC丄CE⑵图①②③④四种情形中，结论永远成立，证明方法与⑴完全类似，只要证明△ABC^△CDE1・ACBC1ED•・•CEDDCE・90・・•・DCEACB・90・111.•.AC丄C]E例5】解析】x正方形ABCD中，点A、形边长及顶点C的坐标.x【点评】此题中三垂直模型:B的坐标分别为,10,4点C在第一象限.求正方计算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边过点C作CG丄x轴于G,过B作BE丄y轴于E,并反向延长交CG于F点A、B的坐标分别为,10,4・；.BE=8，AE=6,:.AB=10T四边形ABCD是正方形，；AB=BC•・•l・90・・2190；・lM2•/AEBBFC・90・；・△AEB竺ASFC；CF=BE=8，BF=AE=6；CG=12EF=14；C（14，12），正方形的边长为10；ECBABD，【例6】如图所示，在直角梯形ABCD中，ABC・90,AD〃BC,ABBC,E是AB的中点，CEBD.⑴求证：BEAD；(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；⑶△DBC是等腰三角形吗？请说明理由.【解析】⑴•/ABC・90,BDEC，；・ECBDBC.90ABDDBC.90,•・•ABCDAB・90・ABBC,・•・△BAD^△CBE,:.ADBE.(2)TE是AB中点，・•・EBEA由⑴得：ADBE，・AEAD•・•AD〃BC,・•・CADACB45,•・•BAC45,・BACDAC由等腰三角形的性质，得：EMMDAMDE即AC是线段ED的垂直平分线.⑶厶DBC是等腰三角形，CDBD由2得：CDCE,由⑴得：CEBD:.CDBD,・•・△DBC是等腰三角形.巅峰突破【例7】⑴如图1,AABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BD=CE,连接AE、CD相交于点P.请你补全图形，并直接写出ZAPD的度数=;⑵如图2,RtAABC中，ZB=90°,M、N分别是AB.BC上的点，且AM=BC.BM=CN,连接AN、CM相交于点P.请你猜想ZAPM=。

并写出你的推理过程.B【解析】⑴图略，60°⑵45证明：作AE丄AB且AECNBM.可证△EAM9△MBC・ MEMC，AMEBCM.•・•CMBMCB90・•・CMBAME90・•・EMC90・•・△EMC是等腰直角三角形,・MCE45又AECCAN(SAS)・ ECANAC.・•・EC^AN.:.APMECM.45.题型一等腰直角三角形模型巩固练习练习1】△BDCACB、△ECD均为等腰直角解析】AEC练习2】RtABCACB90°EBFACCECADBACBCDBCCEADF．求证AC2BF．E【解析】JACB90°,BFAC,:.ACDCBF90°,ADCCAD90°．JCEAD，・•・FCBADC90°,:.CADFCB.又:ACCB,:.ADCCFB.・•・DCFB.•:D是BC的中点，・•・BC2BF,即AC2BF.B题型二三垂直模型巩固练习练习3】ABCDADABEBCAE=AD，DFAEFDFAB【解析】经探求，结论是：DF=AB.证明如下：四边形ABCD是矩形，B=90,ADBC,DAF=\AEB.DFAE,AFD=90,AE=AD,\ABEDFA.AB=DF.【练习4】ABCACBCBCA90°AECDCDEBFCDF【解析】根据条件，ACE、CBF都与BCF互余,ACECBF.AB上任意一点，：EFBFAE【练习5】ABCD1GBCFDEAGEABF在ACE和CBF中，ACCB,AECCFB90°°ACECBF.则CEBF,AECF,EFCECFBFAE.要证明）；如图2，点G是CD边上任意FDEAGEEFAFBF(BCDAE)AG(BFAG(c、。