2022年高考数学压轴题及答案.docx

2022年高考数学压轴题1.已知抛物线，=2px (p>0)上一点尸的横坐标为4,且P到焦点厂的距离为5,直线/T T Q交抛物线于A, B两点(位于对称轴异侧)，且8=*(I)求抛物线的方程；(II)求证：直线/必过定点.【解答】解：(I )由题可得点尸到抛物线准线的距离为5,抛物线的准线方程为x=+，由抛物线的定义知4+介5,解得p=2,故抛物线的方程为y2=4x；(H)证明：易知直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为-y 2A (才，yj，B (才，y2),且yiyzVO,联立方程，2 ,消去x可得夕-4〃zy - 4/=0,则△ = 16〃/+]6/>0,且巾+”=4〃7, y\y2= - 4r,小 二 9俎(以乃)2 , 9由 04 - ob =彳得f — + y/2 =解得yi”= - 18或2 (舍去)，所以-4，= - 18,可得U天即直线AB的方程为x=my+l，令 y=0,则 ％=2，9所以直线/必过定点(]0).2.己知函数/ (x) = - (a - 1) x^-a.(I )若xi，是/(x)的两个极值点，求的取值范围；(II)在(I)的条件下，若根>/(切)4/(x2)恒成立，求实数机的取值范围.【解答】解：(I )由题意得f G)的定义域是(0, +8), / (x) =x-lnx-a, 设 g (x) =f (x),则 g' (x) =1 — 1 = 7，当0l时，gf (x) >0,函数，(x)单调递增，故/ (公 的单调递减区间是(0, 1),单调递增区间是(1, +8),X2是/(X)的两个极值点，即XI，X2是/ (X)的两个不同的零点，故/ (1) <0,即 1-aVO,解得：«>1,,:f (26r) =2。

In2a - a=a - ln2a=a - Ina - ln2>a - Ina - 1 >0,故存在 X2E(1，2a)使得/ (%2)=0，XV/ D =e'a- lne'a-a=e'a>0,故存在xiW (e af 1),使得/ (xi) =0,故当在(0, xi)时，/ (x) >0,函数f (x)单调递增，当xW (xi，x2)时，/ (x) <0,函数f (x)单调递减，当XW(X2, +8)时，f (x) >0,函数/(x)单调递增，故当〃>1时，甩是:(X)的极大值点，X2是/(X)的极小值点；(II )不妨设 OVjqVl, X2> 1»由f(X2)为极小值，2-幻>1 得f(X2)W/(2-Xl),故/ (用)+f(X2)Wf(XI ) ■+/ (2 - XI ),令〃 (x) =f (x) V(2-x), (0(p (1) =0,故/ (x) >0,故函数〃 (x)在(0, 1)上单调递增，故〃 (x)