特殊三角形复习.ppt

 等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定 1.性质性质     (1)等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等       (2)等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两腰相等.        (3)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合   2.判定判定有两边相等的三角形是等腰三角形有两边相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形等边三角形等边三角形:1 三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形2三条边都相等的三角形是等边三角形三条边都相等的三角形是等边三角形.3有一个角等于有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形v等腰三角形性质与判定的应用等腰三角形性质与判定的应用（（1）计算角的度数）计算角的度数　　利用等腰三角形的性质，结合三角形　　利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用三角形性质的重要应用①①已知角的度数，求其它角的度数已知角的度数，求其它角的度数②②已知条件中有较多的等腰三角形（此时已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未知数表示图中的角，从中得往往设法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组）到含这些未知数的方程或方程组）（（2）证明线段或角相等）证明线段或角相等以等腰三角形为条件时的常用辅助线以等腰三角形为条件时的常用辅助线:如图：若如图：若AB=ACv①①作作AD⊥⊥BC于于D，必有结论，必有结论:∠∠1=∠∠2，，BD=DCv②②若若BD=DC，连结，连结AD，必有结论：，必有结论：∠∠1=∠∠2，，AD⊥⊥BCv③③作作AD平分平分∠∠BAC,必有结论：必有结论：   AD⊥⊥BC，，BD=DCv作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作作AD⊥⊥BC，使，使∠∠1=∠∠2.直角三角形全等的判定方法：直角三角形全等的判定方法：ABCA′B′C′1)ASA, ASA, AASAAS2)SASSAS3) SSS3) SSS4) HL4) HL 1 1 在直角三角形中，两个锐角在直角三角形中，两个锐角______________。

2 2、直角三角形、直角三角形__________________________的平方和等于的平方和等于______________的的平方如果用字母平方如果用字母a,ba,b和和c c分别表示直角三角形的两条分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么直角边和斜边，那么_____+ _____=__________+ _____=_____3 3、如果三角形中、如果三角形中______________两边的平方和等于两边的平方和等于____________一边一边的平方，那么这个三角形是直角三角形，的平方，那么这个三角形是直角三角形，________________所对所对的角是直角的角是直角4 4、在直角三角形中，如果一个锐角等于、在直角三角形中，如果一个锐角等于 __________度，度，那么它所对的直角边等于那么它所对的直角边等于__________________的一半5 5、在直角三角形中，如果一条直角边等于、在直角三角形中，如果一条直角边等于___________,___________,那么这条直角边所对的角等于那么这条直角边所对的角等于30300 0互余互余互余互余两两两两直角边直角边直角边直角边斜边斜边斜边斜边a a2 2b b2 2c c2 2较小较小较小较小较大较大较大较大斜边斜边斜边斜边3030斜边斜边斜边斜边斜边的一半斜边的一半3 3 3 3、、、、如果等腰三角形底边上的如果等腰三角形底边上的如果等腰三角形底边上的如果等腰三角形底边上的高线等于腰长的一半，那么高线等于腰长的一半，那么高线等于腰长的一半，那么高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的三内角这个等腰三角形的三内角这个等腰三角形的三内角这个等腰三角形的三内角分别是分别是分别是分别是____________________________________________________________。

4 4 4 4、一艘轮船以、一艘轮船以、一艘轮船以、一艘轮船以16161616千米千米千米千米/ / / /时的速度离开港口向东北方向航时的速度离开港口向东北方向航时的速度离开港口向东北方向航时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以行，另一艘轮船同时离开港口以行，另一艘轮船同时离开港口以行，另一艘轮船同时离开港口以12121212千米千米千米千米/ / / /时的速度向东南时的速度向东南时的速度向东南时的速度向东南方向航行，那么它们离开港口方向航行，那么它们离开港口方向航行，那么它们离开港口方向航行，那么它们离开港口1.51.51.51.5小时后，相距小时后，相距小时后，相距小时后，相距________________________________________千米温故知新温故知新:（一）填空（一）填空（一）填空（一）填空1 1 1 1、在、在、在、在ΔABCΔABCΔABCΔABC中，如果中，如果中，如果中，如果∠∠∠∠A+ ∠B= ∠CA+ ∠B= ∠CA+ ∠B= ∠CA+ ∠B= ∠C，且，且，且，且AC=1/2ABAC=1/2ABAC=1/2ABAC=1/2AB，，，， 则则则则∠∠∠∠B=_______B=_______B=_______B=_______ 。

2 2 2 2、、、、如图如图如图如图ΔABCΔABCΔABCΔABC中，中，中，中， ∠∠∠∠ACB=90ACB=90ACB=90ACB=90o o o o,CD ⊥AB,,CD ⊥AB,,CD ⊥AB,,CD ⊥AB,垂足是垂足是垂足是垂足是D,D,D,D,BC=5cmBC=5cmBC=5cmBC=5cm，，，，BD=1/2BCBD=1/2BCBD=1/2BCBD=1/2BC，则，则，则，则AD=AD=AD=AD= cmcmcmcmACBD30o7.57.53030o o 3030o o 120120o o3030vv( (二二) )、选择vv1 1、满足下列条件的、满足下列条件的ΔABCΔABC，，不是直角三角形的不是直角三角形的是：（是：（ ））vvA A、、b b2 2=a=a2 2-c-c2 2 B B、、 ∠ ∠C=∠A-∠B C=∠A-∠B vvC C、、∠∠A A：：∠∠B B：：∠∠C=3C=3：：4 4：：5 5 vvD D、、a:b:ca:b:c=12:13:5=12:13:5vv2 2、、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（的是（ ））vvA A、一条、一条直角边和一个锐角分别相等直角边和一个锐角分别相等 vvB B、、两条直角边对应相等两条直角边对应相等vvC C、、斜边和一条直角边对应相等斜边和一条直角边对应相等 vvD D、两个锐角对应相等、两个锐角对应相等vv 3 3、如图，、如图，EA⊥ABEA⊥AB，，BC⊥ABBC⊥AB，，AB=AE=2BCAB=AE=2BC，，D D为为ABAB的中点的中点, ,有以下判断有以下判断,(1)DE=AC (2)DE⊥AC,,(1)DE=AC (2)DE⊥AC,(3) ∠CAB=30(3) ∠CAB=30o o (4) ∠EAF=∠ADE, (4) ∠EAF=∠ADE,其中正确其中正确结论的个数是结论的个数是:( ):( )A A、、 一个一个 B B、、两个两个 C C、、三个三个 D D、、四个四个4 4、如图，在、如图，在ΔABCΔABC中，中，∠∠ACB=90ACB=90o o ，，CDCD是高线，是高线，E E是是ABAB上一点，且上一点，且AE=ACAE=AC，，∠∠ACEACE：：∠∠ACD=3ACD=3：：1 1，，则与则与∠∠DCEDCE相等的角是（相等的角是（ ））A A 、、∠∠A BA B、、 ∠ ∠B C B C 、、 ∠ ∠BCE DBCE D、、以上都错以上都错EFCBDA第三题第三题BACDE第四题第四题6 6 6 6、如图，某校、如图，某校、如图，某校、如图，某校A A A A与公路距离为与公路距离为与公路距离为与公路距离为3000300030003000米，又与该公路旁米，又与该公路旁米，又与该公路旁米，又与该公路旁上的某车站上的某车站上的某车站上的某车站D D D D的距离为的距离为的距离为的距离为5000500050005000米，现要在公路边建一个米，现要在公路边建一个米，现要在公路边建一个米，现要在公路边建一个商店商店商店商店C C C C，，，，使之与该校使之与该校使之与该校使之与该校A A A A及车站及车站及车站及车站D D D D的距离相等，则商店与的距离相等，则商店与的距离相等，则商店与的距离相等，则商店与车站的距离约为（车站的距离约为（车站的距离约为（车站的距离约为（ ））））（（（（A A A A））））875875875875米（米（米（米（B B B B））））3125312531253125米（米（米（米（C C C C））））3500350035003500米（米（米（米（D D D D））））3275327532753275米米米米CDA5 5、如图，一个长为、如图，一个长为2525分米的梯子，斜立在一竖直的分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端墙上，这时梯足距墙底端7 7分米，如果梯子的顶端沿分米，如果梯子的顶端沿墙下滑墙下滑4 4分米。

那么梯足将滑（分米那么梯足将滑（ ））（（A A））1515分米（分米（B B））9 9分米（分米（C C））8 8分米（分米（D D））5 5分米分米例例1.如图，已知在如图，已知在△△ABC中中,AB=AC,BD⊥⊥AC于于D，，CE⊥⊥AB于于E，，BD与与CE相交于相交于M点求证：点求证：BM=CM说明：本题易习惯性说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽地用全等来证明，虽然也可以证明，但过然也可以证明，但过程较复杂，应当多加程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质强等腰三角形的性质和判定定理的应用和判定定理的应用例例2.已知：如图已知：如图∠∠A=90°∠∠B=15°，，BD=DC.请说明请说明AC=    BD的理由的理由.例例3.已知：如图，已知：如图，∠∠C=90°,BC=AC，，D、、E分别在分别在BC和和AC上，上，BD=CE，，M是是AB的中点的中点.求证：求证：△△MDE是等腰三角形是等腰三角形.例例4.如图，在等边如图，在等边△△ABC中中,AF=BD=CE,请请说明说明△△DEF也是等边三角形的理由也是等边三角形的理由.说明：证明等边三角形有三说明：证明等边三角形有三种思路：种思路：①①证明三边相等证明三边相等②②证明三角相等证明三角相等③③证明三角形是有一个角为证明三角形是有一个角为60°的等腰三角形。

的等腰三角形具体问题中可利用不同的方具体问题中可利用不同的方式进行求解式进行求解　例例5 .如图如图2-8-1,中，中，AB=AC，，D为为AB上上一点，一点，E为为AC延长线上一点，且延长线上一点，且BD=CE，，DE交交BC于于G, 请说明请说明DG=EG的理由的理由.例例6. 如图如图2-8-6，在，在△△ABC中中,AB=AC=CB，，AE=CD, AD、、BE相交于相交于P，，BQ⊥⊥AD于于Q. 请说明请说明BP=2PQ的理由的理由.v思路思路  在在Rt△△BPQ中，中，本题的结论等价证明本题的结论等价证明∠∠PBQ=30° 说明说明: 本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方法值得同学们细心体会数，这种转换问题的方法值得同学们细心体会如图、在如图、在△△ABC中，中，D，，E在直线在直线BC上，上，AB=BC=AC=CE=BD求求∠∠EAC的度数探索：探索：如图、在如图、在△△ABC中，中，D，，E在直线在直线BC上，且上，且AB=AC=CE=BD，，∠∠DAE=100°，，求求∠∠EAC的度数v1. 下列结论叙述正确的个数为（下列结论叙述正确的个数为（     ））（（ 1））等腰三角形高、中等腰三角形高、中 线、角平分线重合；线、角平分线重合；（（ 2））等腰三角形两底角等腰三角形两底角 的外角相等；的外角相等；      （（ 3））等腰三角形有且只有一条对称轴；等腰三角形有且只有一条对称轴；（（ 4））有一个角等于有一个角等于60°的等腰三角形是等边三的等腰三角形是等边三角形。

角形 （（A））0个个   （（B））1个个 （（C））2个个 （（D））3个个2.等腰三角形顶角为等腰三角形顶角为36°，底角为，底角为____3.等腰三角形顶角和一个底角之和为等腰三角形顶角和一个底角之和为100°，，则顶角度数为则顶角度数为__4.等腰三角形两个角之比为等腰三角形两个角之比为4:1，则顶角为，则顶角为__,底角为底角为__5.等腰三角形两边长为等腰三角形两边长为4、、6，这个三角形周长为，这个三角形周长为_______6.已知已知△△ABC中中AB=AC，，AB垂直平分线交垂直平分线交AC于于E，交，交AB于于D，连结，连结BE，若，若∠∠A=50°，，∠∠EBC=______7.△△ABC中，中，AB=AC，，AD⊥⊥BC于于D，若，若△△ABC的的周长为周长为50，，△△ABD的周长为的周长为40，则，则AD=_______8.若等腰三角形顶角为若等腰三角形顶角为n度，则腰上的高与底度，则腰上的高与底边的夹角为边的夹角为_________　　9.9.　　如图，线段如图，线段ODOD的一个端点的一个端点O O在直在直线线a a上，以上，以ODOD为一边画等腰三角形，并为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线且使另一个顶点在直线a a上，这样的等上，这样的等腰三角形能画多少个腰三角形能画多少个? ?ＯＯＤＤ150°⌒⌒ＣＣaＥＥＦＦＨＨ10.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成２：１两部分，已知三角形底边长周长分成２：１两部分，已知三角形底边长为５，求腰长？为５，求腰长？解：如图，令解：如图，令CD＝＝x，则，则AD＝＝x，，AB＝＝2x∵∵底边底边BC＝＝5∴∴BC＋＋CD＝＝5＋＋x AB＋＋AD＝＝3x∴∴(5+x)：：3x＝＝2:1　或　或3x：：(5+x)=2:1ＡＡＢＢＣＣＤＤxx2x51111、如图，、如图，D D是正是正△△ABCABC边边ACAC上的中点，上的中点，E E是是BCBC延长线上一点，且延长线上一点，且CE=CDCE=CD，试说明，试说明BD=DEBD=DE的理由的理由. .AB C ED1 12 2解:∵ △ABC是正三角形 ∴ ∠ABC= ∠ACB=600 （ ） ∵ D是AC边上的中点 ∴∠1= ∠ABC=300（ ）∵CE=CD∴∠2= ∠E（ ）∵ ∠2+ ∠E= ∠ACB=600（ ）∴ ∠E=300， ∴ ∠1= ∠E∴BD=DE（ ）1212、如图，在、如图，在Rt△Rt△ABC中，中，∠∠ACB=90=900 0，， ∠∠CAB的平分线的平分线AD交交BC于于D，，AB边上的边上的高线高线CE交交AB于于E，交，交AD于于F，，求证：求证：CD=CFBACED123F分析：CD=CF∠1=∠2∠1=∠B+∠BAD∠2=∠3+∠DAC∠3=∠B∠1=90°－∠BAD∠２=90°－∠CAD∠ACB =90°，CE是AC边上高思考：若思考：若思考：若思考：若A A A A城与城与城与城与B B B B地的地的地的地的方向保持不变，为了确保方向保持不变，为了确保方向保持不变，为了确保方向保持不变，为了确保A A A A城不受城不受城不受城不受台风影响至少离台风影响至少离台风影响至少离台风影响至少离B B B B地多远？地多远？地多远？地多远？解：作解：作解：作解：作AD ⊥ BFAD ⊥ BFAD ⊥ BFAD ⊥ BF∵∵∵∵由已知可得：由已知可得：由已知可得：由已知可得：∠∠∠∠ FBA=30FBA=30FBA=30FBA=300 0 0 0∴ AD=1/2AB=150KM∴ AD=1/2AB=150KM∴ AD=1/2AB=150KM∴ AD=1/2AB=150KM 而而而而 150150150150＜＜＜＜200200200200∴∴∴∴ A A A A城会受到台风的影响城会受到台风的影响城会受到台风的影响城会受到台风的影响应用与延伸应用与延伸:例例7 7、如图，设、如图，设A A城市气象台测得台风中心，在城市气象台测得台风中心，在A A城城正西方向正西方向300300千米的千米的B B处，正向北偏东处，正向北偏东60600 0的的BFBF方向方向移动，距台风中心移动，距台风中心200200千米的范围内是受台风影响千米的范围内是受台风影响的区域，那么的区域，那么A A城是否受到这次台风的影响？为什城是否受到这次台风的影响？为什么？如果你是气象员，请你算一算。

么？如果你是气象员，请你算一算东东北北FBA600D例例8 8、如图，已知四边形、如图，已知四边形ABCDABCD中，中，∠∠B=90B=90°AB=4AB=4，，BC=3,AD=12BC=3,AD=12，，DC=13 DC=13 ，，求四边形求四边形ABCDABCD的面积的面积ABCDABCDE如图已知四边形如图已知四边形ABCDABCD中，中，∠∠A=60A=60°∠B=∠D=90∠B=∠D=90°，，BC=3BC=3，，CD=2CD=2，，求求ABAB2 2的值的值例例9 9、、如图，如图，A A、、E E、、F F、、C C在一条直线上，在一条直线上，AE=CFAE=CF过过E E、、F F分别作分别作DE⊥ACDE⊥AC，，BF⊥ACBF⊥AC，若，若AB=CDAB=CD，请，请说明：说明：1 1、、BDBD平分平分EFEFDBACEGF图（图（1））ABCDFGE图（图（2））2 2、若将、若将ΔΔDECDEC的边的边ECEC沿沿ACAC方向移动变为图方向移动变为图（（2 2）时其余条件不变，上述结论是否成）时其余条件不变，上述结论是否成立，请说明理由立，请说明理由。