2015年考研数学（一）真题及答案解析.pdf

2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题含解析年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题含解析 一、选择题一、选择题:18 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 32 分分.下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1)设函数在内连续，其中二阶导数的图形如图所示，则曲线的拐点的个数为 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】 （C） 【解析】拐点出现在二阶导数等于 0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由的图形可得，曲线存在两个拐点.故选（C）. (2)设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】 （A） 【分析】 此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】 由题意可知，、为二阶常系数齐次微分方程的解，所以 2,1 为特征方程的根，从而，从而原方( )f x, ( )fx( )yf x0123( )fx( )yf x211()23xxyexexyaybyce3,2,1 abc3,2,1 abc3,2,1 abc3,2,1abc212xe13xe0yayby20rarb(1 2)3a 1 22b 全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 1 页，共 14 页 程变为，再将特解代入得.故选（A） (3) 若级数条件收敛，则 与依次为幂级数的 ( ) (A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】 （B） 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为条件收敛，即为幂级数的条件收敛点，所以的收敛半径为 1，收敛区间为.而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故的收敛区间还是.因而与依次为幂级数的收敛点，发散点.故选（B）. (4) 设是第一象限由曲线，与直线，围成的平面区域，函数在上连续，则 ( ) (A) (B) (C) (D) 32xyyycexyxe1c 1nna3x3x1(1)nnnnax1nna2x 1(1)nnnax1(1)nnnax(0,2)1(1)nnnnax(0,2)3x 3x 1(1)nnnnaxD21xy 41xy yx3yx,fx yD,Dfx y dxdy 13sin2142sin2cos , sindf rrrdr1sin23142sin2cos , sindf rrrdr13sin2142sin2cos , sindf rrdr1sin23142sin2cos , sindf rrdr全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 2 页，共 14 页 【答案】 （B） 【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出 D 的图形， 所以， 故选（B） (5) 设矩阵，若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(D) 【解析】， 由，故或，同时或.故选（D） (6)设二次型 在正交变换为 下的标准形为 ， 其中 ，若 ，则在正交变换下的标准形为( ) (A) (B) (C) ( , )Df x y dxdy 1sin23142sin2( cos , sin )df rrrdr21111214Aaa21bdd1,2 Axb,ad,ad,ad,ad2211111111( , )1201111400(1)(2)(1)(2)A badadadaadd( )( , )3r Ar A b1a 2a 1d 2d 123,f x x xxPy2221232yyy123,Pe e e132,Qee e123,f x x xxQy2221232yyy2221232yyy2221232yyyxyo全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 3 页，共 14 页 (D) 【答案】(A) 【解析】由，故. 且. 由已知可得: 故有 所以.选（A） (7) 若 A,B 为任意两个随机事件，则 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(C) 【解析】由于，按概率的基本性质，我们有且，从而，选(C) . (8)设随机变量不相关， 且， 则 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(D) 【解析】 2221232yyyxPy222123()2TTTfx AxyP AP yyyy200010001TP AP100001010QPPC200()010001TTTQ AQCP AP C222123()2TTTfx AxyQ AQ yyyy P ABP A P B P ABP A P B 2P A P BP AB 2P A P BP AB,ABA ABB()( )P ABP A()( )P ABP B( )( )()( )( )2P AP BP ABP AP B,X Y2,1,3EXEYDX2E X XY335522(2)(2)()()2 ()E X XYE XXYXE XE XYE X全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 4 页，共 14 页 ，选(D) . 二二、填填空空题题：914 小小题题,每每小小题题 4 分分,共共 24 分分.请请将将答答案案写写在在答答题题纸纸指指定定位位置置上上. (9) 【答案】 【分析】此题考查型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换. 【解析】方法一： 方法二： (10) 【答案】 【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简. 【解析】 (11)若函数由方程确定，则 【答案】 【分析】此题考查隐函数求导. 【解析】令，则 2()()()( )2 ()D XEXE XE YE X2322 12 25 20lncoslim_.xxx12002000sinln(cos )tan1coslimlimlim.222xxxxxxxxxx 2222200001ln(cos )ln(1 cos1)cos112limlimlimlim.2xxxxxxxxxxxx 22sin()d_.1 cosxxxx2422202sin2.1 cos4xx dxxdxx( , )zz x ycos2xexyzxx(0,1)d_.zdx( , , )cos2zF x y zexyzxx( , , )1 sin ,( , , )zxyzF x y zyzx Fxz F x y zexy 全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 5 页，共 14 页 又当时，即. 所以，因而 (12)设是由平面与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则 【答案】 【分析】 此题考查三重积分的计算， 可直接计算， 也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得 ， 其中为平面截空间区域所得的截面，其面积为.所以 (13) 阶行列式 【答案】 【解析】按第一行展开得 0,1xy1ze 0z (0,1)(0,1)(0,1,0)(0,1,0)1,0(0,1,0)(0,1,0)yxzzFFzzxFyF (0,1).dzdx 1xyz(23 )_.xyz dxdydz1410(23 )66zDxyz dxdydzzdxdydzzdzdxdyzDzz21(1)2z112320011(23 )66(1)3(2).24xyz dxdydzzdxdydzzzdzzzz dzn20021202_.00220012122n1111200212022( 1)2( 1)2200220012nnnnnDDD 221222(22)2222222nnnnDD122n全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 6 页，共 14 页 (14)设二维随机变量服从正态分布，则 【答案】 【解析】由题设知，而且相互独立，从而 . 三三、解解答答题题：1523 小小题题,共共 94 分分.请请将将解解答答写写在在答答题题纸纸指指定定位位置置上上.解解答答应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤. (15)(本题满分 10 分) 设函数，若与在是等价无穷小，求的值. 【答案】 【解析】法法一一：原式 即 法法二二： ( , )x y(1, 0 ; 1,1, 0)N0_.P XYY12(1,1),(0,1)XNYNXY、0(1)010,010,0P XYYPXYP XYP XY 111111 01 022222P XP YP XP Y ln(1)sinf xxaxbxx3( ) g xkx fx g x0 x, ,a b k,.abk 1112330ln 1sinlim1xxaxbxxkx2333330236lim1xxxxxa xo xbx xo xkx2343301236lim1xaaba xbxxxo xkx10,0,123aaabk111,23abk 30ln 1sinlim1xxaxbxxkx全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 7 页，共 14 页 因为分子的极限为 0，则 ，分子的极限为 0， ， (16)(本题满分 10 分) 设函数在定义域 I 上的导数大于零，若对任意的，由线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为 4，且，求的表达式. 【答案】. 【解析】设在点处的切线方程为： 令，得到， 故由题意，即，可以转化为一阶微分方程， 即，可分离变量得到通解为：， 已知，得到，因此； 201sincos1lim13xabxbxxxkx1a 2012 cossin1lim16xbxbxxxkx12b 022 sinsincos13lim16xbxbxbxxxk13k 111,23abk fx0 xI =y fx00,x f x0 xxx 02f fxf xx8( )4 f x00,xf x000,yf xfxxx0y 000f xxxfx 00142f xxx000142f xf xfx28yy 118xCy 02y12C 11182xy 全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 8 页，共 14 页 即. (17)(本题满分 10 分) 已知函数， 曲线 C：， 求在曲线 C 上的最大方向导数. 【答案】3 【解析】因为沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模. ， 故，模为， 此题目转化为对函数在约束条件下的最大值.即为条件极值问题. 为了计算简单，可以转化为对在约束条件下的最大值. 构造函数： ，得到. 所以最大值为. (18)(本题满分 10 分) （I）设函数可导，利用导数定义证明 （II）设函数可导，写出的求导公式. 84f xx ,fx yxyxy223xyxy,fx y,f x y,1,1xyfx yy fx yx ,1,1gradf x yyx2211yx22,11g x yyx22:3C xyxy22( , )11d x yyx22:3C xyxy2222, ,113F x yyxxyxy222 1202 12030 xyFxxyFyyxFxyxy 12341,1 ,1, 1 ,2, 1 ,1,2MMMM 12348,0,9,9d Md Md Md M93( )( )u x ,v xu x v xu x v xu x v x ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )12nu x ,ux ,uxnf xu x u xux12( )( ) ( )( )( )f x全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题第 9 页，共 14 页 【解析】 （I） （II）由题意得 (19)(本题满分 10 分) 已知曲线 L 的方程为起点为，终点为，计算曲线积分. 【答案】 【解析】由题意假设参数方程， (20) (本题满 11 分) 设向量组内的一个基，. 0() ()。