(word完整版)高等数学(交大)教案第二章.doc

高等数学教案 第二章 一元函数微分学第二章 一元函数微分学内容及基本要求：1．理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系2．会用导数描一些物理量3．掌握导数的四则运行法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数双曲函数的公式，了解微分四则运算法则和一阶微分形式不变法4．了解高阶导数的概念5．掌握初等函数一阶、二阶导数的求法6．会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数学习重点：导数和微分概念；导数的四则运行法则和复合函数的求导法，基本初等函数、双曲函数的公式；初等函数一阶、二阶导数的求法；隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数学习难点：复合函数的求导法；隐函数和参数式所确定的函数的导数第一节 导数的概念一. 导数的定义1.问题的引入（以物理学中的速度问题为例，引入导数的定义）[自由落体运动的瞬时速度]已知作自由落体运动的物体的位移与其时间的函数关系是，求该物体在时刻的瞬时速度． （以均匀代替非均匀）首先从物体的内的平均速度入手；① 令物体移动时间从变化到；② 在这个时间段物体的位移为；③ 物体在这个时间段内的平均速度为.（以极限为手段）然后得到瞬时速度.① 易见愈小，时间内的平均速度的值就愈接近时刻的速度；② 因此，当时，的极限自然定义为物体在时刻的瞬时速度，即定义 .由此可见，物体在时刻的瞬时速度是函数的增量与自变量增量比值当的极限. 推广到一般，可以归结为一个函数的增量与自变量的增量之比，当趋于零时的极限．这种类型的极限我们称其为导数．2.导数的定义(1) 函数在一点处导数定义 设函数在内有定义，①当自变量在处取得增量(点仍在该邻域内)时；②相应地函数取得增量；③如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即 . 也可记为 , 或 ．也称函数增量与自变量增量之比是函数在以及为端点的区间上的平均变化率，导数是函数在点处的变化率，即瞬时变化率．(2) 函数在一点处导数——导函数将处导数定义中的换成，如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即 .显然，当 在某区间内变化时，是的函数. 因此称之为导函数. 导函数的记号还有, 或 ．(3)处导数与导函数的关系函数在点的导数是导函数在点处的函数值．即 .通常，导函数简称为导数．例1 求函数的导数以及在点的导数.3.不可导的情形由可导定义，如果的极限不存在，即有下述情况之一，称函数在点处不可导．（1）=； （2）无稳定的变化趋势.例2 （1）求函数在处的导数.（2）求函数在处的导数.4. 导数定义的不同形式（1）=； （2）=； （3）=； （4）=（5）=.例3 （1）已知存在，求.（2）已知，在处连续，求.（3） 计算极限.二. 导数的几何意义1. 导数的几何意义设曲线的方程为 , 是曲线上的一点，求曲线在点处的切线方程．（1）在曲线上另取一点，如图3所示，连接,两点，得割线．割线对轴的倾角为，其斜率为 ； 图3（2）当时，点沿曲线趋向点，割线的极限位置为曲线在点处的切线．此时 ==，其中是切线关于轴的倾角．从而曲线在点处的切线斜率为=．由此可知，函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率，即．其中是切线的倾角．因此曲线在点处的切线方程为；当时，法线方程为．特殊地，当时，曲线在点的切线平行于轴．当时，曲线在点的切线垂直于轴．此时，切线的倾角为．例4 求在点处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程． （答案 切线的斜率为，切线方程为；法线的斜率为 ，法线方程为 ）三.可导与连续的关系1.可导必连续设函数在点可导，即存在，由极限与无穷小量的关系知，其中是时的无穷小量﹒上式两端同乘以，得 ．由此可见，当时，． 即函数在点连续． 2. 连续未必可导例如，函数在点处连续（图1），但由例题2（1）知，在点处不可导． 同样，函数在点处连续（图2），但由例题2（2），中，在点处不可导. 由上面的讨论可知，函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件，所以如果函数在某点不连续，则函数在该点必不可导． 图1 图22.函数在某点可导与该点存在切线的关系（1）可导必有切线；因为函数在某点可导，则在该点切线的斜率存在，自然存在切线. （2）有切线未必可导.例如，曲线在点处有垂直于轴的切线（图2），但它在不可导．四.科学技术中的导数问题举例 变化率 当因变量随自变量均匀变化时，是的线性函数，改变单位长度时的改变量，即总是一个常数，它反映了随变化的快慢程度，叫做变化率。

求函数在点处变化率的方法可以归纳为以下两步：（1） 局部均匀化求近似值；（2） 利用求极限得精确值 设作变速直线运动的质点的运动方程为，质点在0时刻的瞬时速度是在点的导数值．例5 物体做直线运动的方程为，求（1）物体在秒时的速度；（2）物体运动的速度函数．第二节 求导的基本法则一.函数和、差、积、商的求导法则设在点处有导数,则 法则1:两个可导函数之和(差)的导数等于这两个函数的导数之和(差),即 证明 设,则 所以 例1 求的导数.解 例2 设,求及.解 ,(注意:),所以注意: =0. 法则2:两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数与第二个因子的乘积加上第一个因子与第二个因子的导数的乘积.即 推论1: 推论2:法则2可推广到有限个函数乘积的导数计算.如例3 求的导数.解 例4 设,求.解 .例5 设为连续函数,求.解 错误解法: 所以 =. 错误的原因是:不一定可导. 法则3:两个可导函数之商的导数,等于分子的导数与分母的乘积减去分母的导数与分子的乘积,再除以分母的平方.即. 例5 设,求.解 .例6 设,求.解 .例7 设,求.解 . 同理可得: 同理可得: .二. 反函数的导数 定理（反函数的求导法则） 设在处有不等于零的导数,且其反函数在相应点处连续,则存在,且,或.即反函数的导数等于直接函数的导数的倒数. 证明 的反函数.当的自变量取得增量时,因变量取得相应的增量.当时,必有.事实上,如果 则,但是一一对应的,故,则与的假设矛盾.所以当时,有,又在相应点处连续,所以时,.由,得.例8 设,求.解 设为直接函数,则为其反函数. 在内单调,可导,且 . 在对应的区间内有.又,所以.同理可得:.例9 设,求.解 设为直接函数,则为其反函数. 在内单调,可导,且.在对应的区间内有.又,所以.同理可得:.三. 复合函数的求导 定理（复合函数求导法则） 设即是的一个复合函数:.如果在处有导数在对应点处有导数,则在处的导数存在,且或. 如果,则的导数为.例10 设,求.解 设,则 .例11 求的导数.解 设,则 .例12 设,求.解 设,则 .例13 设,求.解 ,.例14 设,求.解 .例15 求的导数.解 .例16 设,求.解 .例17 设,求.解 例18 设,求.解 ,则 .所以.例19 设,求.解 设,则.所以 .四. 高阶导数 一阶导数:. 二阶导数: . 三阶导数:. 四阶导数:. ……………………………………………… 阶导数:.1. 二阶导数例20 设,求.解 .例21 证明函数满足关系式.证明 ,,所以.例22 设二阶可导,求.解 .例23 设,求.解 ,所以 . .2. 高阶导数例24 设,求.解 例25 设,求.解 同理 一般地,有 如求的阶导数,由于,则 例26 设,求.解 .如求的阶导数.例27 设,求.解 .第三节 隐函数与由参数方程所表示的函数的求导一. 隐函数及其求导法 显函数:等号左边是因变量,右边是含有自变量的代数式. 隐函数:非显函数,形如. 如:为显函数,而为隐函数. 将隐函数化为显函数称为隐函数的显化,但不是所有隐函数都可以显化. 如:就不可以显化. 不用显化直接由方程求隐函数的导数称为隐函数的求导.例1 由方程确定是的函数,求.解 方程两边对求导,有 所以 .例2 由确定是的函数,求其曲线上点处的切线方程.解 方程两边对求导,有 所以..所以切线方程为 ,即 .例3 设,其中为可微函数,求.解 .二. 由参数方程所表示的函数的求导设参数方程为 确定,则 . .即 .例4 设求.解 . .例5 设其中为二阶可导,求.解 则. 例6 证明曲线上任一点的切线与轴的交点至切点的距离为常数.证明 设切点坐标为,对应的参数为.由,得,所以切线方程为 .切线与轴的交点为 .所以 .三、相关变化率 变量与都随另一变量而变化，即，，而与之间又有相互依赖关系：，研究两个相关变化率与之间关系的问题称为相关变化率问题。

解决这类相关变化率问题可采用以下步骤：1. 建立变量与之间的关系式；2. 将中的与均看成是的函数，利用复合函数链导法则，等式两端分别对求导；3. 从求导后的关系式中解出所要求的变化率第四节 微分一.微分的概念1.定义 设在内有定义,.如果函数的增量 可表示成 则称在处可微的,称为在处相应于自变量的增量的微分,记作,即 .2.函数可微的条件 定理 在处可微在处可导,且即 . 证明 在处可微,则,所以 得在处可导,且 在处可导,则 ,所以 ,故,而 所。