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常见的勾股数及公式武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理我们知道，如果/ C=90°, a、b、c是直角三角形的三边，则由勾股定理，得 a2+b2=c2;反之，若三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形， c为斜边.与此相类似，如果三个正整数 a、b、c满足a2+b2=c2,则称a、b、c为勾股数，记为(a, b, c).勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：一、 三数为连续整数的勾股数(3, 4, 5 )是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？设三数为连续整数的勾股数组为( X—1, x, x+1 )，则由勾股数的定义，得(x+1) 2+x2= (x+1 ) 2,解得x= 4或x =0(舍去)，故三数为连续整数的勾股数只有一组(3,4,5) ;类似有3n,4n,5n (n是正整数)都是勾股数二、 后两数为连续整数的勾股数易知：(5,12,13) , ( 9,4 0,4 1 ) ,( 1 1 3,6 3 3 8,6 3 8 5 ) ，…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1 (其特点是斜边与其中一股的差为 1).分别取 n= 1,2,3,…就得勾股数组(3,4,5 ) , ( 5,1 2,1 3 ) , ( 7,2 4,2 5 )，…三、 前两数为连续整数的勾股数你知道(2 0,2 1,2 9 ) , (119,120,169) ,(4059,4060,5741)…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。

其公式为： (x, x+1, , 2x2 2x 1 ) (X为正整数)设前两数为连续整数的勾股数组为( x, x+1, y), y=^2x2+2x + 1则x2+(x+1)2 = y2 (*)整理，得 2x2 2x 1 = y2，化为 2x • 1 2 - 2y2 = -1，即 2x T2y 2x T -2y =—1, 又 1，2 1 - 2 =—1,二 1 —. 2 1 1 - 2 1 =—1(n ■ N),故取2x 1 血y = G+血严,(2x+1—^y =(1—运严,解之，得 x=丄〔1 —. 2 " 1 + 1 — 2 —2〕，y= - 〔 1 1 — 1 - 1〕，4 4故前两数为连续整数的勾股数组是( 1〔 (1+72亍十 +(1一72『十一2〕，1 〔(1 + 72 严 +(1—J2 严—4 4-2 — 2n 1 — 2n 12〕+1, —〔 1 ~ 2 — 1 - . 2 〕).4四、 后两数为连续奇数的勾股数如(8 , 15, 17), (12 , 35, 37)…其公式为：4(n+1),4(n+1) 2-1,4(n+1) 2+1(n 是正整数).五、 其它的勾股数组公式：1.a=2m,b=m2— 1,c=m2+1 (m大于1的整数).2.a=丄(吊一n2) ,b=mn,c= 丄(吊+n2)(其中m>n且是互质的奇数).2 23.a=2m,b=m2— n2,c=m2+ n2 (m>n,互质且一奇一偶的任意正整数)下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：3 4 5 ;5 12 13 ;6 8 10 ; 7 24 25;8 15 17;9 12 15;9 40 41 ;10 24 26;11 6061;12 1620 ;12 3537; 1384 85; 14 4850; 1520 25;15 3639;15 112113; 16 3034 ; 16636517 144145; 18 24 30; 18 8082; 19180181 ;20 2129;20 4852 ; 2099101; 21283521 7275; 21220 221 ; 22 120122 ; 23 264 265 ;24 3240;24 4551 ; 247074 ; 24143 1452560 65；25 312 313 ；26 168 170 ；27 36 45；27 120 123；27 364 365 ；28 45 53；28 96 10028195 197 ；29 420 421 ；30 40 50；30 72 78；30 224 226 ；31 480 481 ；32 60 68；32 126 13032255 257 ；33 44 55；33 56 65；33 180 183 ；33 544 545 ；34 288 290 ；35 84 91；35 120 12535612 613 ；36 48 60；36 77 85；36 105 111 ；36 160 164 ；36 323 325 ；37 684 685 ；38 360 3623952 65；39 80 89；39 252 255 ；39 760 761 ；40 42 58；40 75 85 ；40 96 104；40 198 20240399 401 ；41 840 841 ；42 56 70；42 144 150 ；42 440 442 ；43 924 925 ；44 117 125 ；44 240 24444483 485 ；45 60 75；45 108 117 ；45 200 205 ；45 336 339 ；46 528 530 ；48 55 73；48 64 804890 102；48 140 148 ；48 189 195 ；48 286 290 ；48 575 577 ；49 168 175 ；50 120 130 ；50 624 6265168 85；51 140 149 ；51 432 435 ；52 165 173 ；52 336 340 ；52 675 677 ；54 72 90；54 240 24654728 730 ；55 132 143 ；55 300 305 ；56 90 106； 56 105 119 ；56 192 200 ；56 390 394 ；56 783 7855776 95；57 176 185；57 540 543 ；58 840 842 ；60 63 87；60 80 100 ；60 91 109；60 144 15660175 185 ；60 221 229 ；60 297 303 ；60 448 452 ；60 899 901 ；62 960 962 ；63 84 105；63 216 22563280 287 ；63 660 663 ；64 120 136 ；64 252 260 ；64 510 514 ；65 72 97 ；65 156 169 ；65 420 4256688 110；66 112 130 ；66 360 366 ；68 285 293 ；68 576 580 ；69 92 115 ；69 260 269 ；69 792 79570168 182 ；70 240 250 ；72 96 120；72 135 153 ；72 154 170 ；72 210 222 ；72 320 328 ；72 429 43572646 650 ；75 100 125 ；75 180 195 ；75 308 317 ；75 560 565 ；75 936 939 ；76 357 365 ；76 720 72477264 275 ；77 420 427 ；78 104 130 ；78 160 178 ；78 504 510 ；80 84 116 ；80 150 170 ；80 192 20880315 325 ；80 396 404 ；80 798 802 ；81 108 135 ；81 360 369 ；84 112 140 ；84 135 159 ；84 187 20584245 259 ；84 288 300 ；84 437 445 ；84 585 591 ；84 880 884 ；85 132 157 ；85 204 221 ；85 720 72587116 145 ；87 416 425 ；88 105 137 ；88 165 187 ；88 234 250 ；88 480 488 ；88 966 970 ；90 120 15090216 234 ；90 400 410 ；90 672 678 ；91 312 325 ；91 588 595 ；92 525 533 ；93 124 155 ；93 476 48595168 193 ；95 228 247 ；95 900 905 ；96 110 146 ；96 128 160 ；96 180 204 ；96 247 265 ；96 280 29696378 390 ；96 572 580 ；96 765 771 ；98 336 350 ；99 132 165 ；99 168 195 ；99 440 451 ；99 540 549100105 145 ；100 240 260；100 495 505 ；100 621 629.以下是大于 100 的勾股数：第 223 组：102 136 170第 224 组：102 280 298第 225 组：102 864 870第 226 组：104 153 185第 227 组：104 195 221第 228 组：104 330 346第 229 组：104 672 680第 230 组：105 140 175第 231 组：105 208 233第 232 组：105 252 273第 233 组：105 360 375第 234 组：105 608 617第 235 组：105 784 791第 236 组：108 144 180第 237 组：108 231 255第 238 组：108 315 333第 239 组：108 480 492第 240 组：108 725 733第 241 组：108 969 975第 242 组：110 264 286第 243 组：110 600 610第 244 组：111 148 185第 245第 246第 247第 248第 249第 250第 251第 252第 253第 254第 255第 256第 257第 258第 259第 260第 261第 262第 263第 264第 265第 266第 267第 268第 269。