悬链线趣谈.docx

约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem）它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化后来欧拉（Euler Lonhard，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。

有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题(The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观 察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary）伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是惠更斯（Huygens, 1629～1695）在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案到1691年，也就是雅可比·伯努利 提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（以62岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二 阶常微分方程，解此方程并适当选取参数，即得悬链线悬链线问题本身和变分法并没有关系，然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索，虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时 略占下风，但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，算是扳回了一局，俩兄弟扯平 了！之所以提到悬链线问题，有两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻，而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的 家族，其二，有关悬链线的几个结论，可以用变分法来证明！据说牛顿看到题目后花了一个晚上就解出来了，也是第一个引入变分法的，伯努利的说法是："我从他的利爪认出了这头狮子"。

神奇的数e出现了，就写在蜘蛛丝上面在薄雾的清晨，让我们观察昨夜织成的蜘蛛网，具黏性的丝，负载着小水珠的重量，弯曲成一条条的悬链线，水珠沿着曲线排 成美丽的项链当晨曦穿透雾气，照射在蜘蛛网上，闪耀着彩虹色的亮光，就像一盘夺目的珍珠，荣耀归功于e──法布尔法布尔（Fabre,1823~1915）是法国著名的昆虫学家，他说：「在昆虫的世界里，可以激发我所有的思想与灵感」这份「热 情」（passions）推动着他研究昆虫的生活与行为，并且写出《昆虫记》之不朽名著，因而被后人尊称为「昆虫诗人」或「昆虫学界的荷马 （Homer）」他观察到的蜘蛛网项链，就是上述那段话的由来问题的提出固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程式是什么？这就是著名的「悬链线问题」(the hanging chain problem)在1690年由贾可比?贝努利（Jakob Bernoulli,　1654～1705）公开提出来，向数学界挑战，征求答案在微积分初创时期，它正好可用来考验微积分的威力这是一段有趣而又极具启发性的历史，值得我们重温一遍，细细品味在大自然中，除了悬垂的项链与蜘蛛网的水珠项链外，我们还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary）。

由大自然引导出来的数学，让我们觉得「有土、有根」，并且沾染、散发着「就在身边的亲切感」大家都看过海豚跃水的表演，以及石头（或炮弹）飞过天际的现象，并且知道它们的轨迹都是拋物线（parabola），这是超乎欧氏几何的曲线基本上，欧氏几何只研究由直线与圆所交织出来的图形世界亚里斯多德的错误然而古希腊伟大哲学家（百科全书般的人物）亚里斯多德（Aristotle,384～322 B.C.），他却认为石头飞过天空的轨道应如图六所示，因为根据他的「有机目的观」的物理学与哲学，地面上的「自然运动」（natural motion）是直线，所以石头飞出去是直线，掉下来也是直线并且垂直地面这个错误两千年后才由伽利略（Galileo, 1564～1643）加以修正，并且得到轨迹的正确方程式为二次函数 y=ax2+bx+c，这不必用到微积分就可以求出来事实上，伽利略不懂微积分，那时微积分还未真正诞生伽利略的错误伽利略比贝努利更早注意到悬链线，但是「螳螂捕蝉，黄雀在后」，他也犯了错误：他猜测悬链线为拋物线从外表看起来，悬链线的确很像拋物线，然而实际上并不是！惠更斯（Huygens, 1629～1695）在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但正确的答案这个时候他也求不出来。

这是大自然的一个深刻秘密，只有微积分可以揭开它两点启示首先是，检验错误易，建立真理难，即「理未易明，善未易察」其次是，伟大的人物可能犯伟大的错误因此，我们要时时警觉到费因曼（Feynman, 1918～1988）所说的「科学就是怀疑专家会有错误」，更进一步要如笛卡儿 （Descartes, 1596～1650）之持「系统地、方法地怀疑」的态度科学哲学这些启示正好就是，在现代科学哲学中，波柏（K. Popper, 1902～1995）所提倡的「否证论」（Falsification theory）之出发点否证论的要旨是：无论我们观察了多少只的白色天鹅，都没有证明「凡是天鹅都是白色的」这个「理论」，但只要出现一只黑天鹅，就否证了该理论换言之，我们虽然无法证明一个科学理论是对的，但是我们可以透过批判讨论（critical discussions）找出理论的错误所在，逼使胡说八道现原形，甚至否证、推翻它，将科学理论不断地推陈出新科学的进展是，成功踏着错误前进在这个观点之下，科学方法就是「尝试改误」（trial and error），从错误中学习特别地，前人的错误经验，对后人更具有启发性与教育价值。

可惜，这几乎都被我们的教育忽略了，而只讲授成功的典范微积分驯服悬链线伽利略的错误与惠更斯的无能为力，真正的理由是缺乏微积分工具，要驯服悬链线就必须用到微积分！我们知道，微积分经过两千年的酝酿，到了十七世纪后半叶，才由牛顿（Newton, 1642～1727）与莱布尼慈（Leibniz, 1646～1716）两人独立地发明牛顿在1660年代发明，但直到1711年才发表；莱布尼慈在1670年代发明，在1684年就发表，比牛顿还早公诸于世微积分基本上是要探求曲线的切线与曲线所围成的面积这两个问题它们的解决都必须经过「无穷步骤」，才能得到答案，落实于取极限或无穷小的演算换句话说，微积分是道道地地的「无穷之学」（the science of infinity），这是微积分之所以深刻、困难与迷人的理由牛顿与莱布尼慈的微积分，最主要的内涵是：建立微分法的系统演算规则并且看出微分与积分的互逆性微分法的正向演算（即由f(x)求出f'(x)），解决了求切线、求极值、求速度、加速度以及一切变化率的问题微分法的反向演算（即由f'(x)求出f(x)），解决了两千年的求积分之难题以及运动现象的里程问题等等更要紧的是，面对大自然变化万千的现象，利用「物之理」与微分法，我们可以将一条未知曲线（或一个未知函数），网在一个微分方程式之中，再利用「积 分法」（即反微分法），解开网子，求得未知曲线（或未知函数）。

这和我们在中学时代，利用代数方程式网住未知数x，再求解方程式的手法完全一样微分法是人类苦练两千余年才得到的宝剑，削金斩铁，锐利无比当贾可比·贝努利在1690年提出「悬链线问题」后，隔年（1691年）莱布尼慈、惠更斯（当时他已62岁）与约翰·贝努利（Johann Bernoulli, 1667～1748，贾可比·贝努利之弟）都利用这一把利器，求得正确的答案：y=(eax+e-ax)/(2a)此地我们用了较后来才出现的现代数学术语与记号来表达，下面我们也要按此要领，先建立悬链线所满足的微分方程，然后再求解之假设链子的质料是均匀的且单位长度的重量为ρ，且s为AB之间的长度，悬链线AB之中A点的张力为H(水平张力)， B点的张力为T(切线方向)，而且还有AB受到的重力，于是得Tcosθ=H 而且Tsinθ=ρs考虑B点: dy/dx=tanθ=(Tsinθ)/(Tcosθ)=ρs/H ...(*)弧长公式: (dS)2=(dx)2+(dy)2对(*)微分，得到　　　　　　　　　___________d2y 　ρds 　ρ√(dx)2+(dy)2 ρ 　　__________--- 　=---- 　= --------------- 　　　= 　√1+(dy/dx)2dx2 　　Hdx 　　Hdx 令 p=dy/dx 化简且两边不定积分得ln(p+√1+p2)=ρx/H + C由于当x = 0时，p=dy/dx=0，将此初始条件代入得C=0。

为方便令a=ρ/H求得dy/dx=p= (eax- e-ax)/2最终求出y=(eax+e-ax)/(2a) 此即为悬链线的方程式，这里的a与链子的质料有关它是一个超越函数（transcendental function），而拋物线y＝ax2+bx+c只是一个代数函数（algebraic function），两者的难易度、深浅度相差非常大今日我们定义函数coshx=(ex+e-x)/2sinhx=(ex－e-x)/2分别称为双曲余弦函数与双曲正弦函数因此，（9）式可以改写成y=1/a cosh(ax) （10）数学发现的狂喜微积分发明后，在欧陆瑞士的贝努利家族，因为勤于跟德国的莱布尼慈通信，所以是第一批学会微积分的人利用微积分工具，约翰解决了悬链线问题，反倒是提问题的哥哥贾可比没有解出来为此，约翰尝到发现的狂喜，即使是经过27年后，胜利的甜蜜滋味仍旧跃然纸上事情是这样的：因为约翰一直对外宣称是他而不是贾可比求得答案，有一位同事提出质疑，所以约翰写信说明这件事他在1718年（此时贾可比已过世十三年）写道：你说我的哥哥贾可比提出（悬链线）问题，这是对的，但这并不意谓着他也求得答案，不是吗？事实上，他根本没有算出答案。

当他在我的建议下，提出这个 问题时（我是第一个想到此问题的人），我们两人都不会求解对于求解不出这件事，我们同感苦恼、绝望直到莱布尼慈先生在1690年经由《莱比 锡》（Leipzig）杂志p.360，透露消息说，他已求得答案，但暂时不公布，预留时间给其它分析学家，也有发现的机会这鼓舞了我们兄弟两人，重新 思考这个难题我哥哥的努力并没有成功，而我比较幸运，因为我找到了求解此问题的技巧（这样说并不是「老王卖瓜」，我何必隐藏或歪曲真相呢？）…第二天早晨，我的内心充满着狂喜，。