高等数学（经济类）章节练习题及答案第一章 函数习题解答.doc

16习题1-1（A）1． 用集合描述法表示下列集合：（1） 所有非负实数组成的集合；（2） 圆外部（不包括圆周）一切点组成的集合；（3） 双曲线与直线交点组成的集合；（4） 抛物线线与直线交点组成的集合．解：（1） （2）（3） （4）2． 用集合列举法表示下列集合：　（1）双曲线与直线交点组成的集合；　（2）抛物线与直线交点组成的集合；　（3）椭圆与直线交点组成的集合．解：（1） （2）（3） 3． 设，求下列集合：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）.解：（1） ； （2）；（3） ； （4） ；（5） ； （6） 4． 用区间表示满足下列不等式的所有的集合：（1）； （2）.解：（1）由可得 故所求区间为； （2）由可得或 故所求区间为.5． 求下列函数的定义域：（1）； （2）； （3）； （4）.解：（1）由可得 故所求函数定义域为； （2）由有，解得 故所求函数定义域为；（3）由有故所求函数定义域为；（4）由有故所求函数定义域为.6． 设函数，求.解：由，得.7． 设函数 求, 解：8． 下列各题中，各组函数是否为同一函数？为什么？ （1）与； （2）与； （3）与； （4））与.解：（1）相同，因为恒成立； （2）不相同，因为定义域为，而定义域为; （3）不相同，因为定义域为，而定义域为; （4）不相同，因为定义域为，而定义域为.9．判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）.解：（1）偶函数，因为； （2）奇函数，因为.10．设和是定义在上的两个奇函数，和是定义在上的两个偶函数，证明 （1）是奇函数，是偶函数； （2）与均是偶函数，是奇函数. 证：按照奇函数和偶函数定义证明即可.下面仅以是奇函数为例进行证明，其余情况类似.由题意可知，进而，故是定义在上的奇函数.习题1—1（B）1．已知函数的定义域为，求函数的定义域.解：由函数的定义域为，可知，解得或，所以的定义域为；由函数的定义域为，可知，解得，所以的定义域为;由函数的定义域为，可知，解得，所以的定义域为.2．若对任何实数，恒有，且，求.解：在恒等式中，令，则有, 进而.3．若对任何实数，恒有，且，求.解：在恒等式中，令，则有.4．设对任意的，有，求.解：由已知，可得，求解方程组，解得.5．证明函数是定义在上的奇函数.证：定义域为，并且 ，因此，函数是定义在内的奇函数.习题1-2（A）1. 求下列函数的定义域：（1）； （2）；（3）； （4）； （5）； （6）.解：（1）由, 可得 故所求函数定义域为； （2）由 可得.故所求函数定义域为； （3）由, 可得， 故所求函数定义域为；（4）由, 可得， 故所求函数定义域为；（5）由 可得， 故所求函数定义域为；（6）由 可得， 故所求函数定义域为.2．判断下列函数的奇偶性：（1）； （2）.解：（1）奇函数，因为；（2）偶函数，因为.3．在下列函数中哪些是周期函数？如果是周期函数，指出其最小正周期. （1）； （2）； （3）； （4）. 解：（1）周期函数，最小正周期为；（2）周期函数，最小正周期为；（3）不是周期函数；（4）周期函数，最小正周期为.4．下列各题中，各组函数是否为同一函数？为什么？ （1）与； （2）与.解：（1）相同，因为恒成立；（2）不相同，因为定义域为，而定义域为.5. 证明下列恒等式：（1） （2）证：对于上述三角函数有意义的值，有（1）； （2）.习题1-2（B）1．若函数的定义域为，求函数的定义域.解：由函数的定义域为，可知，解得，所以的定义域为；由函数的定义域为，可知，解得，所以的定义域为.2．若是定义在上的函数，证明是偶函数， 是奇函数.证：由，可知是偶函数；由，可知 是奇函数.3. 定义在上的任何一个函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和，并且表示法唯一. 证：不妨设为定义在上的一个函数，令 ，，由于，因此是定义在上的偶函数；由于，因此是定义在上的奇函数，并且易知,也就是说定义在上的任何一个函数都可以表示成奇函数和偶函数之和形式.假设，其中为偶函数，为奇函数.由，可得。

由已知可知为偶函数，为奇函数，因此既是偶函数又是奇函数.所以所以因此综上：定义在上的任何一个函数都可以表示成奇函数和偶函数之和形式，并且表示法唯一. 习题1-3（A）1. 求下列函数反函数：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）解：（1）由，可得，故所求反函数，其定义域为；（2）由，可得， 故所求反函数，其定义域为；（3）由，可得， 故所求反函数，其定义域为；（4）由，可得， 故所求反函数，其定义域为；（5）由，可得， 故所求反函数，其定义域为；（6）由，可得， 故所求反函数，其定义域为.2．指出下列函数的复合过程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）.解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）.3. 已知，求和.解： ;.习题1-3（B）1．求函数 的反函数.解：当时，由，得（）；当时，由 得（），所以所求反函数为：2．求函数的反函数.解：因为，所以；进而求解方程组 可得，进而，因此函数的反函数为.3．下面哪些是初等函数，哪些不是初等函数，并说明理由： （1） （2）（3）； （4）.解：（1）是初等函数，因为；（2）不是初等函数；（3）是初等函数；（4）是初等函数，因为当时，.4．设，求（共有个，即进行次复合）.解：由有 ， ，归纳总结得出 .5．设函数 求函数.解：由已知有 由于恒成立，所以. 习题1-4（A）1. 经济学上，将市场供求平衡时的价格称为商品的均衡价格，现已知某商品需求函数和供给函数均是价格（单位：元）的线性函数：，求该商品的均衡价格.解：令，即，解得，即该商品的均衡价格为64元.2．经过市场调研，某商品的总收益是产量的二次函数，当产量分别为时，相应总收益分别为，试确定总收益和产量的函数关系.解：令，由题意可知二次函数过，则解得.因此，总收益和产量的函数关系为.3．某商店出售某种商品，售价为3元/千克，现在促销，规定超过10时，超过部分打9折，列出购物重量与购物货款之间的函数关系.解：当时，；当时，.因此，购物重量与购物货款之间的函数关系 习题1-4（B）1. 现行税法对个人所得税阶梯型纳税：纳税起征点为5000元（在5000元以内不纳税），工资收入超过5000元部分需要纳税，不超过3000元部分适用税率3%，超过3000元-12000元部分适用税率10%，超过12000元-25000元部分适用税率20%，超过25000元-35000元部分适用税率25%，超过35000元-55000元部分适用税率30%，超过55000元-80000元部分适用税率35%，超过80000元部分适用税率40%，试建立个人收入纳税额与工资收入的函数关系.解：当时， ；当时，；当时，；当时，；同理：当时，；当时，；当时，；当时， .因此个人收入纳税额与工资收入的函数关系如下：总习题一1．下列各组函数是否相同？试说明理由. (1) ， ； (2) ； (3) 解：（1）不相同，因为两个函数定义域不同；（2）不相同，因为定义域为，而定义域为.（3）相同，因为2．求下列函数的定义域：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) . 解：（1）由，可得或，故所求函数定义域为；（2）由，可得或，故所求函数定义域为；（3）由可得，故所求函数定义域为；（4）由 可得，故所求函数定义域为；（5）由 可得，故所求函数定义域为；（6）由，可得，故所求函数定义域为．3．设函数 求和．解： .4．下列函数是不是周期函数？如果是，指出它的周期．(1) ； (2) ；(3) ； (4) ．解：（1）周期函数，最小正周期为；（2）周期函数，最小正周期为；（3）不是周期函数；（4）周期函数，最小正周期为.5．求下列函数的反函数： (1) ； (2) (3) ； (4) .解：（1）由，可得，故所求反函数为，其定义域为；（2）当时，，解得；当时，，解得.因此，所求反函数为（3）由，可得，故所求反函数，其定义域为；（4）由，可得，故所求反函数，其定义域为.6．在下列各题中，写出所给函数的复合函数：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ．解： （1）； （2）；（3）； （4）.7．下列各函数是由哪些基本初等函数复合而成的：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ．解：（1）（2）（3）（4）.8. 设，证明：. 证：因为 ，所以. 9. 自来水公司规定居民阶梯水价如下：每户年用水不超过220立方米每立方米收费3.5元；每户年用水在220立方米以上，但不超过300立方米部分，每立方米收费4.9元；每户年用水在300立方米以上部分，每立方米收费5.8元．试将每户。