人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题ppt课件.ppt

13.4 课题学习 最短途径问题P P 引例引例1 在灌溉时，要把河中的水引到农田在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，处，如何挖渠能使渠道最短？如何挖渠能使渠道最短？ 衔衔接直接直线线外一点与直外一点与直线线上各点的一切上各点的一切线线段段中，垂中，垂线线段最短段最短A 引例2 如下图，从A地到B地有三条路可供选择，他会选走哪条路最近？他的理由是什么？ 两点之两点之间间,线线段最短段最短①②③(Ⅰ)两点在一条直线异侧 问题问题1：知：如：知：如图图，，A，，B在直在直线线L的两的两侧侧，，在在L上求一点上求一点P，使得，使得PA+PB最小 P引入新知引入新知““两点的一切两点的一切连线中，中，线段最短〞段最短〞““衔衔接直接直线线外一点与直外一点与直线线上各点的上各点的一切一切线线段中，垂段中，垂线线段最短〞段最短〞““将将军饮马问题〞〞最短途径问题　　从　　从图中的中的A A 地出地出发，到一条笔直的河，到一条笔直的河边l l 饮马，然，然后到后到B B 地．到河地．到河边什么地方什么地方饮马可使他所走的道路全程可使他所走的道路全程最短？最短？探求新知探求新知BAl海海伦轴对称称““将将军饮马问题〞〞　　思索：能否化未知　　思索：能否化未知为知，知，化化““同同侧〞〞为““异异侧〞？〞？　　问题　　问题2 2 如图，点如图，点A A，，B B 在直线在直线l l 的同侧，点的同侧，点C C 是直是直 线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C C 在在l l 的什么位置时，的什么位置时，AC AC 与与CB CB 的和最小？的和最小？ B·lA·(II)两点在一条直线同侧条件：假条件：假设将点将点B“B“移〞到移〞到l l 的的另一另一侧B′B′处，那么需，那么需满足直足直线l l 上的恣意一点上的恣意一点C C，都，都坚持持CB CB 与与CB′CB′的的长度相等。

度相等 　　问题　　问题2 2 如图，点如图，点A A，，B B 在直线在直线l l 的同侧，点的同侧，点C C 是直是直 线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C C 在在l l 的什么位置时，的什么位置时，AC AC 与与CB CB 的和最小？的和最小？ B·lA·(II)两点在一条直线同侧方法：我方法：我们可以利用可以利用轴对称的称的有关知有关知识，找到上，找到上问中符合条中符合条件的点件的点B′B′ 　　问题　　问题2 2 如图，点如图，点A A，，B B 在直线在直线l l 的同侧，点的同侧，点C C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C C 在在l l 的什么位置时，的什么位置时，AC AC 与与CBCB的和最小？的和最小？ B·lA·(II)两点在一条直线同侧　　作法：　　作法：〔〔1 1〕作点〕作点B B 关于直关于直线l l 的的对称点称点B′B′；；〔〔2 2〕〕衔接接AB′AB′，与直，与直线l l 相交于点相交于点C C．． 那么点那么点C C 即即为所求．所求． 　　问题　　问题2 2 如图，点如图，点A A，，B B 在直线在直线l l 的同侧，点的同侧，点C C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C C 在在l l 的什么位置时，的什么位置时，AC AC 与与CB CB 的和最小？的和最小？ B·lA·B′C(II)两点在一条直线同侧　　问题　　问题3 3　他能用所学的知识证明　他能用所学的知识证明AC +BCAC +BC最短吗？最短吗？ B·lA·B′C(II)两点在一条直线同侧　　　　证明：如明：如图，在直，在直线l l 上任取一点上任取一点C′C′〔与点〔与点C C 不重不重合〕，合〕，衔接接AC′AC′，，BC′BC′，，B′C′B′C′．． 由由轴对称的性称的性质知，知， BC =B′C BC =B′C，，BC′=B′C′BC′=B′C′．． ∴ ∴　　AC +BC = AC +B′C = AB′AC +BC = AC +B′C = AB′，， AC′+BC′= AC′+B′C′ AC′+BC′= AC′+B′C′．．　　问题　　问题3 3　他能用所学的知识证明　他能用所学的知识证明AC +BCAC +BC最短吗？最短吗？ B·lA·B′CC′　　 在在△AB′C′△AB′C′中，中， AB′ AB′＜＜AC′+B′C′AC′+B′C′，，　　 ∴ ∴　　AC +BCAC +BC＜＜AC′+BC′AC′+BC′．．　　即　　　即　AC +BC AC +BC 最短．最短．在三角形中，两边之和大于第三边。

　　假　　假设直直线l l 上恣意一点〔与上恣意一点〔与点点C C 不重合〕与不重合〕与A A，，B B 两点的两点的间隔隔和都大于和都大于AC +BCAC +BC，就，就阐明明AC + AC + BC BC 最小．最小． B·lA·B′CC′　　思索：　　　思索：　证明明AC +BC AC +BC 最短最短时，，为什么要在直什么要在直线l l 上上任取一点任取一点C′C′〔与点〔与点C C 不重合〕呢？不重合〕呢？ 　　再思索：回想前面的探求过程，我们是经过怎样的　　再思索：回想前面的探求过程，我们是经过怎样的 过程、借助什么处理问题的？过程、借助什么处理问题的？ B·lA·B′CC′ 经过将经过将A A、、B B两点在直线两点在直线l l的的同一侧转化为同一侧转化为A A、、B B点在直线点在直线l l的的两侧，借助轴对称的知识处理两侧，借助轴对称的知识处理问题的再 见。