数学分析公式定理1-11章.doc

第一章 变量与函数1 函数的概念一 变量 变量、常量、实数性质、区间表示二 函数 １．定义１ 设，如果存在对应法则，使对，存在唯一的一个数与之对应，则称是定义在数集上的函数，记作().也记作习惯上称自变量，为因变量函数在点的函数值，记为，全体函数值的集合称为函数的值域，记作. ２．注 （1） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域例：1） （不相同，对应法则相同，定义域不同）2） （相同，对应法则的表达形式不同）2）函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则来表示一个函数即“函数”或“函数”3）“映射”的观点来看，函数本质上是映射，对于，称为映射下的象称为的原象3. 函数的表示方法 1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法2 可用“特殊方法”来表示的函数分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示例：　　，（符号函数）用语言叙述的函数 例：１）（的最大整数部分）２）（Ｄirichlet）三 函数的一些几何特性 1、单调函数 定义2 设为定义在上的函数， （１）若，则称为上的增函数；若，则称为上的严格增函数２）若，则称为上的减函数；若，则称为上的严格减函数。

例：证明：在上是严格增函数例：讨论函数在Ｒ上的单调性注：单调性与所讨论的区间有关，区间必须关于原点对称2、奇函数和偶函数 定义3 设为对称于原点的数集，为定义在上的函数若对每一个，有（１），则称为Ｄ上的奇函数；（２），则称为上的偶函数注：（１）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于轴对称；（２）奇偶性的前提是定义域对称；（３）从奇偶性角度对函数分类：3、周期函数 定义4. 设为定义在数集上的函数，若存在，使得对一切x∈X有，则称为周期函数，称为的一个周期注：（1）若是的周期，则也是的周期，所以周期不唯一2）任给一个函数即使存在周期也不一定有最小正周期，如： （Ｃ为常数），任何正数都是它的周期2 复合函数和反函数一 复合函数 １．引言 先考察一个例子 例：质量为的物体自由下落，速度为，则功率为. 我们得到两个函数，把代入，即得.这样得到的函数称为“复合函数”2． 定义（复合函数） 设有两个函数，若内，则对每一个，通过对应内唯一一个值，而又通过对应唯一一个值，这就确定了一个定义在上的函数，它以为自变量，因变量，记作这种函数成为复合函数注：两个函数能复合，第一个函数的值域必须包含在第二个函数的定义域中。

3. 例子 讨论函数与函数能否进行复合4 说明 不仅要会复合，更要会分解例：→.二、反函数 １、 反函数概念|：设函数满足：对于值域中的每一个值，中有且只有一个值，使得，则按此对应法则得到一个定义在上的函数，称这个函数为的反函数，记作 .2 注：a) 并不是任何函数都有反函数；b) 函数与互为反函数，并有: 则函数的反函数通常记为 .定理．设为严格增（减）函数，则必有反函数，且在其定义域上也是严格增（减）函数3 基本初等函数一 初等函数 1.．基本初等函数（7类）：常量函数　　（Ｃ为常数）；幂函数　　；指数函数； 对数函数　　；三角函数　　；反三角函数　　双曲函数 ，，，２．初等函数 定义３．由基本初等函数经过在有限次四则运算与有限次复合运算所得到的函数，统称为初等函数如：不是初等函数的函数，称为非初等函数如Dirichlet函数、Riemann函数、取整函数等都是非初等函数 例：求函数表为基本初等函数的复合第二章 极限与连续2-１　数列的极限与无穷大量 一、 数列极限的定义 １ 数列的定义 定义：若函数的定义域为全体正整数集合，则称 为数列。

注：记，则数列就可写作为：，简记为 例：（1）；（2） （3）2、数列极限 （１）．引言 容易看出，数列的通项随着的无限增大而无限地接近于零一般地说，对于数列，若当无限增大时，能无限地接近某一个常数，则称此数列为收敛数列，常数称为它的极限不具有这种特性的数列就称为发散数列据此可以说，数列是收敛数列，０是它的极限数列都是发散的数列需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说明如何用数学语言把它精确地定义下来还有待进一步分析以为例，可观察出该数列具以下特性：随着n的无限增大，无限地接近于1随着n的无限增大，与１的距离无限减少随着n的无限增大，无限减少会任意小，只要n充分大如：要使，只要即可；要使，只要即可；……任给无论多么小的正数，都会存在数列的一项，从该项之后，即，当时，如何找Ｎ？（或Ｎ存在吗？）解上面的数学式子即得：，取即可这样当时，综上所述，数列的通项随的无限增大，无限接近于１，即是对任意给定正数，总存在正整数Ｎ，当时，有此即以１为极限的精确定义，记作或2）.数列极限的定义 定义1 设为数列,a为实数,若对任给的正数,总存在正整数,使得当时有, 则称数列收敛于a, a称为数列的极限, 并记作或. 若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列。

[问题]：如何表述没有极限？ （３）举例说明如何用定义来验证数列极限　　例：　证明. 例：　证明.例：证明　.例：证明　.例：证明　，其中.（４） 关于数列的极限的定义的几点说明a）关于：① 的绝对任意性；②的暂时固定性；③的多值性；④正由于是任意小正数， 我们可以限定小于一个确定的正数 b）关于Ｎ：① 相应性（对应于给定的）；②Ｎ多值性c）数列极限的几何理解： “当时有” 所有下标大于Ｎ的项都落在邻域内；而在之外，数列中的项至多只有Ｎ个（有限个）d）数列极限的等价定义（邻域定义）：定义 任给，若在之外数列中，只有有限个，则称数列收敛于极限a.由此可见：数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响例：证明都是发散数列二 、 无穷小数列 在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：定义２　　若，则称为无穷小数列如都是无穷小数列数列收敛于a的充要条件：定理１　数列收敛于的充要条件是为无穷小数列三、 收敛数列的性质性质1（保序性）设数列与均收敛，若存在正数，使得当时有，则。

性质2（保号性）　若（或），则对任何（或），存在正数Ｎ，使得当时有（或）性质3（极限唯一性）　若数列收敛，则它只有一个极限性质4（迫敛性）　设收敛数列、都以a为极限，数列满足：存在正数，当 时有，则数列收敛，且.注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具例：　求数列的极限性质5（有界性）若数列收敛，则为有界数列注：数列收敛则必有界，反之未必例如数列有界，但它不收敛四、 数列极限的运算性质６（极限的四则运算法则）：　若、为收敛数列，则也都收敛，且有 （1）;（2）.（3）若再做假设及，则数列也收敛，且有.在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则例：　求，其中.例：　求五、 单调有界数列 在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）这是极限理论的两基本问题下面将重点讨论极限的存在性问题定义　若数列的各项满足不等式，则称为递增（递减）数列递增和递减数列统称为单调数列．例如：为递减数列；为递增数列定理（单调有界定理）　在实数系中，有界且单调数列必有极限例：设其中，证明数列收敛。

例：证明下列数列收敛，并求其极限：例：证明存在六、 无穷大量的定义 定义：设是一个数列若当时必有，则称是无穷大量 几何解析： 例：证明是无穷大量定义：设是一个数列若当时必有，则称是正无穷大量定义：设是一个数列若当时必有，则称是负无穷大量七、 无穷大量的性质和运算 1、无穷大量和无穷小量的关系定理：为无穷大量，当且仅当，为无穷小量，这里要求 2、无穷大量的一些运算法则定理：正无穷大量的和仍是正无穷大量，负无穷大量的和仍是负无穷大量无穷大量加上有界数列仍是无穷大量定理：设为无穷大量，收敛于，则是无穷大量2　函数的极限一、 函数在一点的极限现在讨论当时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ先看下面几个例子：例：　当时，，当时，）由上例可见，对有些函数，当时，对应的函数值能趋于某个定数Ａ；但对有些函数却无此性质所以有必要来研究当时，的变化趋势定义1　设函数在点的附近有定义，Ａ为定数，若对任给的，使得当时有，则称称Ａ为时的极限，记作或.注:（１）是结论，是条件，即由推出２）是表示函数与Ａ的接近程度的3） 是表示与的接近程度，它相当于数列极限的定义中的Ｎ它的第一个特性是相应性。

第二个特性是多值性４）在定义中，只要求函数在的某空心邻域内有定义，而一般不要求在处的函数值是否存在，或者取什么样的值５）定义的几何意义例：证明　; 二、 函数极限的性质和运算性质1（局部保号性）若，则对任何正数，存在，当时，有；若，则对任何负数，存在，当时有性质2（保序性）设和都存在，且存在，当时，有性质3（唯一性）　若极限存在，则此极限是唯一的性质4（迫敛性）　设，且存在，当时有，则性质5（局部有界性）若存在，则在的某空心邻域内有界性质6（海涅定理）都有性质7（四则运算法则）若和都存在，则函数当时极限也存在，且 １）；２）. 又若，则当时极限也存在，且有 ３）性质8 无穷小量乘有界变量仍是无穷小量三 、 单侧极限 １．引言 有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如或函数在某些点仅在其一侧有定义，如这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？ 2．定义2设函数在点的有近旁有定义，Ａ为定数，若对任给的，使得当时有，则称数Ａ为函数当趋于时的右极限，记作：或或类似可给出左极限定义注：右极限与左极限统称为单侧极限例：　讨论函数在的左、右极限例：　讨论在的左、右极限3．函数极限与的关系。

定理１　.注：利用此可验证函数极限的存在四、 函数在无限远处的极限 定义3　设为定义在上的函数，Ａ为实数若对任给的，存在正数，使得当时有 , 则称函数当时以Ａ为极限记作或. 类似可定义和例: 按定义证明.例: 按定义证明１）；２）.五、 函数值趋于无穷大的情形 定义4　设函数在点的附近有定义，若对任给的，使得当时有，则称在点时趋于无穷大，记作类似可定义，，六、 两个重要的极限1、证明：应用： 例：求.例：求.注：利用归结原则，可求数列极限如求，直接利用是不严格的；但已知，故取，则，从而由归结原则. 例：求.2、证明：或.应用： 例：求.例：求.例：求3　连续函数 一、　连续的定义 1、（在点连续）定义１设函数在某点的附近包括点有定义，若，则称在点连续注：，即“在点连续”意味着“极限运。