保险精算ch2.ppt

保险精算,第二章 年金,第二章 年金,2.1 期末付年金 2.2 期初付年金 2.3 任意时刻的年金值 2.4 永续年金 2.5 连续年金,年金的定义,所谓年金就是一系列按照相等时间间隔支付的款项年金在经济生活中有很广泛的应用，如零存整取的银行存款、住房按揭换款、购物分期付款以及保险领域中的养老金给付、分期交付的保费等等，这些都属于年金的形式年金的最初形式是以一年为时间间隔支付的一系列款项，随着年金在实际生活中以及理论研究上的不断深入，时间间隔突破了以一年为其的限制，变得可长可短年金中涉及到的其他方面，如付款、利息等，也可以产生许多变化我们将付款时间间隔相等、每次付款额度相等、整个付款期内利率不变且计息频率与付款频率相等的年金称为年金的标准型年金的各种变化形式称为年金的一般型年金的种类,1、确定年金和风险年金： 确定年金的支付时间和支付金额事先确定 风险年金的支付时间和支付金额不确定终身生存年金 2、定期年金和永续年金： 定期年金的支付期限是有限期间，有固定的到期日付息债券的息票 永续年金的支付期限是无限的，没有到期日股息 3、期初付年金和期末付年金： 期初付年金的支付是在每个周期的期初。

月初发工资和养老金 期末付年金的支付是在每个周期的期末月末发工资和养老金 4、即期年金和延期年金： 即期年金是指当期开始支付，延期年金是指一定时期后开始支付 5、等额年金和变额年金： 等额年金的每期支付额相等，变额年金的每次支付额不全相等,2.1 期末付年金,在每个付款期间末付款的年金为期末付年金假设一笔年金，付款期限为n期，每期期末付款额为1，每期利率为i,各期付款如图所示如果用 表示在利率i下这n期末付年金的现值，则有，,0 1 2 3 n-2 n-1 n 1,,1 i i i i i i,(时间),（每年得到的利息）,的经济意义解释,用 表示在利率i下，这n期末付年金在n年末的积累值,则有，,0 1 2 n-1 n 1,,i i i i,的经济意义解释,（投资本金）,（每期利息）,到n期期末积累值,和 的关系表达式及经济意义解释,,例 、计算年利率为6%的条件下，每年年末投资1000元，投资10年的现值及积累值。

解：由公式直接可得：年金现值为：年金的积累值为：,例、甲在银行存入20,000元，计划分4年支取完毕，每半年支取一次，每半年计息一次的年名义利率为7%，计算每次的支取额度解：半年期实际利率为3.5%，设R为每次支取额度，有，即甲每次的支取额度为2909.51元,例题,某银行客户想通过零存整取的方式在1年后获得10000元，在月复利0.5%的情况下，每月末需要存入多少钱，才能达到其要求？,解：依具题意；设每月末的存款额为D，有,例,有一笔1000元的贷款，为期10年若实际利率为年率9%，试对下面三种还款方式比较其利息总量： 1）第10年末，本金利息一次还清 2）每年支付利息，本金第10年末归还 3）贷款在10年期内按每年付款数相同的原则还清 解：,2）每年的利息=1000×0.09=90，所以支付的利息总量为 90×10=900元,3）设相等的付款为R,,例题,某30万元的贷款计划分季度等额偿还，在5年内完成如果贷款利率为半年结转的年利率10%，计算每次偿还的金额 解：半年度实际利率为5%，等价的季度实际利率为j;,2.2 期初付年金,在2.1.1中介绍了期末付年金，与值相对应，在每个付款期间开始时付款的年金为期初付年金。

假设一个n年期年金，每期期初付款额为1，利率为，各期的付款如下图所示：,,如果用 表示在利率i下这n期期初末付年金的现值和，则有，,0 1 2 3 n-2 n-1 n 1,,d d d d d d 1,(期初投资额),（投资回收）,的经济意义解释,用 表示在利率i下，这n期初付年金在n年末的积累值,则有，,的经济意义解释,和 的关系表达式及经济意义解释,期初付年金和期末付年金之间存在如下关系：,以上各式我们可以通过画图通过简单的推导得到，可以通过如上关系在已知期初年金的情况下，求得末付年金；或者在已知末付年金的情况下，求得初付年金例题,某银行客户想通过零存整取的方式在1年后获得10000元，在月复利0.5%的情况下，每月初需要存入多少钱，才能达到其要求？ 解：依具题意；设每月初的存款额为D，有,2.3 任意时刻的年金值,前两节对时刻0的年金现值及时刻n时的年金积累值进行了计算（包括初付年金和末付年金）。

但是，无论在理论上还是在实务上，都会遇到要求计算任意时刻年金值的问题，如延期年金的现值延期年金：以当前时刻为0时点，在0时刻以后若干时期后开始按期支付的年金一般而言，有三种时刻的年金值需要计算：（1）首期付款前某时刻的年金现值；（2）最后一期付款后某时刻的年金积累值；（3）付款期间某时刻的年金当前值；,,,,,,,我们以下两图为例说明任意时刻年金的表示方法：以0时刻为基点，但是给付时刻不是标准的，从时刻3开始，则0时刻的现值可以有如下表示：,,,当然，类似的还可以构造时刻10的积累值的各种表达式,以0时刻为基点，但是给付时刻不是标准的，从时刻3开始，则10时刻的积累值可以有如下表示：,,,如果以时刻3作为基点，那么时刻3的年金价值可以有如下的表述形式：类似的，我们可以构造更为复杂的任意时刻年金现值的求解公式例1：,假定现在起立即开始每6个月付款200直到满4年，随后再每6个月付款100直到从现在起满10年，若求这些付款的现时值方法一：方法二：,例2：,某人每年年初存进银行1000元,前4年的年利率为6%,后6年由于通货膨胀,年利率升到10%,计算第10年年末时存款的积累值.,练习：某人从1980年1月1日起开始向希望工程捐款，每年捐款支付3000元，到2012年1月1日为止从未间断。

假设年实际利率为6%，分别求该人的全部捐款在下列各时刻的价值： （1）1960年1月1日； （2）1979年1月1日； （3）1980年1月1日； （4）2012年1月1日； （5）2013年1月1日； （6）2020年1月1日；,2.4 永续年金,付款次数没有限制，永远持续的年金称为永续年金 期末付永续年金的现值:,,相应的期初付永续年金记为 ，且有，,永续年金的最终积累值不存在，因为给付没有终点时刻，无穷的给付导致积累值变为无穷大例：某人去世后，保险公司支付100，000元的保险金，其三个受益人经过协商决定按永续年金方式领取该笔款项，A受益人领取前8年的年金，受益人B领取以后10年的年金，然后由受益人C领取以后的所有年金年金在期初支付，利率为6.5%计算A,B,C各自领取的保险金额解：每年可以领取地年金数额为：,例,有一企业想在一学校设立一永久奖学金，假如每年发出5万元奖金，问在年实质利率为20%的情况下，该奖学金基金的本金至少为多少？,2.5 连续年金,付款频率无限大（即连续付款）的年金叫连续年金这是付款频率大于计息频率的特例虽然这种年金在实务中是不存在的，但它在年金的理论分析以及其它方面如精算数学中有着极为广泛的应用。

连续付款n个计息期，每个计息期的付款额之和为1的年金现值记为 ，这样，,年金的积累值记为 ，则有，,,例、有两个连续还款A、BA每期还款额为2，还款期限为20年，B每期还款额为3，还款期限10年，求使A、B模型等效的 解：,基本年金公式总结,。