精选优质文档-----倾情为你奉上第十二章 数项级数2 一般项级数一、交错级数概念：若级数各项符号正负相间，即u1-u2+u3-u4+…+(-1)n+1un+…(un>0, n=1,2,…)，则称它为交错级数. 定理12.11：(莱布尼茨判别法)若交错级数满足：(1)数列{un}单调递减；(2)un=0，则该级数收敛.证：交错级数的部分和数列{Sn}的奇数项和偶数项分别为：S2m-1=u1-(u2-u3)-…-(u2m-2-u2m-1)，S2m=(u1-u2)+(u3-u4)…+(u2m-1-u2m).由条件(1)知上述两式括号内的数皆非负，从而数列{S2m-1}递减，数列{S2m}递增. 又由条件(2)知00，总存在正数N，使得对n>N和任意正整数r，有|un+1|+|un+2|+…+|un+r|<ε，∴|un+1+un+2+…+un+r|<ε，∴u1+u2+…+un+…收敛. 得证！例1：证明：级数收敛.证：∵==0<1,∴原级数绝对收敛.性质1：级数的重排：正整数列{1,2,…,n,…}到它自身的一一映射f:n→k(n)称为正整数列的重排，相应地对数列{un}按映射F:un→uk(n)所得到的数列{uk(n)}称原数列的重排；同样的，级数也是级数的重排. 记vn=uk(n)，即=v1+v2+…+vn+….定理12.13：若级数绝对收敛，且其和等于S，则任意重排后所得到的级数也绝对收敛，且有相同的和数.证：不妨设为正项级数，用Sn表示它的第n个部分和，记Tm=v1+v 2+…+vm表示级数的第m个部分和.∵级数是的重排，∴对每一个vk都等于某一(1≤k≤m).记n=max{i1,i2,…im}, 则对任何m，都存在n，使Tm≤Sn.由Sn=S知，对任何正整数m有Tm≤S, 即收敛，其和T≤S.又级数也是的重排，∴S≤T，推得T=S.若为一般级数且绝对收敛，即正项级数收敛，同理可推得级数收敛，∴级数收敛. 令pn=，qn=；则当un≥0时，pn=un，qn=un；当un<0时，pn=0，qn=-un≥0. 从而有0≤pn≤|un|，0≤qn≤|un|，pn+qn=|un|，pn-qn=un. 又收敛，∴,都是正项的收敛级数，且S==-.同理得：=-，其中,分别是,的重排.∴=-=-=S. 得证!性质2：级数的乘积：由a=可推得有限项和与级数的乘积：(a1+a2+…+am)=. 继而可推广到无穷级数之间的乘积：设收敛级数=A, =B.将两个级数中每一项所有可能的乘积列表如下：u1v1u1v2u1v3…u1vn…u2v1u2v2u2v3…u2vn…u3v1u3v2u3v3…u3vn…………………unv1unv2unv3…unvn…………………这些乘积uivj按各种方法排成不同的级数，如按正方形顺序相加，得u1v1+u1v2+u2v2+u2v1+u1v3+u2v3+u3v3+u3v2+u3v1+…，如下表：↓←u1v1↓ u1v2↓ u1v3…↓ u1vn…←u2v1↓←u2v2↓u2v3…↓u2vn…←u3v1←u3v2↓←u3v3…↓u3vn……………↓……←unv1←unv2←unv3←…↓←unvn…………………或按对角线顺序相加，得u1v1+u1v2+u2v1+u1v3+u2v2+u3v1+…，如下表：u1v1u1v2u1v3…u1vn…u2v1u2v2u2v3…u2vn…u3v1u3v2……u3vn…………………unv1unv2unv3…unvn…………………定理12.14：(柯西定理) 设绝对收敛级数=A, =B，则由它们中每一项所有可能的乘积uivj按任意顺序排列所得到的级数绝对收敛，且其和等于AB.证：设级数,,的部分和分别为：Sn=|w1|+|w2|+…+|wn|,Am=|u1|+|u2|+…+|um|,Bm=|v1|+|v2|+…+|vm|.其中wk=(k=1,2,…,n)，m=max{i1,j1,i2,j2,…,in,jn}，则必有Sn≤AmBm.∵绝对收敛级数与的部分和数列{Am}和{Bm}都有界，∴{Sn}有界，从而级数绝对收敛. 利用绝对收敛级数的可重排性，将绝对收敛级数按正方形顺序重排如下：u1v1+(u1v2+u2v2+u2v1)+(u1v3+u2v3+u3v3+u3v2+u3v1)+…，把每一括号作一项，得新级数：p1+p2+p3+…+pm+…收敛，且与和数相同，其部分和Pm=AmBm. 即有Pm=AmBm=AmBm =AB. 得证！例2：证明：级数1+2r+…+(n+1)rn+…(|r|<1)绝对收敛，并求其和.证：等比级数=1+r+r2+…+rn+…=(|r|<1)，绝对收敛.将()2的所有可能的项按对角线顺序相加得：1+(r+r)+(r2+r2+ r2)+…+(rn+…+rn)+… (括号内共有n+1个rn)=1+2r+…+(n+1)rn+…=. ∴所求级数绝对收敛，其和为.二、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法引理：(分部求和公式，也称阿贝尔变换)设εi,vi(i=1,2,…,n)为两组实数，若令Tk=v1+v2+…+vk (k=1,2,…,n)，则有如下分部求和公式成立：=(ε1-ε2)T1+(ε2-ε3)T2+…+(εn-1-εn)Tn-1+εnTn.证：以v1=T1, vk=(Tk-Tk-1) (k=2,3,…,n)分别乘以εk (k=1,2,…,n)，则=ε1v1+ε2v2+…+εnvn=ε1T1+ε2(T2-T1)+…+εn(Tn-Tn-1)=(ε1-ε2)T1+(ε2-ε3)T2+…+(εn-1-εn)Tn-1+εnTn.推论：(阿贝尔引理)若(1)ε1, ε2,…, εn是单调数组；(2)对任一正整数k(1≤k≤n)有|Tk|=|v1+v2+…+vk|≤A，记ε={|εk|},有≤3εA.证：由(1)知ε1-ε2, ε2-ε3, …, εn-1-εn同号，于是由分部求和公式及(2)有=|(ε1-ε2)T1+(ε2-ε3)T2+…+(εn-1-εn)Tn-1+εnTn|≤A|(ε1-ε2)+(ε2-ε3)+…+(εn-1-εn)|+A|εn|=A|(ε1-εn)|+ A|εn|≤A(|ε1|+2|εn|)≤3εA.定理12.15：(阿贝尔判别法)若{an}为单调有界数列，且级数收敛,则级数=a1b1+a2b2+…+anbn+…收敛.证：由级数收敛，依柯西准则，对任给正数ε, 存在正数N, 使当n>N时，对一切正整数p，都有<ε.又数列{an}单调有界，∴存在正数M，使|an|≤M，根据阿贝尔引理有≤3εM. ∴级数收敛.注：由阿贝尔判别法知，若级数收敛，则下述两个级数：(1) (p>0)；(2) 都收敛.定理12.16：(狄利克雷判别法)若数列{an}单调递减，且an=0，又且级数的部分和数列有界，则级数收敛.例3：证明：若数列{an}单调递减，且an=0，则级数和对任何x∈(0,2π)都收敛.证：2sin(+)=sin+2sincosx+2sincos2x+…+2sincosnx= sin+(sinx-sin)+…+[sin(n+)x-sin(n-)x]=sin(n+)x. 当x∈(0,2π)时，sin≠0, cot≠+∞.∴=-=sinnxcot+-.又-cot-1≤sinnxcot+-≤cot，即当x∈(0,2π)时，的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知级数收敛. 2sin(-cot)=2sinsinx+2sinsin2x+…+2sinsinnx-cos= (cos-cosx) +…+[cos(n-)x-cos(n+)x]-cos=-cos(n+)x. 当x∈(0,2π)时，sin≠0, cot≠+∞.∴=cot-=. 又- csc=≤≤=csc，即当x∈(0,2π)时，的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知级数收敛. 注：作为例3的特例，级数和对一切x∈(0,2π)都收敛.习题1、下列级数哪些是绝对收敛，条件收敛或发散的：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).解：(1)∵<(n>4)；又级数收敛，∴原级数绝对收敛.(2)∵=1≠0；∴原级数发散.(3)∵当p≤0时，≠0；∴原级数发散；当p>1时，≤；又级数(p>1)收敛，∴原级数绝对收敛.当01, =1，∴当n充分大时，>，即>，从而<1，即un+1(n≥2)，且发散，∴原级数不绝对收敛.又{}单调减且=0，∴原级数条件收敛.(7)记un=，则==，∴原级数绝对收敛.(8)记un=，则==||，∴当-e0，∴≠0，∴原级数发散.2、应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性：(1) (x>0)； (2), x∈(0,2π) (a>0)；(3), x∈(0,π).解：(1)∵当x>0时，0<<=1，且=；若01，则>1，即数列{}单调有界. 又级数收敛，由阿贝尔判别法知原级数收敛.(2)∵当a>0时，数列{}单调递减，且=0，又当x∈(0,2π)时，≤csc，即的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知原级数收敛.(3)∵数列{}单调递减，且=0，又当x∈(0,π)，=≤+≤+.又由2sinx=4sin(2n+1)x-4sinx，得=≤+2，即对任意x∈(0,π)，级数有界，根据狄利克雷判别法知原级数收敛.3、设an>an+1>0 (n=1,2,…)且an=0. 证明：级数收敛.证：由an>an+1>0 (n=1,2,…)且an=0知，{}单调减且趋。
