应用多元统计课件ch.ppt

1,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质,性质4 分块Wishart矩阵的分布:设X(α) ～ Np(0,Σ) (α＝1,…,n)相互独立，其中,又已知随机矩阵,则,2,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质,,性质5 设随机矩阵W～Wp(n,Σ)，记,则,相互独立其中,～,(性质5,性质7和性质8不要求),3,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质,性质6 设随机矩阵W～Wp(n,Σ)，则 E(W)＝nΣ.,证明:由定义3.1.4,知,,其中Zα～Np(0,Σ)(α=1,…,n)相互独立.则,4,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T2分布,一元统计中, 若X～N(0,1),～ χ2(n) ,X与  相互独立,则随机变量,下面把 的分布推广到p元总体.,设总体X～Np(0,Σ)，随机阵W ～ Wp(n,Σ),我们来讨论T2＝nX'W -1 X的分布.,5,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T2分布,定义3.1.5 设X～Np(0,Σ),随机阵W～Wp(n,Σ) (Σ0, n≥p),且X与W相互独立, 则称统计量T2＝nX′W-1 X 为Hotelling T2 统计量,其分布称为服从n个自由度的T2 分布,记为T2 ～ T2 (p,n).,更一般地,若X～Np(μ,Σ) (μ≠0),则称T2 的分布为非中心Hotelling T2 分布，记为 T2 ～ T2 (p,n,μ).,6,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T2分布的性质,性质1 设X(α) ～ Np(μ,Σ) (α＝1,…,n) 是来自p元总体Np(μ,Σ)的随机样本, X和A分别为总体Np(μ,Σ)的样本均值向量和离差阵,则统计量,事实上,因,,7,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T2分布的性质,而A～Wp(n-1,Σ),且A与X相互独立.由定义 3.1.5知,,8,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T2分布的性质,性质2 T2与F分布的关系:设T2～T2 (p,n)， 则,在一元统计中,9,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T2分布的性质,当p=1时,一维总体X～N(0,σ2)，,所以 注意:因,,这是性质2的特例:即p=1时,T2~F(1,n).,10,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T2分布的性质,一般地：(性质2的严格证明见参考文献[2]),其中ξ＝X′Σ-1 X～χ2(p,δ) (δ＝0)，还可以证明,χ2(n-p+1),且ξ与η独立.,11,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T2分布的性质,性质3 设X～Np(μ,Σ), 随机阵W～Wp(n,Σ) (Σ0, n≥p),且X与W相互独立, T2＝nX′W -1 X 为非中心Hotelling T2 统计量(T2 ～ T2 (p,n,μ)).,则,其中非中心参数 .,～,12,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T2分布的性质,或 性质3 设X(α) ～ Np(μ,Σ) (α＝1,…,n) 是来自p元总体Np(μ,Σ)的随机样本, X 和A分别为样本均值向量和离差阵.记,,13,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T2分布的性质,一元统计中(p=1时),t 统计量与参数σ2无关.类似地有以下性质. 性质4 T2统计量的分布只与p,n有关,而与Σ无关. 即,14,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T2分布的性质,事实上,因X～Np(0,Σ) (Σ＞0),W～Wp(n,Σ),则Σ-1/2X～Np(0,Ip)，,因此,15,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T2分布的性质,性质5 在非退化的线性变换下,T2统计量保持不变 设X(α) (α＝1,…,n) 是来自p元总体Np(μ,Σ)的随机样本, Xx和Ax分别表示正态总体X的样本均值向量和离差阵,则由性质1有,,16,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Hotelling T2分布的性质,,令,其中C是pp非退化常数矩阵，d是p1常向量。

则可证明：,,17,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Wilks Λ分布的定义,一元统计中,设ξ～χ2(m),η～χ2(n), 且相互独立,则,在总体N(μ1,σ2(x))和N(μ2,σ2(y))方差齐性检验中,设X(i)(i=1,…,m)为来自总体N(μ1,σ2(x))的样本, Y (j) (j=1 ,…,n)为来自总体N(μ2,σ2(y))的样本.取σ2(x)和σ2(y)的估计量(样本方差)分别为,18,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Wilks Λ分布的定义,检验统计量,p元总体Np(μ,Σ)中,协差阵Σ的估计量为A/(n-1)或A/n.在检验H0:Σ1＝Σ2时,如何用一个数值来描述估计矩阵的离散程度呢.一般可用矩阵的行列式、迹或特征值等数量指标来描述总体的分散程度.,19,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Wilks Λ分布的定义,定义3.1.6 设X～Np(μ,Σ),则称协差阵的行列式|Σ|为X的广义方差.若X(α) (α＝1,…, n ) 为p元总体X的随机样本，A为样本离差阵,,有了广义方差的概念后,在多元统计的协差阵齐次检验中,类似一元统计,可考虑两个广义方差之比构成的统计量——Wilks统计量的分布.,20,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Wilks Λ分布的定义,定义3.1.7 设A1～Wp(n1,Σ) , A2～Wp(n2,Σ) (Σ＞0,n1≥p), 且A1与A2独立, 则称广义方差之比,为Wilks(或Λ)统计量,其分布称为Wilks(威尔克斯)分布,记为 Λ～Λ(p,n1,n2) (或Λp,n1,n2),21,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Wilks Λ统计量的性质,在实际应用中,常把Λ统计量化为T2统计量,进而化为F统计量,利用我们熟悉的F统计量来解决多元统计分析中有关检验的问题.,结论1 当n2＝1时,设n1=n＞p,则,注意:在这里记号Λ(p,n,1)有两重含义:①统计量(也是随机变量); ②其分布是参数为p,n,1的威尔克斯分布.,22,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Wilks Λ统计量的性质,或,证明 设X(α) (α＝1,…,n,n+1)相互独立同Np(0,Σ)分布,显然有,23,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Wilks Λ统计量的性质,由定义3.1.7，知,24,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Wilks Λ统计量的性质,利用分块矩阵求行列式的公式(见附录的推论4.1):,,,,,25,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Wilks Λ统计量的性质,所以,结论2 当n2＝2时,设n1＝n＞p,则,26,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Wilks Λ统计量的性质,结论3 当p=1时，则,因p=1时,Λ(1,n1,n2)就是ß (n1 /2,n2 /2) 利用贝塔分布与F分布的关系,即有以上结论.,27,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Wilks Λ统计量的性质,结论4 当p=2时，则,结论5 当n2＞2,p＞2时,可用χ2统计量或F统计量近似. Box(1949)给出以下结论：,设Λ～Λ(p, n, n2),则当n→∞时， -rlnΛ～χ2(p n2 ), 其中r = n-(p- n2+1)/2.,(二个重要结论不要求),28,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.1 几个重要统计量的分布-- Wilks Λ统计量的性质,下面不加证明地给出地二个重要结论： (1) 若Λ～Λ(p,n1,n2),则存在相互独立B1,…,Bp , Bk～ (k=1,…,p)使得,d,p=1时Λ(1,n1,n2)就是ß (n1 /2,n2 /2).,(2),29,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.2 单总体均值向量的检验,在多元统计分析中,考虑的总体是p维正态总体Np(μ,Σ),关于均值向量的检验问题经常是需要的. p元正态随机向量的每一个分量都是一元正态变量,关于均值向量的检验问题能否化为 p个一元正态的均值检验问题呢?显然这是不完全的.因为p个分量之间往往有互相依赖的关系,分开作检验,往往得不出正确的结论.但我们可以构造出类似于一元统计中的统计量,用来对均值向量进行检验.,30,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.2 单总体均值向量的检验,关于均值向量的检验包括: ① 一个p元正态总体Np (μ,Σ),检验 H0: μ＝μ0; ② 二个p元正态总体Np(μ1,Σ1)和Np (μ2,Σ2)，检验H0: μ1＝μ2 ③ k个p元正态总体Np(μi,Σ)(i＝1,…,k),当协差阵相等时检验k个均值向量是否全相等(即多元方差分析).,31,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.2 单总体均值向量的检验,设总体X～Np(μ,Σ),随机样本X(α) (α＝1,…,n).检验 H0: μ＝μ0 (μ0为已知向量),H1: μ≠μ0,1. 当Σ＝Σ0已知时均值向量的检验,利用二次型分布的结论(“2.结论1”)知,32,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.2 单总体均值向量的检验,取检验统计量为,按传统的检验方法,对给定的显著水平α,查χ2分布临界值表得λα :,33,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.2 单总体均值向量的检验,由样本值x(α) (α＝1,…,n),计算X及T20值,若T20 ＞λα,则否定H0,否则H0相容.,利用统计软件(如SAS系统),还可以通过计算显著性概率值(p值)给出检验结果,且由此得出的结论更丰富. 假设在H0成立情况下,随机变量T20 ～χ2(p),由样本值计算得到T20的值为d,可以计算以下概率值： p=P{ T20 ≥d }, 常称此概率值为显著性概率值，或简称为p值.,,34,第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.2 单总体均值向量的检验,对给定的显著性水平α,当p值＜α时(即d值大,X与μ偏差大),则在显著性水平α下否定假设H0 ；在这种情况下,可能犯“以真当假”的第一类错误,且α就是犯第一类错误的概率. 当p值≥α时(即d值小, X与μ偏差小),,则在显著性水平α下H0相容；在这种情况下，可能犯“以假当真”的第二类错误,且犯第二类错误的概率β为 β=P{ T20 ≤λα|当μ=μ1≠μ0 }, 其中检验统计量T20 ～。