原子的精细结构电子的自旋.docx

第四章 原子的精细结构：电子的自旋玻尔理论考虑了原子主要的相互作用即核与电子的静电作用，较为有效地解释了氢光谱不过 人们随后发现光谱线还有精细结构，这说明还需考虑其它相互作用即考虑引起能量变化的原因本 章在量子力学基础上讨论原子的精细结构本章先介绍原子中电子轨道运动引起的磁矩，然后介绍原子与外磁场的相互作用，以及原子部 的磁场引起的相互作用说明空间量子化的存在，且说明仅靠电子的轨道运动不能解释精细结构， 还须引入电子自旋的假设，由电子自旋引起的磁相互作用才是产生精细结构的主要因素§ 4-1原子中电子轨道运动的磁矩1. 经典表示式在经典电磁学中载流线圈的磁矩为E = iSn若不取国际单位制，则F = -5^）（ S为电流所 c围的面积，n是垂直于该积的单位矢量这里假定电子轨道为圆形，可证明，对于任意形状的闭合轨道，其结果不变电子绕核的运动必定有一个磁矩，设电子旋转频率为v=^，则原子中电子绕核旋转的磁矩 2兀r为：|? = i? = -evnr2n =-e2— nr2片=一^^m vrE = 一2~~Le e定义旋磁比："些白，则电子绕核运动的磁矩为| F=-y[2m 上式是原子中电子绕核运动的磁矩与电子轨道角动量之间的关系式。

磁矩P与轨道角动量L反向，这是因为磁矩的方向是根据电流方向的右手定则定义的，而电子运动方向与电流反向之故从电磁学知道，磁矩在均匀外磁场中不受力，但受到一个力矩作用，力矩为？=也Bn力矩的存在将引起角动量的变化，即竺=f=#x Bdt由以上关系可得迷=-丫队B，可改写为乖=龄£dt dt拉莫尔进动的角速度公式：困字B|，表明：在均匀外磁场B中高速旋转的磁矩不向B靠拢， 而是以一定的（n绕月作进动n的方向与B一致进动角频率（or拉莫尔频率）为：卜，=?L 2兀2. 量子化条件此前的两个量子数中，主量子数n决定体系的能量，角动量量子数，决定轨道形状轨道平面方向的确定：当有一个磁场存在时，磁场*的方向即为参考方向，轨道平面的方向也 才有意义轨道角动量L垂直于轨道平面，它相对于磁场方向（定义为z）的角度a决定了轨道平面的方向， 如右图示此前得到角动量量子化条件为：L=m,/=i,2,3,a鉴于量子力学的本质，将此条件作一原则性改动，取由量子力学计算所得的结果L =.顶石顽=0,1,2,A，由此引入第三个量子化条件：L = mnm = 1,1 -\,A ,-1显然，对于一固定的l，有（2l +i）个m值。

3. 角动量取向量子化根据轨道角动量及其分量的量子化条件!L=』i（i+i）n, 1=0,1,2 A做出其矢量模型示意图（右 L = mr\, m = l, l 一 1, A ,-lz图）其特点是£不能与z方向重合，这正是对角动量量子化条件改动而产生的效果将以上量子化条件代入磁矩H和磁矩在z方向投影的表达式R z有：［日=-Yl = -』（/+1） R< Br = -yL = -ymn = -mRB令R B = 2+ = o-5788 X10-4 eV - T-1，称为玻尔磁子，是轨道磁矩的最小单元是原子物理 e 学中的一个重要常数1 e2 n2 1 1可改写为RB = 2~cme^e = 2a（气），式中a =访为精细结构常数，a 1是第一玻尔半径e此式说明磁相互作用至少比电相互作用小两个数量级4-2史特恩-盖拉赫实验（在外加非均匀磁场中原子束的分裂）1921年，史特恩和盖拉赫首次作实验证实了电子自旋的存在，是对原子在外磁场中取向量子 化的首次直接观察，是原子物理学中最重要的实验之一，实验装置如右图示从加热炉O中发出一束氢 原子蒸气(由于炉温不很高，故 原子处于基态)，原子速度满足一 1 3 r于2 mv2 = 2 kT，氢原子先后穿I ，工彳岫旺比接真空泵 预期菇果观测结果束穿过磁场区最后落在屏上。

史特恩■盖拉林实验装置示意图为使氢原子束在磁场区受力，要求磁场在A的线度围是非均匀磁场(实验的困难所在)沿x方向进入磁场的原子束只在Z方向上受力，F=z3BH Zz dzx = vt原子束在磁场区的运动方程为：［ 1 F七=2篇2原子经磁场区(长度为D)后，与x轴线的偏角为:—dz , ,Ft、, a = tg dx=tg - (mv)d = tgFd-1 —z mv 2当原子束落至屏上P点时，偏离x轴的距离为z26B dD=u ——z z dz 3kT过两个狭缝后即得到沿X方向运 动的速度为V的氢原子束原子式中u =u cos p，见右上图由以上讨论知，不仅U呈量子化，U在z方向的投影也呈量子化，因为只有这样，z2的数值才 可能是分立的故从实验测得z2是分立的，反过来证明U呈量子化此实验是空间量子化最直接的证明，它是第一次量度原子基态性质的实验以上只考虑了电子的轨道运动，现将电子的自旋也考虑进来，即原子的总磁矩是由轨道和自旋 两部分磁矩合成的只有全面考虑才能解释氢原子在非均匀磁场中的偶分裂现象于是 z = u ^Bz^D 中的 U =- mg u ,即 z =±m g u ^bz^^d2 z 8z 3kT 十的 z jJb，即 2 J&J B 8z 3kT在运用上式时须注意单位，3kT的单位应取eV。

由于mj = J,J -1，A，-J共有(2J +1)个值，所以就有(2J +1)个分裂的z 2值，即在感光板上 有(2J +1)个黑条，表明了(2, +1)个空间取向由此得出一种通过实验确定g因子的重要方法可据上式解释单电子或多电子体系的各种原子的史特恩-盖拉赫实验结果对于氢(单电子)， 因氢原子处于基态，n = 1,l = 0,s = 2, j = 0 + s = 2,m = ±2，进而可得出g . = 2，故有mjgj = 1 于 是 与 具 体 实 验 参 数 相 对 应 的1m x 2m8B dDz = ±h -^z--— = ±0.5788 x 10-4 eV /T x 10T / m x -~— VJK_7_10 k = ±l」2cm以上计算结果表明处于基态的氢原子束在不均匀磁场作用下分裂为两层，各距中线1.12cm，与实验甚符史特恩-盖拉赫实验结果证明:1)原子在外磁场中的取向呈量子化;2）3）电子自旋磁矩的数值为日=±日b，g = 2电子自旋假设是正确的，氢原子在磁场中只有两个取向即s =-；2§4-3电子自旋的假设1. 乌仑贝克与古兹米特（1925年，时年不到25岁的荷兰学生）的电子自旋假说从史特恩-盖拉赫实验出现偶数分裂的事实，给人启示，要使（2/ + -）为偶数，只有角动量为半 整数。

而轨道角动量是不可能为半整数的乌仑贝克与古兹米特根据大量实验事实提出假设：1）电子不是点电荷，除轨道角动量外还有自旋运动，具有固有的自旋角动量s （禀角动量），|s| = js（s + -）ns = ^它在z方向的分量只有两个：sz = ±^门即自旋量子数在z方向的分量只能取土2，S = m门，m =±22）电子因自旋而具有的自旋磁矩（禀磁矩）与自旋方向相反，在z方向的分量为1个玻尔磁子，即为经典数值的两倍日=_孑3日B日=叩I sz B（p s的存在标志着电子还有一个新的物理自由度）玻尔磁子 M =竺=0-9274x 10-23J/T = 0.5788x 10-4eV/T B 2m p =在此之前已得到电子轨道运动的磁矩为均pI le-j（‘ + D PB 电子与自旋相联系的磁矩类似=-ym^ = - mpB j3于电子轨道运动的磁矩，可写出电子自旋的磁矩为=-v's（ s +1） p = ——p B 2 B但这两个式子1=-m p = p _ pz s B 2 B与实验不符，为与实验事实相符，乌仑贝克与古兹米特进一假设：电子的磁矩为一个玻尔磁子，即为经典数值的2倍p =—气：3 pp = ppsBz从以上的讨论可知:e 、 mee • 一 … 一—，两者相差一倍。

2me电子自旋假设受到各种实验的支持，是对电子认识的一个重大发展狄拉克于1928年找到一种与狭义相对论相融洽的理论，可由狄拉克量子方程得出电子自旋的自然结果反过来看，电子轨道运动的磁矩为〈四1 =rl（l + 1）, 在原子体系中并不普遍成立p = -ym^ = - m^l Bz电子自旋假设是经典物理学是无法接受的如将电子自旋视为机械自旋，可证明电子自旋使其 表面的切向线速度将超过光速正因为如此，这一假说一开始就遭到很多反对，但后来的事实证明， 电子自旋的概念是微观物理学中最重要的概念电子的自旋不能理解为像陀螺一样绕自身轴旋转， 它是电子部的属性，与运动状态无关它在经典物理中找不到对应物，是一个崭新的概念）2. 朗德因子（g因子）定义一个g因子，使得对任意角动量j所对应的磁矩以及它们在z方向上的投影都成立表示p j = j( j + 1) g j pB p jz =- mg p B3 s (s +1) — l (l +1)g = + n2 2 j (j +1)s = 0, l 丰 0 — g = g = 1s 丰 0, l = 0 — g = g = 2引入g因子后，电子的轨道磁矩、自旋磁矩和总磁矩以及在z方向的分量分别表示为:p = - g J(l + 1)pl l Bp =-g \s(s + 1)pB=-g 3 (j+1) p j B=-m g p=-m g p= -m g p j j bs spJplzpszpj_当只考虑轨道角动量时，j=I,g广1叫p l = - Jl (l + 1) p Bp = -ymn = - mplz当只考虑自旋角动量时，j = s,g = 2,则=一\ 3pB= ppBz3.原子的磁矩电子的磁矩和原子核的磁矩合成原子的磁矩。

由于原子核的磁矩比电子磁矩小3个数量级，一般可不考虑因此，对单电子原子电子的磁矩即为原子的磁矩对多电子原子，当为L-S耦合时，g因子是反映物质 部运动的一个重要 物理量，但至今仍是一个假设，它可以表示为:g因子仍具有与以上相同的形式:3 S(S +1) - L(L +1)—+ —; ; 2 2 J (J +1)目=-gdJ （J +1川原子的磁矩及其在z方向的分量 为：（七 ^曰=-mg^I JZ B4. 角动量的合成电子的自旋和轨道运动相互耦合的总角动量可表示为：J= L+ S按矢量合成法则有：J 2 = L2+ S 2 + 2 LS cos 9 = L2 + S 2 + 2 L. S- L ?= 1（ J 2-L - S 2） 2须注意的是，并非按上式求出的J都合乎要求量子数，的取值由角量子数l与自旋量子数S决定，最大值是（1 + S ），最小值是\l-s|量子力学可证明，j可能的取值是：j =l + s，l + s-1，A , l-s由此得：L- S=—tj（j+1）-1（l+1）-s（s+1）］所以，总角动量可表示为：J=L+S2 量子化的L、S ?的大小分别为:'L = Jl(l +1) ,。