数学建模姜启源第四版.ppt

第第一一章章 建立数学模型建立数学模型1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型1.2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义1.3 数学建模示例数学建模示例1.4 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤1.5 数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类1.6 怎样学习数学建模怎样学习数学建模玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型…~ 实物模型实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、风洞中的飞机…~ 物理模型物理模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图…~ 符号模型符号模型模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的进行简缩、抽象、提炼出来的原型原型的替代物的替代物.模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人们需要的那一部分特征中人们需要的那一部分特征.1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型我们常见的模型我们常见的模型你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型————““航行问题航行问题””用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：答：船速为答：船速为20km/h. .甲乙两地相距甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需，船从甲到乙顺水航行需30h，，从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50h，问船的速度是多少，问船的速度是多少?x=20y =5求解求解航行问题航行问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤• 作出简化假设（船速、水速为常数）；作出简化假设（船速、水速为常数）；• 用符号表示有关量（用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；表示船速和水速）；• 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）；• 求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20, y=5）；）；• 回答原问题（船速回答原问题（船速为为20km/h））.数学模型数学模型 (Mathematical Model) 和和数学建模（数学建模（Mathematical Modeling)对于一个对于一个现实对象现实对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，，根据其根据其内在规律内在规律，作出必要的，作出必要的简化假设简化假设，，运用适当的运用适当的数学工具数学工具，得到的一个，得到的一个数学表述数学表述. .建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学模型数学数学建模建模1.2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义• 电子计算机的出现及飞速发展；电子计算机的出现及飞速发展；• 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透数学以空前的广度和深度向一切领域渗透.数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视越来越受到人们的重视.• 在一般工程技术领域在一般工程技术领域, 数学建模仍然大有用武之地；数学建模仍然大有用武之地；• 在高新技术领域在高新技术领域, 数学建模几乎是必不可少的工具；数学建模几乎是必不可少的工具；• 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术技术”. 数学数学“由研究到工业领域的由研究到工业领域的技术转化技术转化，对加强，对加强经济竞争力具有重要意义经济竞争力具有重要意义”. “计算和建模计算和建模重新成为中心课题，它们是数学重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化的主要途径科学技术转化的主要途径” .数学建模的重要意义数学建模的重要意义数学建模的具体应用数学建模的具体应用• 分析与设计分析与设计• 预报与决策预报与决策• 控制与优化控制与优化• 规划与管理规划与管理数学建模计算机技术知识经济知识经济如虎添翼如虎添翼1.3 数学建模示例数学建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常 ~ 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 ~ 四只脚着地四只脚着地• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形连线呈正方形;• 地面高度连续变化，可视为数学上的连续地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面曲面;• 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地只脚同时着地.模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来.• 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性.xBADCOD´C ´B ´A ´用用 (对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位表示椅子位置置.• 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数.四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 ~ f( )B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 ~ g( )两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来.f( ) , g( )是是连续连续函数函数对任意对任意 , f( ), g( )至少一个为至少一个为0数学数学问题问题已知：已知： f( ) , g( )是是连续函数连续函数 ; 对任意对任意 ，， f( ) • g( )=0 ; 且且 g(0)=0，， f(0) > 0. 证明：存在证明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地模型求解模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法3）由）由 f, g 的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数, 据连续函数据连续函数的基本性质的基本性质, 必存在必存在 0 ( 0<  0 <  /2) , 使使h( 0)=0, 即即 f( 0) = g( 0) .1）将椅子）将椅子旋转旋转90o，对角线，对角线AC和和BD互换互换.由由 g(0)=0，，f(0) > 0，知，知 f( /2)=0, g( /2)>0.2）令）令 h( )= f( )–g( ), 则则 h(0)>0 和和 h( /2)<0.4）因为）因为 f( ) • g( )=0, 所以所以 f( 0) = g( 0) = 0.评注和思考评注和思考建模的关键：建模的关键： 假设条件中哪些是本质的假设条件中哪些是本质的, 哪些是非本质的哪些是非本质的? 考察四脚连线呈长方形的椅子考察四脚连线呈长方形的椅子 (习题习题4).用用 表示椅子的位置表示椅子的位置椅子的旋转轴在哪里，它在旋转过程中怎样椅子的旋转轴在哪里，它在旋转过程中怎样变化？变化？ 用用 f( ), g( )表示椅脚与地面的距表示椅脚与地面的距离离证明过程的粗糙之处：证明过程的粗糙之处：1.3.2 商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河问题问题( (智力游戏智力游戏) )      3名商人名商人       3名随从名随从随从们密约随从们密约, , 在河的任在河的任一岸一岸, , 一旦随从的人数一旦随从的人数比商人多比商人多, , 就杀人越货就杀人越货. .乘船渡河的方案由商人决定乘船渡河的方案由商人决定. .商人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河?问题分析问题分析多步决策过程多步决策过程决策决策~ 每一步每一步( (此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸) )船上的人员船上的人员. .要求要求~在安全的前提下在安全的前提下( (两岸的随从数不比商人多两岸的随从数不比商人多),),经经有限步使全体人员过河有限步使全体人员过河. .河河小船小船(至多至多2人人)模型构成模型构成xk~第第k次渡河前此岸的商人数次渡河前此岸的商人数yk~第第k次渡河前此岸的随从数次渡河前此岸的随从数xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,……sk=(xk , yk) ~过程的状态过程的状态S={(x , y)  x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}S ~ 允许状态集合允许状态集合uk~第第k次渡船上的商人数次渡船上的商人数vk~第第k次渡船上的随从数次渡船上的随从数dk=(uk , vk) ~过程的决策过程的决策D ~允许决策集合允许决策集合uk, vk=0, 1, 2; k=1,2,……sk+1=sk dk +(-1)k~状态转移律状态转移律D={(u , v)  u+v=1, 2, u, v=0, 1, 2} 状态因决策而改变状态因决策而改变模型求解模型求解xy3322110• 穷举法穷举法 ~ 编程上机编程上机• 图解法图解法状态状态s=(x,y) ~ 16个格点个格点 ~ 10个个 点点允许决策允许决策 ~ 移动移动1或或2格格; k奇奇,左下移左下移; k偶偶,右上移右上移.s1sn+1d1, ,d11给出安全渡河方给出安全渡河方案案d1d11允许状态允许状态S={(x , y)  x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}求求dk D(k=1,2, n), 使使sk S, 并按并按转移律转移律 sk+1=sk+(-1)kdk 由由 s1=(3,3)到达到达 sn+1=(0,0).模型构成模型构成商人和随从人数增加或小船容量加大商人和随从人数增加或小船容量加大;商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河智力游戏智力游戏多步决策过程多步决策过程( (数学模型数学模型) )易于推广易于推广:规格化方法规格化方法考虑考虑4名商人各带一随从的情况名商人各带一随从的情况.多步决策模型多步决策模型:恰当地设置状态和决策恰当地设置状态和决策, 确定状确定状态转移律及目标态转移律及目标(目标函数目标函数).便于求解便于求解 (计算机编程等计算机编程等).场景场景1.3.3 如何施救药物中毒如何施救药物中毒两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室.诉说两小时前孩子一次误吞下诉说两小时前孩子一次误吞下11片片治疗哮喘病、剂量治疗哮喘病、剂量100mg/片片的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状. 按照药品使用说明书，氨茶碱的成人用量是按照药品使用说明书，氨茶碱的成人用量是100~200mg / 次，儿童是次，儿童是3~5 mg/kg.过量服用可使血药浓度过量服用可使血药浓度(单位血液容积中的药量单位血液容积中的药量)过高，过高，100μg/ml浓度会出现浓度会出现严重中毒严重中毒，，200μg/ml浓度浓度可致命可致命. 医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到100~200 μg/ml；如果会达到，应采取怎样的；如果会达到，应采取怎样的紧急施救紧急施救方案方案. 调查与分析调查与分析转移率转移率正比于正比于x排除率排除率正比于正比于y胃肠道胃肠道血液系统血液系统口服药物口服药物体外体外认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的，认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的，可以将血液系统看作一个房室，建立可以将血液系统看作一个房室，建立“一室模型一室模型” .药量药量x(t)药量药量y(t)血液系统对药物的吸收率血液系统对药物的吸收率 (胃肠道到血液系统的转移胃肠道到血液系统的转移率率) 和排除率可以由和排除率可以由半衰期半衰期确定确定.半衰期半衰期可以从药品说明书上查到可以从药品说明书上查到. 通常，血液总量约为人体体重的通常，血液总量约为人体体重的7~8%，体重，体重50~60 kg的成年人有的成年人有4000ml左右的血液左右的血液. 目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认为其血液总量约为为其血液总量约为2000ml. 调查与分析调查与分析血药浓度血药浓度=药量药量/血液总量血液总量 • 口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率增加到原来（人体自身）的增加到原来（人体自身）的2倍倍. 临床施救的办法：临床施救的办法：• 体外血液透析，药物排除率可增加到原来的体外血液透析，药物排除率可增加到原来的6倍，但是安全性不能得到充分保证倍，但是安全性不能得到充分保证.模型假设模型假设 1. 胃肠道中药物向血液的转移率与胃肠道中药物向血液的转移率与x(t) 成正比，比例系成正比，比例系数数λ(>0)，总剂量，总剂量1100mg药物在药物在t=0瞬间进入胃肠道瞬间进入胃肠道.2. 血液系统中药物的排除率与血液系统中药物的排除率与y(t) 成正比，比例系数成正比，比例系数μ(>0)，，t=0时血液中无药物时血液中无药物.3. 氨茶碱被吸收的半衰期为氨茶碱被吸收的半衰期为5小时，排除的半衰期为小时，排除的半衰期为6小时小时. 4. 孩子的血液总量为孩子的血液总量为2000ml. 胃肠道中药量胃肠道中药量x(t), 血液系统中药量血液系统中药量y(t)，时间，时间t以以孩子误服药的时刻为起点（孩子误服药的时刻为起点（t=0））. 模型建立模型建立x(t)下降速度与下降速度与x(t)成正比成正比(比例系数比例系数λ), 总剂量总剂量1100mg药物在药物在t=0瞬间进入胃肠道瞬间进入胃肠道.转移率转移率正比于正比于x排除率排除率正比于正比于y胃肠道胃肠道血液系统血液系统口服药物口服药物体外体外药量药量x(t)药量药量y(t)y(t)由吸收而增长的速度是由吸收而增长的速度是λx，由排除而减少的速度，由排除而减少的速度与与y(t) 成正比成正比(比例系数比例系数μ) , t=0时血液中无药物时血液中无药物.模型模型求解求解 药物吸收的半衰期为药物吸收的半衰期为5小时小时 药物排除的半衰期为药物排除的半衰期为6小时小时 只考虑血液对药物的排除只考虑血液对药物的排除血液总量血液总量2000ml血药浓度血药浓度200μg/ml结果及分析结果及分析 胃肠道药量胃肠道药量血液系统药量血液系统药量血药浓度血药浓度100μg/mly(t) =200mg严重中毒严重中毒y(t) =400mg致命致命t=1.62t=4.87t=7.89y=442孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救，孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救，约约3 3小时后将致命！小时后将致命！y(2)=236.5 施救方案施救方案 • 口服活性炭使药物排除率口服活性炭使药物排除率μ增至原来的增至原来的2倍倍. 孩子到达医院孩子到达医院(t=2)就开始施救，血液中药量记作就开始施救，血液中药量记作z(t) λ=0.1386 (不变)，μ =0.1155*2=0.2310 施救方案施救方案 t=5.26z=318• 施救后血液中药量施救后血液中药量z (t)显著低于显著低于y(t). • z (t)最大值低最大值低于致命水平于致命水平.• 要使要使z (t)在施救在施救后立即下降，可算后立即下降，可算出出μ至少应为至少应为0.4885. 若采用体外血液透析，若采用体外血液透析，μ可增至可增至0.1155*6=0.693，血，血液中药量下降更快；临床上是否需要采取这种办法，液中药量下降更快；临床上是否需要采取这种办法，当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定.  数学建模的基本方法数学建模的基本方法•机理分析机理分析•测试分析测试分析根据对客观事物特性的认识，根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律找出反映内部机理的数量规律.将对象看作将对象看作“黑箱黑箱”,通过对量测数据的通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型统计分析，找出与数据拟合最好的模型.机理分析没有统一的方法，主要通过机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究实例研究 (Case Studies)来学习。

以下建模主要指机理分析来学习以下建模主要指机理分析. .•二者结合二者结合用机理分析建立模型结构用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数用测试分析确定模型参数.1.4 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用模模型型准准备备了解实际背景了解实际背景明确建模目的明确建模目的搜集有关信息搜集有关信息掌握对象特征掌握对象特征形成一个形成一个比较清晰比较清晰的的“问题问题”模模型型假假设设针对问题特点和建模目的针对问题特点和建模目的作出作出合理合理的、的、简化简化的假设的假设在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中模模型型构构成成用数学的语言、符号描述问题用数学的语言、符号描述问题发挥发挥想像力想像力使用使用类比法类比法尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤模型模型求解求解各种数学方法、软件和计算机技术各种数学方法、软件和计算机技术.如结果的误差分析、统计分析、如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型对数据的稳定性分析.模型模型分析分析模型模型检验检验与实际现象、数据比较，与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性检验模型的合理性、适用性.模型应用模型应用 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤数学建模的全过程数学建模的全过程现实对象的信息现实对象的信息数学模型数学模型现实对象的解答现实对象的解答数学模型的解答数学模型的解答表述表述求解求解解释解释验证验证(归纳)(演绎)表述表述求解求解解释解释验证验证根据建模目的和信息将实际问题根据建模目的和信息将实际问题“翻译翻译”成数学问成数学问题题.选择适当的数学方法求得数学模型的解答选择适当的数学方法求得数学模型的解答.将数学语言表述的解答将数学语言表述的解答“翻译翻译”回实际对回实际对象象.用现实对象的信息检验得到的解答用现实对象的信息检验得到的解答.实践现现实实世世界界数数学学世世界界理论实践1.5 数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类模型的逼真性和可行性模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的渐进性模型的强健性模型的强健性模型的可转移性模型的可转移性模型的非预制性模型的非预制性模型的条理性模型的条理性模型的技艺性模型的技艺性模型的局限性模型的局限性 数学模型的特点数学模型的特点数学模型的分类数学模型的分类应用领域应用领域人口、交通、经济、生态、人口、交通、经济、生态、…数学方法数学方法初等数学、微分方程、规划、统计、初等数学、微分方程、规划、统计、…表现特性表现特性描述、优化、预报、决策、描述、优化、预报、决策、…建模目的建模目的了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱黑箱黑箱确定和随机确定和随机静态和动态静态和动态线性和非线性线性和非线性离散和连续离散和连续1.6 怎样学习数学建模怎样学习数学建模数学建模与其说是一门数学建模与其说是一门技术技术，不如说是一门，不如说是一门艺术艺术技术大致有章可循技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力想像力洞察力洞察力判断力判断力• 学习、分析、评价、改进别人作过的模型学习、分析、评价、改进别人作过的模型. .• 亲自动手，认真作几个实际题目亲自动手，认真作几个实际题目. .参加参加全国大学生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛的意义和作用的意义和作用 • 1992年中国工业与应用数学学会年中国工业与应用数学学会(CSIAM)开始组织开始组织• 1994年起教育部高教司和年起教育部高教司和CSIAM共同举办共同举办(每年每年9月月)2010年年33省省/市市/区区(含港澳含港澳)的的1195校校17200队队内容内容• 赛题：工程技术、管理科学中简化的实际问题赛题：工程技术、管理科学中简化的实际问题.• 答卷：包含模型假设、建立、求解计算方法设计和计答卷：包含模型假设、建立、求解计算方法设计和计算机实现、结果分析和检验、模型改进等方面的论文算机实现、结果分析和检验、模型改进等方面的论文.形式形式• 3名大学生组队，在名大学生组队，在3天内完成的通讯比赛天内完成的通讯比赛.• 可使用任何可使用任何“死死”材料（图书、计算机、软材料（图书、计算机、软件、互联网等），但不得与队外任何人讨论件、互联网等），但不得与队外任何人讨论.宗旨宗旨创新意识创新意识 团队精神团队精神 重在参与重在参与 公平竞争公平竞争标准标准假设的合理性，建模的创造性，假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性结果的正确性，表述的清晰性.全国大学生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛 竞赛培养创新精神和综合素质竞赛培养创新精神和综合素质 • 赛题紧密结合科技和社会热点问题，培养理论联系实赛题紧密结合科技和社会热点问题，培养理论联系实际的学风和实践能力际的学风和实践能力. • 解决方法没有任何限制，培养主动学习、独立研究的解决方法没有任何限制，培养主动学习、独立研究的能力能力. • 没有事先设定的标准答案，留有充分余地供同学们发没有事先设定的标准答案，留有充分余地供同学们发挥聪明才智和创造精神挥聪明才智和创造精神. • 综合运用学过的数学知识和计算机技术综合运用学过的数学知识和计算机技术(选择合适的选择合适的数学软件数学软件)通过数学建模分析、解决实际问题的能力通过数学建模分析、解决实际问题的能力. • 三天内自由地使用图书馆和互联网，培养同学在短三天内自由地使用图书馆和互联网，培养同学在短时间内获取与赛题有关知识的能力时间内获取与赛题有关知识的能力.• 分工合作、取长补短、求同存异、同舟共济，培养分工合作、取长补短、求同存异、同舟共济，培养同学的团队精神和组织协调能力同学的团队精神和组织协调能力.• 完成一篇用数学建模方法解决实际问题的完整的科完成一篇用数学建模方法解决实际问题的完整的科技论文，培养同学的文字表达能力技论文，培养同学的文字表达能力.竞赛培养创新精神和综合素质竞赛培养创新精神和综合素质 • 在三天开放型竞赛中自觉遵守纪律，培养诚信意识在三天开放型竞赛中自觉遵守纪律，培养诚信意识和自律精神和自律精神. 多位中国科学院和中国工程院院士以及教育界的多位中国科学院和中国工程院院士以及教育界的专家参加数学建模竞赛举办的活动，为竞赛题词专家参加数学建模竞赛举办的活动，为竞赛题词, ,对这项活动给予热情关心和很高评价对这项活动给予热情关心和很高评价. .竞赛长期以来受到媒体关注与支持竞赛长期以来受到媒体关注与支持。