第二章薛定谔方程.doc

天津工程师范学院 第二章 薛定谔方程第二章 薛定谔方程● 学习目标1掌握波函数统计解释的内容2 掌握态迭加原理3 掌握薛定谔方程和定态薛定谔方程4 熟悉解定态薛定谔方程的方法和步骤掌握一维的简单应用，指出这些结果中表现出来的量子效应● 教学内容 2.1 薛定谔得出的波动方程2.2 无限深方势阱中的粒子2.3 势垒穿透2.4 谐振子● 本章重点薛定谔方程、无限深方势阱、势垒穿透、谐振子● 本章难点1 理解薛定谔建立波动方程的思路及其形式2 不含时薛定谔方程的应用（无限深势阱、势垒穿透、谐振子）3 隧道效应、能量子2.1 薛定谔得出的波动方程一． 波函数1． 自由粒子的波函数平面简谐波的波动方程指数形式： （1）由此方程知：频率，波长，沿正方向传播设想：动量一定的自由粒子，沿正向传播，有波动性, 则：，令(1)式中 ；则：式中，：自由粒子的波函数：波函数的振幅三维运动： 2． 波函数的物理意义与光波类比：① 对光波，处（中央极大处）:光子数与振幅平方成正比② 对比： 光强物质波强度光子数粒子数③ 对物质波：★结论：某时粒子在某处出现的概率，与该时该处波函数的模的平方成正比；即：波函数的物理意义物质波(德布罗意波)概率波3． 概率密度（几率密度）某点处单位体积元内粒子出现的概率；，4． ★波函数的性质（标准条件）① 单值性：某时某处概率唯一；② 有限性：；③ 连续性：W的分布是连续的。

波函数的归一化条件：5． 德布罗意波与经典波的区别① 微观粒子运动的统计描述，不是某量周期性变化的传播；② 德布罗意波，有归一化条件，与同经典波的二． 薛定格方程（）1． 自由粒子的薛定格方程方向运动：方向运动：① 对求二级偏导，得： 　　　 （1）② 对求一级偏导，得：　　　 （2）将（1）式代入得：自由粒子的含时薛定格方程2． 非自由粒子的薛定格方程一般形式的含时薛定格方程3． 定态薛定格方程设：定态波函数：定态势场中运动粒子的薛定格方程2.2 无限深方势阱中的粒子一维无限深方势阱是量子物理中一种最简单的模型，粒子在这种外力场中的势能函数为　　　一维无限深势阱的解波函数为： 对于每一个n值，波函数的空间部分为　　这些函数称做能量本征函数可得全部波函数为　　　　　　　　　　　　　　这些波函数叫做能量本征波函数每个本征波函数所描述的粒子的状态称为粒子的能量本征态势阱内的粒子的能量的可能值为，　n=1,2，3…　　由于n只能取整数值，这一结果就表示束缚在势阱内的粒子的能量只能取离散的值，每一值对应于一个能级这些能量值称为能量本征值，而n称为量子数　处于无限深势阱中微观粒子的能量只能取分立的值，薛定谔方程的能量本征值为 ，各能量本征值的集合 称为能谱。

每一本征值对应的本征态 表示粒子的量子态粒子在势阱中呈现特定的几率分布，如图 2.3所示　这种情况下，波函数还具有空间反演的对称性，称为具有一定的宇称2.3 势垒穿透从上面对无限深方势阱的讨论我们已经看到，无限高的势垒把粒子完全束缚在阱区之内现在让我们看一下，有限高的势垒是否也能把粒子束缚住有一如图所示隧道效应EΨ1Ψ20aU0xP区Q区S区Ψ3的方形势垒，当能量为E(

我们感兴趣的是，在粒子能量E

当v＝０时，，是量子力学谐振子的最低能量，称作振动零点能这一结果不同于经典力学谐振子的最低能量(最低能量是零)量子力学结果是符合实际的Ev总是正值，相邻能级之差都是hν三、波函数图像下图示明了能级和波函数图像显然，由基态(v＝０）向上波函数的峰数逐渐增加每个状态有v＋１个峰，节点数为v个,图中抛物线代表严格遵守虎克定律的势能函数。