人教版编号12选修22122导数的公式1.ppt

第一课时学习目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用几个常用函数的导数几个常用函数的导数公式公式1:1:C?= 0 (C为常数为常数)公式公式2:(x)? ?? ?nx (n? ?Q.)nn? ?1探究一:基本初等函数的导数公式公式公式1:1:C?= 0 (C为常数为常数)公式公式2:2:(xn常函数的常函数的导导数数幂幂函数的函数的导导数数三三角角函函数数的的导导数数)? ?? ?nx (n? ?Q )n? ?1公式公式3:3:(sinx)?? cosx公式公式4:4:(cosx)?? ?sinx公式公式5:5:指数函数的导数指数函数的导数(1) (a)??a lna(a?0,a?1).xx(2)(e )?? e .xx公式公式6:6:对数函数的导数对数函数的导数1(1) (logax)??(a?0,a?1).xlna1(2) (lnx)??.xx注意注意: :关于关于a 和xxa是两个不同是两个不同的函数的函数, ,例如例如: :(1)(3 )??3 lnax(2)(x )??3x32总结：我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式:你记住公式 1.若 f (x) ? c,则 f '(x) ? 0;了吗？公式 2.若 f (x) ? x ,则f '(x) ? nxnn?1;公式 3.若f (x) ? sin x,则 f '(x) ? cos x;公式 4.若 f (x) ? cos x,则 f '(x) ? ? sin x;公式 5.若f (x) ? a ,则f '(x) ? a ln a(a ? 0);公式 6.若 f (x) ? e ,则 f '(x) ? e ;1公式 7.若 f (x) ? logax,则 f '(x) ?(a ? 0,且a ? 1);xln a1公式 8.若 f (x) ? ln x,则 f '(x) ?;xxxxx1．指数函数与对数函数的导数公式的记忆 1xx对于公式(logax)′＝xln a，(a)′＝a ln a的记忆比较难，可以从以下两个方面加深对公式的理解和记忆． (1)区分公式的结构特征：一要从纵的方面区分“ (ln x)′与(logax)′”和“(e )′与(a )′”；二要从横的方面区分“(logax)′与(a )′”，找出它们的差异，记忆公式． (2)对公式(logax)′可用(ln x)′和求导法则来帮助理解和记?ln x?11 11忆．(logax)′＝?ln a?′＝ln a(ln x)′＝ln a· ＝. xxln a??xxx2．对基本初等函数的导数公式的理解：不要求根据导数定义推导这八个基本初等函数的导数公式，只要求能够利用它们求简单函数的导数，在学习中，适量的练习对于熟悉公式是必要的，但应避免形式化的运算练习．练习1、求下列函数的导数。

1) y= 54(2) y= x -2(3) y= x y?? 0y?? 4x3?3y?? ?2xx? 2?3xx(4) y= 2 y?? 2 ln21(5) y=log3xy??xln3探究二探究二:导数的运算法则（和、差、积、商的导数）导数的运算法则（和、差、积、商的导数）设设f(x)、、g(x)是可导的是可导的（1）[ f (x)? g(x)]'? f '(x)? g'(x);（2）( f (x)g(x))'? f (x)g(x)? f (x)g (x)'''f (x)'f (x)g(x)? f (x)g (x)() ?（3）g(x)2g (x)特殊地特殊地'(cf(x)) ? cf (x)（（c为常数为常数））g?x?1'() ? ?2g(x)g (x)'''例例1 1、、假设某国家在假设某国家在2020年期间的年均通货膨胀率为年期间的年均通货膨胀率为5%5%，物价，物价p p（单位：元）与（单位：元）与时间时间t t（单位：年）有如下函数关系（单位：年）有如下函数关系p(t)=pp(t)=p0 0(1+5%)(1+5%)t t, ,其中其中p p0 0为为t=0t=0时的物价。

假定某种商品的时的物价假定某种商品的p p0 0=1=1，那么在第，那么在第1010个年头，这种商品个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.010.01）？）？ 解：根据基本初等函数导数公式表，有t p'(t) ?1.05 ln1.05.所以， p'(10)? 1.05 ln1.05? 0.08(元/年)10 因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08 元/年的速度上涨思考：思考：P15P15 如果上式中某种商品的p0=5,那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？例例2根据基本初等函数的导数公式和导数3运算法则，求函数y=x -2x+3的导数解：因为y?? (x ? 2x? 3)??3x ?2233所以，函数y=x -2x+3的导数是y??3x ?22练习2、求下列函数的导数(1)y? x ?sinx ?cosx 3y?? 3x ? cosx? sinxxx2 (1) y ? 2sin?cos ? 2x ?1 (2)222y?? cosx? 4x(3)y ? (x?1)(x? 2)y?? 2x? 3例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高 ,所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用?单位:元?为5284?80? x? 100?.求净化到下纯度c?x??100? x时,所需净化费用的瞬时变化率:?1?90%;?2?98%.解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数15284c?(x) ? ()?? ?5284? ()?100? xx?1001?? (x?100)?1? (x?100)?? ?5284?2(x?100)0?(x?100 )?1?1??5284 ?2(x?100 )5284?2(x?100)5284? 52.84(1)因为c?(90) ?，所以，2(90?100)纯净度为90%时，费用的瞬时变化率为52.84 元/吨。

5284?c? 1321(2)因为(98) ?，所以，2(98?100)纯净度为98%时，费用的瞬时变化率为1321 元/吨函数 f?x?在某点处的导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知,c?98?? 25c?90?.它表示纯净度为98%左''右时净化费用的变化率 ,大约是纯 净度为90%左右时净化费用变化率的 25倍.这说明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用增加的速度也越快.?[例4]求下列函数的导数：(1)y＝(x＋1)2(x－1)；(2)y＝x2sinx；123(3)y＝x＋x2＋x3； 2(4)y＝xtan x－cos x. ?[解析](1)方法一： y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1.方法二：y＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1，y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1.(2)y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cos x.?123?－1－2－3－2(3)y′＝?x＋x2＋x3?′＝(x ＋2· x ＋3·x )′＝－x??149－4x －9x ＝－x2－x3－x4. －3－4 ?xsinx－2??xsinx2?????(4)y′＝cosx－cosx′＝?′ ????cosx?(xsinx－2)′cosx＋(xsinx－2)sinx＝ 2cosx(sinx＋xcosx)cosx＋xsin x－2sinx＝ 2cosxsinxcosx＋x－2sinxx2tanx＝＝tanx＋2－. 2cosxcosxcosx 2[点评]较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商的几种运算，要注意：(1)先将函数化简；(2)注意公式法则的层次性．1、熟记以下导数公式：、熟记以下导数公式：2、熟记运算法则、熟记运算法则（（1））（（C)‘=0（（2））(x( 3))???x(sin x)?? cosxxx??? 11.A(u)' ? Au'2.(u? v)' ? u'? v'3.(uv)' ? u'v? uv'uu'v? uv'4.( )' ?2vv（（4））(cos x)?（（5））(ax? ? sin x)' ? a lnax（（6））(e )' ? e1（（7））(logax)??xln a1（（8））(ln x)??x练习：求下列函数的导数：练习：求下列函数的导数：(1)y ? 2e5x(2)y ? x ? log2x23(3)y ? 2x ? 3x ? 5x? 4;(4) y ? 3cos x ? 4sin x.e ? 1(5)y ?xe ?1x? cosx(6)y ?x? sinxx1 1、函数、函数f (x) ? sin?? cosx则则f (?) ?2'2? x'xy ?y ?22２、函数２、函数的导数是的导数是2(2? x ? x)x? x ? 2sin 2x?2x３、函数３、函数y ? x tan x的导数是的导数是y?22cosx'2x４、函数４、函数f (x) ?21? axf (1) ? 2'则则a=0或３5 5、（、（1 1）已知）已知f (x) ? ax ? 3x ? 2若若f (?1) ? 4则则a=( )a=( )D32'13191610A B C DA B C D3333ax'?（（2）已知）已知f (x) ?，， 若若f ( ) ? 3sinx2则则a=（（ B ））A 6 B 3 C 0 D -2。