时间响应和状态响应矩阵.ppt

第七章 状态空间分析法8/29/20241主要内容主要内容n时间响应n状态转移矩阵 n状态转移矩阵（矩阵指数）的运算n系统的能控性和能观测性n对偶原理n能控性和能观测性与传递函数的关系8/29/20242§7.1 引言 用状态空间法对线性系统进行定量和定性的分析定量分析给出系统对给定输入响应的解析表达式，讨论状态转移矩阵的性质和计算方法定性分析讨论线性系统的能控性和能观测性及稳定性§7.2 时间响应与状态转移矩阵一、状态方程的求解（时间响应）及状态转移矩阵的性质： 线性定常连续系统的状态方程为： ，给定初值 和输入 ，要求确定状态变量的未来的变化即求出 ----时间响应8/29/20243两端拉氏变换得： ，整理得：拉氏反变换得：这里用到了拉氏变换的卷积性质: 若式中，回忆标量方程： （初值为 ）的求解： 8/29/20244同样，对于状态方程，两边求拉氏变换得：两边左乘 得：参考右边的标量式：上式右边是等比级数之和（初值= ， ）。

其和为我们也可以将 写成上述形式：8/29/20245那麽，它由两部分组成：一部分是由初始状态 引起的自由解，也叫零输入解，即是齐次方程 的解， 另一部分是由输入 引起的强迫解也叫零状态解，即 时的解若初始时刻为 ，可以不加证明的说明如下：我们称 为状态转移矩阵，或叫矩阵指数它是维方阵方程 称为状态转移方程8/29/20246 表明了系统从初始状态 到任意状态 的转移特征它只取决于状态阵 而与输入 无关 讨论齐次方程 ， 的解：，则有：○○如上图，若将 看作 的初值，则有： 所以， ，它表示了随着时间 的推移，状态的转移过程。

状态可以在时间轴上分段8/29/20247[转移矩阵的性质]：q对于任意的 方阵 ，恒有 ，式中， 为标量可以用定义证明之 q ，用定义证明q矩阵指数 总是非奇异的，即其逆存在，且 [证明]：同样，8/29/20248q对于矩阵指数 ，有：，可以用定义证明[用途]：对于齐次方程 ，有：由此性质可以看出:已知矩阵指数 可求 ，方法为：8/29/20249q对方阵 ，当q若有n阶方阵 ，及n阶非奇异阵 ，且 ，则： 上面性质告诉我们：若求 较复杂，而求 简单时，可用此法比如可以令 8/29/202410[状态和矩阵指数的关系]：当没有输入时（ ），有：q给定 及一组 ，可求出 。

q给定两组 及 ，可求出 [例7-2-1]已知某二阶系统齐次状态方程为： ，其解为：试求矩阵指数 [解]：设 ，则：8/29/202411由上述四个方程可以解出也可以写成下列形式：则： 8/29/202412[例7-2-2]：已知： ，求 [解]：8/29/202413二、矩阵指数的计算：q直接级数求和法： ，适用于数值运算q拉氏变换法：[例7-2-3]：若 ，求：[解]：8/29/202414q 标准型法（特征值，特征向量法）：这个方法是根据 的性质而得到的：若 ，则： ，可以分为两步求解：8/29/202415b、如何求解 或 。

a、取适当的变换阵 ，使 （对角阵）或 （约当阵）当 有互异特征根时， 可化为 ；当 有相同特征根时， 只能化为 ；关于 的求法已在上面介绍过了 下面根据四种情况分别说明：ⅰ、 有互异特征根，则 ，若对角阵为：8/29/202416[证明]：8/29/202417ⅱ、 有全重特征根，则 ，若约当阵为：8/29/202418ⅲ、当 中有m个重特征根 ，n-m个互异根 时， 可化为：则：式中：8/29/202419 中有 个重根 ， 个重根 ，其余互异根 时ⅳ、依次类推8/29/202420[例7-2-4]：设 ,求[解]： 的特征方程：解得：同理，当 时，求得： 转换阵：求特征向量：当 时，有 ， 为对应的特征向量。

8/29/202421那麽8/29/202422[例7-2-5]：设 求所以 不能选范德蒙阵[解]： 是可控标准型，我们以前讲过，当特征根互异时，转换成对角阵的转换阵 是范德蒙矩阵我们先求特征根8/29/202423求 时的特征向量：设为 同理，由 ，得： 求 时的特征向量： ，得 8/29/2024248/29/202425q凯莱—哈密尔顿法（待定系数法）：凯莱—哈密尔顿定理：设 阶方阵 的特征多项式为：8/29/202426当 有互异的特征根 时，有：上述定理可由凯莱-哈密而顿定理证明（略）。

当 有重特征根时，较繁，略去8/29/202427[例7-2-6]：设 ，求 [解]：8/29/202428q 信号流图法： 为了避免矩阵求逆的运算，可以根据状态方程，画出信号流图，再用梅逊公式求出矩阵指数 因 只与 阵有关，因此讨论 的解：，其拉氏变换为：以二阶系统为例说明：上式中， 表示以 为输入， 为输出的传递函数在信号流图上可以用梅逊公式求 和 之间的传递函数 ，即可得出 ，进而求出 8/29/202429[例7-2-7]：状态方程为：[解]：两边求拉氏变换得： 8/29/202430信号流图为：令○○○○○○8/29/202431○○○○○○8/29/2024328/29/202433小结n时间响应—状态转移方程n状态转移矩阵及其性质n状态转移矩阵（矩阵指数）的运算8/29/202434。