n阶行列式计算方法.pdf

n n 阶行列式的计算方法阶行列式的计算方法 1 1．利用对角线法则．利用对角线法则 “对角线法则”： （1）二、三阶行列式适用“对角线法则”； （2）二阶行列式每项含 2 项，三阶行列式每项含 3 项，每项均为不同行、不同列的元素 的乘积； （3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号 例 1 计算二阶行列式 42 31 =D 解：22341 42 31 −=×−×==D 例 2 计算三阶行列式 210 834 021 − −=D 解： ) 1(812420) 3(0) 1(400822) 3(1 210 834 021 −××−××−×−×−−××+××+×−×= − −=D 14−= 2 2．利用．利用 n n 阶行列式的定义阶行列式的定义 n阶行列式== nnnn n n aaa aaa aaa D ⋯ ⋮⋮⋮ ⋯ ⋯ 21 22221 11211 n n nppp ppp aaa⋯ ⋯ 21 21 21 )( ) 1( ∑ − τ 其中)( 21n ppp⋯ττ=， 求和式中共有!n项 显然有 上三角形行列式 nn nn n n aaa a aa aaa D⋯ ⋮⋱ ⋯ ⋯ 2211 222 11211 == 下三角形行列式 nn nnnn aaa aaa aa a D⋯ ⋯ ⋱⋮⋮ 2211 21 2221 11 == 对角阵 n n Dλλλ λ λ λ ⋯ ⋱ 21 2 1 == 另外 n nn n Dλλλ λ λ λ ⋯ ⋰ 21 2 ) 1( 2 1 ) 1( − −== 例 3计算行列式 0010 0200 1000 000 n D n n = − ⋯ ⋯ ⋮⋮⋮⋮ ⋯ ⋯ 解Dn中不为零的项用一般形式表示为 112211 ! nnnnn aaaan −−− =⋯. 该项列标排列的逆序数t（n－1n－2…1n）等于 (1)(2) 2 nn−− ，故 (1)(2) 2 ( 1)!. nn n Dn −− = − 3 3．利用行列式的性质计算．利用行列式的性质计算 性质 1行列式与它的转置行列式相等, 即 T DD=。

注 由性质 1 知道， 行列式中的行与列具有相同的地位， 行列式的行具有的性质, 它的列也同样具有 性质 2交换行列式的两行(列)，行列式变号 推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式为零 性质 3用数k乘行列式的某一行(列), 等于用数k乘此行列式, 即 kD aaa aaa aaa k aaa kakaka aaa D nnnn inii n nnnn inii n === ⋯ ⋯⋯⋯⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯ ⋯ 21 21 11211 21 21 11211 1 第i行(列)乘以k，记为kri×(或kci×) 推论 1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 推论 2行列式中若有两行（列）元素成比例,则此行列式为零 性质 4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如， nnnn ininiiii n aaa cbcbcb aaa D ⋯ ⋯⋯⋯⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯ ⋯ 21 2211 11211 +++= 则 21 21 21 11211 21 21 11211 DD aaa ccc aaa aaa bbb aaa D nnnn inii n nnnn inii n +=+= ⋯ ⋯⋯⋯⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯ ⋯ 。

性质 5将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数k后加到另一行(列)对应 位置的元素上，行列式不变 例 4计算 xaa axa aax Dn ⋯ ⋮⋮⋮ ⋯ ⋯ = 解 xaa axa anxD n rrr n ⋯ ⋮⋮⋮ ⋯ ⋯ ⋯ 111 ]) 1([ )( 21 −+= +++ ax ax anx − − −+= ⋯ ⋮⋮⋮ ⋯ ⋯ 00 00 111 ]) 1([ 1 )]() 1([ − −−+= n axanx 例 5一个 n 阶行列式 nij Da=的元素满足 , ,1,2,, , ijji aai jn= −=⋯ 则称 n D为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由 ijji aa= −知 iiii aa= −，即 0,1,2,, ii ain==⋯ 故行列式 n D可表示为 12131 12232 13233 123 0 0 0 0 n n nn nnn aaa aaa Daaa aaa − = −− −−− ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯ 由行列式的性质 T DD= 12131 12232 13233 123 0 0 0 0 n n nn nnn aaa aaa Daaa aaa −−− −− =− ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯ 12131 12232 13233 123 0 0 ( 1)0 0 n n n n nnn aaa aaa aaa aaa − = −−− −−− ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯ ( 1)n n D= − 当 n 为奇数时，得 nn DD−=，因而得0= n D。

4 4．利用行列式按行（列）展开．利用行列式按行（列）展开 =+++ jninjiji AaAaAa⋯ 2211 ),, 2 , 1,( 0 nji ji jiD ⋯= ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = 例 6计算 1314 2113 1102 3351 − − − −− =D 解 3401 2113 1102 72016 − − − − =D 341 112 7216 ) 1( 23 − − − −= + 55 17 520 ) 1)(1( 107 112 5020 ) 1( 22 −= − −−= − −−= + 5 5．利用化上三角形法．利用化上三角形法 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积 因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法 一般的数字元素的行列式化为上三角形行列式的步骤： （1）观察元素 11 a，若不为1通过变换化为1； （这可以通过对调两行或两列实现，有时 也可以把第一行或第一列乘 11 1 a 来实现，但要避免元素变为分数，否则将给后面的计算增加 困难 ） （2）对第一行分别乘 13121 ,,, n aaa−−−⋯加到第n⋯, 3 , 2行对应元素上去； （目的：第一 列 11 a以下的元素全部化为零） （3）用类似的方法把主对角线元素 13121 ,,, n aaa⋯以下的元素全部化为零。

这样行列式就化为上三角形行列式了，在上述变换过程中，主对角线元素 ), 2 , 1( ,niaii⋯=不能为零，若出现零，可通过行（列）对调使得主对角线上元素不为零 例 7计算 1314 2113 1102 3351 − − − −− =D 解 119210 1110160 55100 3351 − − − −− =D 1110 3200 1120 3351 5 − − −− = 1120 3200 1110 3351 )5( − − −− −= 1300 3200 1110 3351 )5( −− − −− −= 2 11 000 3200 1110 3351 )5( − − −− −=55−= 6 6．利用递推公式．利用递推公式 递推公式法：对n阶行列式 n D找出 n D与 1−n D或 n D与 21,−−nn DD之间的一种关系 ——称为递推公式（其中, n D 21,−−nn DD等结构相同） ，再由递推公式求出 n D的方法称为递 推公式法 例 8证明 1221 1000 0100 0001 n nnn x x D x aaaaax −− − − = − + ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ 12 121 ,(2) nnn nn xa xa xaxan −− − =+++++≥⋯ 证明：将 n D按第 1 列展开得 12321 1000 0100 0001 n nnn x x Dx x aaaaax −−− − − = − + ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ 1 1000 100 ( 1) 001 n n x a x + − − + − − ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯ ⋯⋯ ⋯ 1nn axD − =+ 由此得递推公式： 1nnn DaxD − =+，利用此递推公式可得 112 () nnnnnn DaxDax axD −−− =+=++ 2 12nnn aaxx D −− =++ 1 11 nn nn aaxa xx − − ==++++⋯⋯ 7 7．利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式．利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式 范德蒙行列式 11 1 1 2 1 1 22 1 2 2 2 1 121 1111 −− − −− − − = n n n n nn nn nn n xxxx xxxx xxxx D ⋯ ⋮⋮⋮⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ∏ ≤ ≥ −−− ==− ∏ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮⋮⋮ ⋯ 8 8．利用加边法计算．利用加边法计算 n n 阶行列式阶行列式 加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。

例 10计算 n 阶行列式 12 12 12 12 n n nn n xaaa axaa Daaa aaxa + + = + ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯ ⋯ 解： 1 1 0 0 n n n aa D D = ⋯ ⋮ 12 1 100 2,,1 100 100 n i aaa x inx x − =+ − − ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯⋯ ⋯ 第 行减第1行 （箭形行列式） 12 1 1 000 000 000 n j n j a aaa x x x x = + = ∑ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 1 1 n jn j a x x = ⎛⎞ =+ ⎜⎟ ⎝⎠ ∑ 9 9．利用数学归纳法．利用数学归纳法 例 11计算 n 阶行列式 1221 1000 0100 0001 n nnn x x D x aaaaax −− − − = − + ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ 解：用数学归纳法. 当 n = 2 时 212 21 1 () x Dx xaa axa − ==++ + 2 12 xa xa=++ 假设 n = k 时，有 12 121 kkk kkk Dxa xa xaxa −− − =+++++⋯ 则当 n = k+1 时，把 1+k D按第一列展开，得 11kkk DxDa ++ =+ 1 111 () kk kkk x xa xaxaa − −+ =+++++⋯ 12 111 kk kkk xa xaxa xa + −+ =+++++⋯ 由此，对任意的正整数 n，有 12 121 nn nnnn Dxa xaxaxa − −− =+++++⋯ 1010．利用拆开法．利用拆开法 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两 行列式之和，使问题简化以利计算。

例 12计算行列式 n D= 112 122 12 n n nn aaa aaa aaa λ λ λ + + + ⋯ ⋯ ⋮⋮⋮⋮ ⋯ 解： n D= 12 122 12 n n nn aaa aaa aaa λ λ + + ⋯ ⋯ ⋮⋮⋯⋮ ⋯ 12 22 0 00 n n nn aa aa a λ λ λ + + + ⋯ ⋯ ⋮⋮⋯⋮ ⋯ 12 2 0 00 n n n aaa aλ λ = ⋯ ⋯ ⋮⋮⋯⋮ ⋯ 11n Dλ − + 1211nn aDλλλ − =+⋯ …… 12 1 1 n i n i i a λ λλ λ = ⎛⎞ =+ ⎜⎟ ⎝⎠ ∑ ⋯ 上面介绍了计算 n 阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把 握行列式的特点，灵活选用方法学习中多练习，多总结，由此及彼，举一反三，才能更好 地掌握行列式的计算。