全称量词与存在量词.pdf

1 / 11 全称量词与存在量词 【学习目标】 1 ．了解量词在日常生活中和数学命题中的应用，正确理解全称量词和存在量词的意义，并能使用两类量词叙述数学内容； 2 ．能判断全称命题和特称命题，并能判断其真假掌； 3 ．能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 【要点梳理】 要点一：全称量词与全称命题 全称量词 全称量词的概念：在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词． 常见的全称量词：“所有”、“任意一个”、“每一个”、“任何”、“一切”等． 全称量词的表示：通常用符号“”表示，读作“对任意”． 全称命题 全称命题的概念：含有全称量词的命题，叫做全称命题． 全称命题的形式：对M中任意一个x，有( )p x成立．记作：xM ，( )p x（其中M为给定的集合，( )p x是关于x的语句）． 要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1 ）“末位是 0 的整数，可以被 5 整除”；（2 ）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3 ）“负数的平方是正数”；都是全称命题． 要点二：存在量词与特称命题 存在量词 存在量词的概念：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词． 常见的存在量词：“有些”、“至少有一个”、 “有一个”、“存在”等． 存在量词的表示：通常用符号“”表示，读作“存在”． 特称命题 特称命题的概念：含有存在量词的命题，叫做特称命题． 特称命题的形式：存在M中一个元素0x，有0()p x成立．记作：0xM，0()p x（其中M为给定的集合，( )p x是关于x的语句）． 要点诠释： （1 ）全称命题表示整体或全部的含义，而特称命题反映对个体或整体一部分的判断. （2 ）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,RR使sin()sinsin．  2 / 11 （2 ）有些特称命题也可能省略了存在量词．例如：“正方形是矩形”，“球面是曲面等等”. （3 ）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述. 要点三： 全称命题与特称命题的否定 对含有一个量词的全称命题的否定 要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上要说明这个全称命题的否定是正确的．不难发现，全称命题的否定是特称命题． 全称命题p：xM ，( )p x； p的否定p：0xM，0()p x． 对含有一个量词的特称命题的否定 要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的．不难发现，特称命题的否定是全称命题． 特称命题p：0xM，0()p x； p的否定p：xM ，( )p x． 要点诠释： (1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题； (2) 命题的否定与命题的否命题是不同的； (3) 一些常见量词的否定如下表所示： 正面词 是 等于 都是 大于 小于 至少一个 至多一个 小于等于 否定词 不是 不等于 不都是 不大于 不小于 一个也没有 至少两个 大于等于 要点四：全称命题和特称命题的真假判断 ① 要判定全称命题“xM ，( )p x”是真命题，必须对集合M中的每一个元素x，证明( )p x成立； 要判定全称命题“xM ，( )p x”是假命题，只需找出一个反例即可，即在集合M中找到一个元素0x，使得0()p x不成立． ② 要判定特称命题“0xM，0()p x”是真命题，只需在集合M中找到一个元素0x，使得0()p x成立即可； 要判定特称命题“0xM，0()p x ”是假命题，必须证明在集合M中，使 ( )p x成立得元素不存在． 【典型例题】 类型一：全称量词与存在量词、全称命题与特称命题的辨析 例 1 ．指出下列两个含有量词的命题中使用了什么量词及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号表示． （1 ）对任意正实数2,20a aa；  3 / 11 （2 ）对某个大于 10 的正整数n，( 2)1024n． 举一反三： 【变式 1 】判断下列命题是全称命题还是特称命题： （1 ）任何一个实数除以 1 仍等于这个数； （2 ）等边三角形的三边相等； （3 ）存在实数0x，使2030x； （4 ）有一个实数，不能作除数； （5 ）棱柱是多面体； （6 ）有些四边形的四个边都相等． 【变式 2 】判断下列命题是全称命题还是特称命题． （1 ）xR，211x  ； （2 ）所有素数都是奇数； （3 ）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （4 ）有些整数只有两个正因数． 类型二：判断全称命题、特称命题的真假 例 2 ．判断下列命题的真假： （1 ）4,12xx  N； （2 ）300,1xxZ． 举一反三： 【变式 1 】试判断下列命题的真假： （1 ）2,10xx  R； （2 ）2,1xx N； （3 ）3,3xx Z； （4 ）2,320xxx R； （5 ）2,10xx  R. 【变式 2 】在下列特称命题中假命题的个数是（ ） ①有的实数是无限不循环小数； ②有些三角形不是等腰三角形； ③有的菱形是正方形； A ．0 B．1 C．2 D．3 类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定 例 3 ．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；写出这些命题的否定并判断真假．  4 / 11 （1）三角形的内角和为 180°； （2 ）每个二次函数的图象都开口向下； （3 ）存在一个四边形不是平行四边形； （4 ）2,20xR x ； （5 ）200,10xR x ． 举一反三： 【变式 1】写出下列命题的否定，并判断真假． （1）2,440xR xx ； （2 ）所有的正方形都是矩形； （3 ）2000,10xR xx ； （4 ）至少有一个实数 x0，使得2020x ． 【变式 2 】“a和b都不是偶数””的否定形式是（ ） A ．a和b至少有一个是偶数 B ．a和b至多有一个是偶数 C ．a是偶数，b不是偶数 D ．a和b都是偶数 类型四：含有量词的命题的应用 例 4 ．已知1:|1| 23xp，22:210 (0)q xxmm ，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 举一反三： 【变式 1】若命题“∃xR，使得2(1)1 0x + ax+－＜”是真命题，则实数a的取值范围是 ． 【变式 2 】已知c＞0，设命题p：函数 y ＝cx为减函数．命题q：当1,22x时，函数11( )f xxxc恒成立．如果p或q为真命题，p且q为假命题．求c的取值范围． 【巩固练习】 一、选择题 1．将“222x +yxyß”改写成全称命题，下列说法正确的是( ) A ．任意xy，∈R ，都有222x +yxyß B ．存在xy，∈R ，都有222x +yxyß C ．任意x＞0，y＞0，都有222x +yxyß D ．存在x＜0，y＜0，都有222x +yxyß 2 ．下列特称命题中真命题的个数是( ) ①∃x∈R ，xÞ0 ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数 ③∃x∈{x|x是整数} ，x2是整数 A ．0 B．1 C ．2 D．3  5 / 11 3. 下列命题中，是真命题且是全称命题的是( ) A ．对任意的ab，∈R ，都有222220a +bab+ － － B ．菱形的两条对角线相等 C ．∃x，使2xx D ．对数函数在定义域上是单调函数 4 ．命题“存在x∈Z ，使220xxmÞ”的否定是( ) A ．存在x∈Z ，使22xxm>0 B ．不存在x∈Z ，使 22xxm>0 C ．对于任意的x∈Z 都有22xxmÞ0 D ．对于任意x∈Z 都有22xxm>0 5 ．命题21 log0pxx ：，，则¬p是( ) A ．21 logxx  ，Þ0 B ．21 logxx  ，>0 C ．21 logxx  ，Þ0 D ．21 logxx  ，>0 6. 下列说法中，正确的是( ) A ．命题“若22ambm＜，则ab”的逆命题是真命题 B ．命题“存在x∈R ，2xx－＞0 ”的否定是“任意x∈R ，2xx－≤0” C ．命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题 D ．已知x∈R ，则“x＞1 ”是“x＞2 ”的充分不必要条件 二、填空题 7 ．命题“有些末位是 0 的整数，可以被 3整除”________特称命题．( 填“是”或“不是”) ；此命题的否定是__________________________． 8 ．下列命题中真命题为________，假命题为________． ①末位是 0 的整数，可以被 2 整除 ②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ③正四面体中两侧面的夹角相等 ④有的实数是无限不循环小数 ⑤有些三角形不是等腰三角形 ⑥所有的菱形都是正方形 9 ．命题“对任何x∈R ， 2250xx”的否定是____________． 10. 已知命题p：“任意21,20xxa， － ß”，命题q：“存在 x∈R ，02x +2ax+2a－ ＝”． 若命题p和命题q都是真命题，则实数a的取值范围为__________． 三、解答题 11．写出下列命题的否定． (1) 所有自然数的平方是正数； (2) 任何实数x都是方程5x－12＝0 的根； (3) 对任意实数x，存在实数y，使x＋y>0 ； (4) 有些质数是奇数． 12．判断命题的真假，并写出命题的否定．  6 / 11 (1) 存在一个三角形，它的内角和大于 180°. (2) 所有圆都有内接四边形． 13 ．写出下列命题的否定： (1) 若2x>4，则x>2； (2) 若mß0，则2x +xm－＝0 有实数根； (3) 可以被 5 整除的整数，末位是 0； (4) 被 8 整除的数能被 4 整除； (5) 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等． 14. 命题“存在x∈R ，2239xax+－＜0”为假命题，求实数a的取值范围． 15. 设有以下两个命题： p：不等式|x|+|x－1|≥m 的解集为 R ； q：函数( )(73 )xf xm 是减函数.若这两个命题中有且只有一个真命题. 求实数m的范围.  7 / 11 数学试题答案 【典型例题】 类型一：全称量词与存在量词、全称命题与特称命题的辨析 例 1 ． 【思路点拨】根据全称量词和存在量词的概念进行判断． 【解析】 （1 ）该命题中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集合．该命题可写成“20,20aaa ”． （2 ）该命题中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于 10 的正整数集合．该命题可写成“*10,,( 2)1024nnnN ． 【总结升华】 判断一个命题是否含有全称量词和存在量词，关键是看命题中是否有“所有”、“任意”、“任何”、“存在”、“有的”、“至少”、“有”等词语，或隐含有这些词语的意思． 举一反三： 【变式 1 】 【答案】（1 ）全称命题，（2 ）全称命题，（3 ）特称命题；（4 ）特称命题；（5 ）全称命题；（6 ）特称命题. 【变式 2 】 【答案】 （1 ）有全称量词“任意”，是全称命题； （2 ）有全称量词“所有”，是全称命题； （3 ）有存在量词“存在”，是特称命题； （4 ）有存在量词“有些”；是特称命题． 类型二：判断全称命题、特称命题的真假 例 2 ． 【思路点拨】（1 ）对412x  进行等价变形，可化为41x ，x取自然数 0 ，1 ，2 ，…代入验证；（2 ）中0x取整数 0 ，123，，，…代入301x ，验证不等式是否成立. 【答案】（1 ）假命题；（2 ）真命题. 【解析】 （1 ）由于0Ν，当0x 时，412x  不成立，故(1)为假命题； （2 ）由于1 Z，当1x  时能使31x ，所以（2 ）为真命题． 【总结升华】 （1 ）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合 M 中的每一个元素x，验证( )p x成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合 M 中的一个0xx，使0()p x不成立即可；  8 / 11 （2 ）要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合 M中，至少能找到一个0xx，使0()p x成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题． 举一反三： 【变式 1】 【答案】（1）真命题；（2 ）假命题；（3 ）假命题；（4 ）假命题；（5 ）假命题. 【变式 2 】 【答案】A 类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定 例 3 ． 【解析】 （1）是全称命题且为真命题． 命题的否定：三角形的内角和不全为 180°， 即存在一个三角形，它的内角和不等于 180°，为假命题． （2 ）是全称命题且为假命题． 命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下，为真命题． （3 ）是特称命题且为真命题． 命题的否定：所有的四边形都是平行四边形，为假命题． （4 ）是全称命题且为真命题． 由于xR 都有20x ，故2220x ，p为真命题； p：200,20xR x，p为假命题 （5 ）是特称命题且为假命题． 因为不存在一个实数x，使210x  成立，p为假命题； p：2,10xR x  ，p为真命题． 【总结升华】命题的否定要与否命题区别开来，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题． 举一反三： 【变式 1】 【答案】 （1）p：2000,440xR xx （假命题）； （2 ）p：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）； （3 ）p：2,10xR xx  （真命题）； （4 ）p：2,20xR x （真命题）． 【变式 2 】 【答案】A  9 / 11 类型四：含有量词的命题的应用 例 4 ． 【思路点拨】本题是不等式与逻辑关系的综合性题目，应逐个突破，再完美衔接： 第一步：解p与q中的不等式； 第二步：理解“p是q的必要不充分条件”的具体含义：“qp”“pq”； 第三步：问题转化为“对任意p的x，q恒成立”. 【答案】9, 【解析】 111:|1| 221213210333xxxpx        22:210110q xxm? xmxm  又∵m>0 ∴不等式的解为 1-m≤x≤1+m． ∵“p是q的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p 是 q 的充分不必要条件””， ∴不等式1|1| 23x 的解集是222100xxmm 的解集的子集． 123,91109mmmmm  ∴实数m的取值范围是9,． 【总结升华】本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了要点的灵活性，使用的技巧与方法是利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决． 举一反三： 【变式 1】 【答案】( －∞，－1)∪(3，＋∞) 【解析】∵“∃xR，使得2(1)1 0x + ax+－＜”是真命题， ∴(a－1)2－4 ＞0 ，即(a－1)2＞4 ， ∴a－1＞2 或a－1＜－2 ， ∴a＞3 或a＜－1． 【变式 2 】 【答案】1{ |0c1}2cc或 【解析】由命题p知：0 ＜c ＜1． 由命题q知：1522xx， 要使此式恒成立，则12>c，即12c ． 又由p或q为真，p且q为假知， p、q必有一真一假，  10 / 11 当p为真，q为假时，c的取值范围为102c． 当p为假，q为真时，c≥1． 综上，c的取值范围为1{ |0c1}2cc或． 【巩固练习】 【答案与解析】 1. 【答案】 A 【解析】 全称命题是任意x，y∈R ，x2＋y2≥2xy都成立，故选 A. 2. 【答案】 D 【解析】 ①②③都是真命题． 3. 【答案】 D 【解析】 A中含有全称量词“任意的”，因为 a2＋b2－2a －2b ＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0；故是假命题．B 、D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以 B是假命题，C是特称命题，故选 D. 4. 【答案】 D 【解析】 “不存在 x ∈Z 使 x2＋2x ＋m≤0”等价于对于任意 x ∈Z ，都有 x2＋2x ＋m>0. 5. 【答案】 C 【解析】 全称命题的否定是特称命题． 6. 【答案】 B 【解析】 “存在x∈R ，x2－x＞0”为特称命题，则它的否定应为全称命题，即“任意x∈R ，x2－x≤0”，故选 B. 7. 【答案】 是；所以末位是 0 的整数，都不能被 3 整除 【解析】 命题中还有量词“有些”，故该命题为特称命题．特称命题的否定是全称命题. 8. 【答案】 ①②③④⑤；⑥ 【解析】正方形的集合是菱形集合的子集. 9. 【答案】存在x∈R ， 2250xx Þ 【解析】全称命题的否定是特称命题. 10． 【答案】 A 【解析】由已知可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤1，由命题q为真得a≤－2 或a≥1，所以a≤－2 或a＝1. 11.【答案】 (1)的否定：有些自然数的平方不是正数． (2)的否定：存在实数 x 不是方程 5x－12＝0 的根． (3)的否定：存在实数 x ，对所有实数 y，有 x ＋y≤0. (4)的否定：所有的质数都不是奇数． 12. 【答案】 (1)假命题 所有的三角形，它的内角和都不大于 180°. (2)真命题 存在一个圆，没有内接四边形． 13 ． 【答案】 (1)的否定：存在实数 x0，虽然满足 2x0>4，但 x0≤2. (2)的否定：存在一个实数 m≥0 使 x2＋x －m＝0 无实根． (3)的否定：存在一个可以被 5 整除的整数，其末位不是 0.  11 / 11 (4)的否定：存在一个数能被 8 整除，但不能被 4 整除． (5)存在一个四边形，虽然它是正方形，则它的四条边中至少有两条不相等． 14． 【答案】 2 2,2 2 【解析】 题目中的命题为假命题，则它的否命题“任意 x ∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，只需 Δ ＝9a2－4×2×9≤0，即可解得2 22 2a. 15. 【答案】12m 【解析】 由不等式|x|+|x－1|≥m 的解集为 R ，得 m≤1； 由函数( )(73 )xf xm 是减函数，得2m  若这两个命题中有且只有一个真命题， 则12m 。