选修2-3计数原理与二项式定理120160515讲解.pdf

选修 2-3 计数原理与二项式定理 1 2016.05.15 命题人——王峰 班级 姓名 学号 一、选择题(本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分) 1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种选出 3 种分别种在不同土质的三块土地上， 其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有多少种 ( ) A．24 B．18 C．12 D．6 2．已知 C7n＋1－C7n＝C8n(n∈N*)，则 n 等于 ( ) A．14 B．12 C．13 D．15 3．(1＋x)7的展开式中 x2的系数是 ( ) A．42 B．35 C．28 D．21 4．一排 9 个座位坐了 3 个三口之家， 若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 ( ) A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9! 5．某校园有一椭圆型花坛，分成如图四块种花，现有 4 种不同颜色的 花可供选择，要求每块地只能种一种颜色，且有公共边界的两块不能 种同一种颜色，则不同的种植方法共有多少种 ( ) A．48 B．36 C．30 D．24 6．若多项式 x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则 a9＝ ( ) A．9 B．10 C．－9 D．－10 7．从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、 司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项 工作，则不同的选派方案共有多少种 ( ) A．48 B．36 C．18 D．12 8． 若(1＋x)n的展开式中第 4、 第 8 项的二项式系数相等， 则奇数项的二项式系数和为 ( ) A．212 B．211 C．210 D．29 9．将标号为 1，2，3，4，5，6 的六张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其 中标号为 4，5 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有多少种 ( ) A．12 B．18 C．36 D．54 种 10．用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有 ( ) A．144 个 B．120 个 C．96 个 D．72 个 二、填空题(本大题共 14 空，每空 3 分，共 42 分) 11．在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有， 则不同的选法有___________种． 12．在(a＋x)(1＋x)4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a＝________．  13．已知在 66666 这个数字中插入 a，b 两个字母，则不同的插法有________种． 14．一个小组有 10 名同学，其中 4 名男生，6 名女生，现从中选出 3 名代表，则： (1)至少有一名男生的选法有________种； (2)至多有 1 名男生的选法有________种． 15．从－1,0,1,2,3 这 5 个数中选 3 个不同的数组成二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数： (1)开口向上的抛物线有________条； (2)开口向上且不过原点的抛物线有________条． 16．有 5 个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内： (1)共有________种放法； (2)恰有一个盒内有 2 个球，有________种放法； (3)恰有一个盒内不放球，有________种放法． 17．在(3x－1x)10展开式中，第 8 项是_______，常数项是______，系数最大是第______项． 18．已知 n 是奇数，则 C1n6＋C2n62＋…＋Cnn6n能被 8 整除的余数是_______． 三、解答题(本大题共 3 个题，共 28 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19．(本题满分 8 分)求( x－3x)9的展开式中的有理项． 20．(本题满分 10 分)若多项式 x3＋x9＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a8(x＋1)8＋a9(x＋1)9，求： (1)a1＋a2＋…＋a9； (2)a2＋a4＋a6＋a8． 21．(本题满分 10 分)已知(3x2＋3x2)n展开式中各项系数和比它的二项式系数和大 992． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．  参考答案 一、选择题 1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种选出 3 种分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有( ) A．24 种 B．18 种 C．12 种 D．6 种 [答案] B [解析] 因为黄瓜必须种植，在余下的 3 种蔬菜品种中再选出两种，进行排列共有 C23A33＝18 种．故选 B. 2．已知 C7n＋1－C7n＝C8n(n∈N*)，则 n 等于( ) A．14 B．12 C．13 D．15 [答案] A [解析] 因为 C8n＋C7n＝C8n＋1，所以 C7n＋1＝C8n＋1. ∴7＋8＝n＋1，∴n＝14，故选 A. 3．(1＋x)7的展开式中 x2的系数是( ) A．42 B．35 C．28 D．21 [答案] D [解析] 展开式中第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr7xr，T3＝C27x2，∴x2的系数为 C27＝21. 4．一排 9 个座位坐了 3 个三口之家， 若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9! [答案] C [解析] 本题考查捆绑法排列问题．由于一家人坐在一起，可以将一家三口人看作一个整体，一家人坐法有 3！种，三个家庭即(3！)3种，三个家庭又可全排列， 因此共(3！)4种．注意排列中在一起可用捆绑法，即相邻问题． 5．某校园有一椭圆型花坛，分成如图四块种花，现有 4 种不同颜色的花可供选择，要求每块地只能种一种颜色， 且有公共边界的两块不能种同一种颜色， 则不同的种植方法共有( )  A．48 种 B．36 种 C．30 种 D．24 种 [答案] A [解析] 由于相邻两块不能种同一种颜色，故至少应当用三种颜色，故分两类．第一类，用 4 色有 A44种，第二类，用 3 色有 4A33种，故共有 A44＋4A33＝48 种． 6．若多项式 x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则 a9＝( ) A．9 B．10 C．－9 D．－10 [答案] D [解析] x10的系数为 a10，∴a10＝1， x9的系数为 a9＋C910·a10，∴a9＋10＝0，∴a9＝－10. 故应选 D. 另解：∵[(x＋1)－1]2＋[(x＋1)－1]10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a10(x＋1)10， 显然 a9＝C110(－1)＝－10. 7．(2015·黑龙江省龙东南四校高二期末)从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有( ) A．48 种 B．36 种 C．18 种 D．12 种 [答案] B [解析] 分两种情况：(1)小张小赵去一人：C12C12A33＝24；(2)小张小赵都去：A22A23＝12，故有 36 种，应选 B. 8．(2015·湖北理，3)已知(1＋x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A．212 B．211 C．210 D．29 [答案] D [解析] 由题意可得，二项式的展开式满足 Tr＋1＝Crnxr，且有 C3n＝C7n，因此 n＝10.令 x＝1，则(1＋x)n＝210，即展开式中所有项的二项式系数和为 210；令 x＝－1，则(1＋x)n＝0， 即展开式中奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数之差为 0，因此奇数项的二项式系数和为12(210＋0)＝29.故本题正确答案为 D. 9．将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( ) A．12 种 B．18 种 C．36 种 D．54 种 [答案] B [解析] 由题意不同的放法共有 C13C24＝18 种． 10．(2015·四川理，6)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有( ) A．144 个 B．120 个 C．96 个 D．72 个 [答案] B [解析] 据题意，万位上只能排 4、5.若万位上排 4，则有 2×A34个；若万位上排 5，则有 3×A34个．所以共有 2×A34＋3×A34＝5×24＝120 个．选 B. 二、填空题 11．(2015·上海理，8)在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选法有________种(用数值表示) [答案] 120 [解析] 由题意得，去掉选 5 名教师情况即可：C59－C56＝126－6＝120. 12．(2015·新课标Ⅱ，15)(a＋x)(1＋x)4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则a＝________. [答案] 3 [解析] 由已知得(1＋x)4＝1＋4x＋6x2＋4x3＋x4， 故(a＋x)(1＋x)4的展开式中 x 的奇数次幂项分别为 4ax,4ax3，x,6x3，x5，其系数之和为 4a＋4a＋1＋6＋1＝32，解得 a＝3. 13．已知在 66666 这个数字中插入 a，b 两个字母，则不同的插法有________种． [答案] 42 [解析] 第一次有 6 个空位可以插入，在插入一个字母后，变成 7 个字符， 即在插入第一个字母后有 7 个空位可以插，所以为：6·7＝42． 14．一个小组有 10 名同学，其中 4 名男生，6 名女生，现从中选出 3 名代表， (1)至少有一名男生的选法有________种； (2)至多有 1 名男生的选法有________种． [解析] (1)方法一：(直接法)． 第一类：3 名代表中有 1 名男生，则选法种数为 C14·C26＝60(种)；  第二类：3 名代表中有 2 名男生，则选法种数为 C24·C16＝36(种)； 第三类：3 名代表中有 3 名男生，则选法种数为 C34＝4(种)； 故共有 60＋36＋4＝100(种)． 方法二：(间接法)． 从 10 名同学中选出 3 名同学的选法种数为 C310种． 其中不适合条件的有 C36种． 故共有 C310－C36＝100(种)． (2)第一类：3 名代表中有一名男生，则选法为 C14C26＝60(种)； 第二类：3 名代表中无男生，则选法为 C36＝20(种)； 故共有 60＋20＝80(种)． 15．从－1、0、1、2、3 这 5 个数中选 3 个不同的数组成二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数． (1)开口向上的抛物线有________条； (2)开口向上且不过原点的抛物线有________条． [解析] (1)要使抛物线的开口向上，必须 a＞0， ∴C13·A24＝36(条)． (2)开口向上且不过原点的抛物线，必须 a＞0，c≠0， ∴C13·C13·C13＝27(条)． 16．有 5 个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内： (1)共有________种放法； (2)恰有一个盒内有 3 个球，有________种放法； (3)恰有一个盒内不放球，有________种放法． [解析] (1)一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有 4 种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有 44＝256(种)． (2)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去 1 个，即将 4 个球分成 2,1,1 的三组，有 C24种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可．由分步乘法计算原理，共有放法：C14·C24·C13·A22＝144(种)． (3)“恰有一个盒内放 2 个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒．因此，“恰有一个盒子放 2 球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事．故也有 144 种放法． 17．在(3x－1x)10的展开式中，第 8 项是________，常数项是_______，系数最大是第________项． [解析] 由 Tr＋1＝Cr10·(3x)10－r·(－1x)r， 所以：T8＝C107·(3x)3·(－1x)7＝－C107(1x)9＝－120(1x)9； (3x)10－r·(－1x)r＝x0，即13(10－r)－12r＝0，得 r＝4，常数项是 5 项，为－C104＝－210；  系数最大的项为第 5 或 7 项(第 6 项是负数)． 18．已知 n 是奇数，则 C1n6＋C2n62＋…＋Cnn6n能被 8 整除的余数是_______． [解析] C1n6＋C2n62＋…＋Cnn6n＝C0n60＋C1n6＋C2n62＋…＋Cnn6n－1 ＝(6＋1)n－1＝(8－1)n－1 ＝C0n8n(－1)0＋C1n8n－1(－1)1＋C2n8n－2(－1)2＋…＋Cnn－18(－1)n－1＋Cnn80(－1)n－1 ＝[C0n8n(－1)0＋C1n8n－1(－1)1＋C2n8n－2(－1)2＋…＋Cnn－181(－1)n－1]＋(－1)n－1 而[C0n8n(－1)0＋C1n8n－1(－1)1＋C2n8n－2(－1)2＋…＋Cnn－18(－1)n－1]都是 8 的倍数， 只余：(－1)n－1，但 n 是奇数，所以(－1)n－1＝－2，即为 6． 三、解答题 19．(本题满分 8 分)求( x－3x)9的展开式中的有理项． [解析] ∵Tr＋1＝Cr9·(x12)9－r·(－x13)r＝(－1)r·Cr9·x27－r6， 令27－r6∈Z，即 4＋3－r6∈Z，且 r∈{0,1,2，…，9}． ∴r＝3 或 r＝9. 当 r＝3 时，27－r6＝4，T4＝(－1)3·C39·x4＝－84x4； 当 r＝9 时，27－r6＝3，T10＝(－1)9·C99·x3＝－x3. ∴( x－3x)9的展开式中的有理项是：第 4 项，－84x4和第 10 项，－x3. 20．(本题满分 10 分)若多项式 x3＋x9＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a8(x＋1)8＋a9(x＋1)9，求： (1)a1＋a2＋…＋a9； (2)a2＋a4＋a6＋a8． [解析] 令 x＋1＝t，则 x＝t－1， 展所以有：x3＋x9＝(t－1)3＋(t－1)9＝a0＋a1t＋…＋a8t8＋a9t9 (1)令 t＝0，得 a0＝(－1)3＋(－1)9＝－2； 令 t＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝0①，所以 a1＋a2＋…＋a9＝2 (2)令 t＝－1，得 a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝(－2)3＋(－2)9＝－520② 由①＋②得：2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝－520 所以：a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝－260，即 a2＋a4＋a6＋a8＝－258． 21．(本题满分 10 分)(2015·北京高二质检)已知(3x2＋3x2)n展开式中各项系数和比它的二项式系数和大 992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．  [解析] 令 x＝1 得展开式各项系数和为(1＋3)n＝4n， 又展开式二项式系数和为 C0n＋C1n＋…＋Cnn＝2n， 由题意有 4n－2n＝992. 即(2n)2－2n－992＝0，(2n－32)(2n＋31)＝0， 所以 n＝5. (1)因为 n＝5，所以展开式共 6 项，其中二项式系数最大项为第三、四两项， 它们是 T3＝C25(3x2)3·(3x2)2＝90x6. T4＝C35(3x2)2(3x2)3＝270x223. (2)设展开式中第 k＋1 项的系数最大． 又 Tk＋1＝Ck5(3x2)5－k·(3x2)k＝Ck53kx10＋4k3， 得 Ck5·3k≥Ck－15·3k－1Ck5·3k≥Ck＋15·3k＋1⇒ 3k≥16－k15－k≥3k＋1 ⇒72≤k≤92. 又因为 k∈Z，所以 k＝4，所以展开式中第 5 项系数最大．T5＝C4534x263＝405x263. 。