点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习().doc

点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习()　　点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习　　1.点和圆的位置关系　　点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：　　①点P在圆外d＞r　　②点P在圆上d=r　　①点P在圆内d＜r　　点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．　　符号读作“等价于”，它表示从符号的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．　　2.确定圆的条件　　不在同一直线上的三点确定一个圆．　　注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．　　3.三角形的外接圆与外心　　外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．　　外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 概念说明：　　①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．　　4.反证法(了解)　　对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的． 反证法的一般步骤是： ①假设命题的结论不成立；　　②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；　　③矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 5.直线和圆的位置关系　　直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点．　　②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．　　③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． 判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．　　1　　①直线l和⊙O相交d＜r ②直线l和⊙O相切d=r ③直线l和⊙O相离d＞r．　　6.切线的性质　　切线的性质　　①圆的切线垂直于经过切点的半径．　　②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 切线的性质可总结如下：　　如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． 切线性质的运用　　定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．　　7.切线的判定　　切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 在应用判定定理时注意：　　①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．　　②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．　　③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．　　8.切线的判定与性质 切线的性质　　①圆的切线垂直于经过切点的半径．　　②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．　　切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 常见的辅助线的：　　①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．　　　　9.切线长定理　　2　　圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．　　切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．　　注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对；　　③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．　　10.三角形的内切圆与内心 内切圆的有关概念：　　与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． 任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． 三角形内心的性质：　　三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．　　11.圆与圆的五种位置关系　　圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含． 如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．　　圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离d＞R+r； ②两圆外切d=R+r；　　③两圆相交R-r＜d＜R+r； ④两圆内切d=R-r； ⑤两圆内含d＜R-r．　　12.相切两圆的性质　　相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点． 这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便． 13.相交两圆的性质　　相交两圆的性质：　　相交两圆的连心线，垂直平分两圆的公共弦． 注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系． 两圆的公切线性质：　　两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等． 两个圆如果有两条公切线，则它们的交点一定在连心线上．　　　　3　　4. 判断圆的切线的方法及应用　　判断圆的切线的方法有三种：　　与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；　　若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线； 经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.　　【例4】 如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=43，D是线段BC的中点.　　试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理.　　过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.　　　　【例5】 如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.　　　　【例6】 如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP是半圆O的切线.　　4　　【知识梳理】　　1. 直线与圆的位置关系： 2. 切线的定义和性质：　　3.三角形与圆的特殊位置关系：　　4. 圆与圆的位置关系： 相交r1r2dr1r2； 外切dr1r2；　　内切dr1r2； 外离dr1r2； 内含0dr1r2 【注意点】　　与圆的切线长有关的计算． 【例题精讲】　　　　例1.⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为　　A．相离　　B．相切 C．相交　　D．内含　　例2. 如图1，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F．B50°，C60°，连结OE，OF，DE，DF， 则EDF等于 A．40°　　B．55° C．65°　　D．70°　　例3. 如图，已知直线L和直线L外两定点A、B，且A、B到直线L的距离相等，则经过A、B两点且圆心在L上的圆有　　A．0个　　B．1个　　C．无数个　　D．0个或1个或无数个　　例4．已知⊙O1半径为3cm，⊙O2半径为4cm，并且⊙O1与⊙O2相切，则这两个圆的圆心距为　　D. 1cm或7cm　　例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为　　例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d满足___ ___时，两圆相交；　　当d满足___　　___时，两圆不外离．　　例7．⊙O半径为，点P为直线L上一点，且OP=，则直线与⊙O的位置关系是____　　例8．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，若PA长为2，则△PEF的周长是　　_．　　例9. 如图，⊙M与x轴相交于点A(2，0)，B(8，0)，与y轴切于点C，则圆心M的坐标是　　　　5　　例10. 如图，四边形ABCD内接于⊙A，AC为⊙O的直径，弦DB⊥AC，垂足为M，过点D作⊙O的切线交BA的延长线于点E，若AC=10，tan∠DAE=43，求DB的长．　　　　【当堂检测】　　1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是 A．相离　　B．外切　　C．内切　　D．相交　　2.⊙A和⊙B相切，半径分别为8cm和2cm，则圆心距AB为 A．10cm　　B．6cm　　C．10cm或6cm　　D．以上答案均不对 3.如图，P是⊙O的直径CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA＝3，PB＝1，那么∠APC等于　　A. 15　　B. 30　　C. 45　　D. 60　　4. 如图，⊙O半径为5，PC切⊙O于点C，PO交⊙O于点A，PA＝4，那么PC的长等于 AA）6　　25　　210　　214　　 O BDC　　5.如图，在第3题图10× 6的网格图中第4题图(每个小正方形的边长均为 第5题图1 个单位长)．⊙第6A题图半径 为2，⊙B半径为1，需使⊙A与静止的⊙B相切，那么⊙A图示的位置向左平移　　个单位长.　　6. 如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，DC＝1，，则⊙O的半径等于　　A.　　54　　B. 45　　C. 354　　D. 6 7.⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长63，以3为半径⊙O的同心圆与直　　线AB的位置关系是(　　)　　A.相离　　B.相交　　C.相切　　D.不能确定　　8.如图，在△ABC中，ABAC，A120°，BC23，⊙A与BC相切于点D，且交AB、AC于M、N两点，则图中阴影部分的面积是　　．　　9.如图，B是线段AC上的一点，且AB：AC=2：5，分别以AB、AC为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．　　O1O2　　O　　6　　第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 10. 如图，从一块直径为a+b的圆形纸板上挖去直径分别为a和b的两个圆，则剩下的纸板面积是___．　　11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm．则大圆的半径是______cm．　　12.如图，直线AB切⊙O于C点，D是⊙O上一点，∠EDC=30o，弦EF∥AB，连结OC交EF于H点，连结CF，且CF=2，则HE的长为_________．　　13. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，若直径AC=12cm。

　　∠P=60°．求弦AB的长． A。