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第第10章章 重积分重积分§10.1 二重积分二重积分一、引例一、引例二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性三、二重积分的性质三、二重积分的性质四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算五、利用直角坐标计算二重积分五、利用直角坐标计算二重积分六、利用极坐标计算二重积分六、利用极坐标计算二重积分七、二重积分换元法七、二重积分换元法1 1二重积分的概念及计算二重积分的概念及计算解法解法: 类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体给定曲顶柱体:底：底： xoy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面连续曲面侧面：侧面：以以 D 的边界为准线的边界为准线 , 母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面求其体积求其体积.“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求求 极限极限” 2二重积分的概念及计算1)“大化小大化小”用用任意曲线网任意曲线网分分D为为 n 个区域个区域以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为 n 个个2)“常代变常代变”在每个在每个3)“近似和近似和”则则中中任取一点任取一点小曲顶柱体小曲顶柱体3二重积分的概念及计算4)“取极限取极限”令令4二重积分的概念及计算2. 平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片有一个平面薄片, 在在 xoy 平面上占有区域平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M .度为度为设设D 的面积为的面积为  ,则则若若非常数非常数 , 仍可用仍可用其面密其面密 “大化小大化小, 常代变常代变,近似和近似和, 求求 极限极限” 解决解决.1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D 为为 n 个小区域个小区域相应把薄片也分为小区域相应把薄片也分为小区域 .5二重积分的概念及计算2)“常代变常代变”中中任取任取一点一点3)“近似和近似和”4)“取极限取极限”则第则第 k 小块的质量小块的质量6二重积分的概念及计算两个问题的两个问题的共性共性：：(1) 解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同所求量的结构式相同“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和,取极限取极限”曲顶柱体体积曲顶柱体体积: 平面薄片的质量平面薄片的质量: 7二重积分的概念及计算二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:将区域将区域 D 任意任意分成分成 n 个小区域个小区域任取任取一点一点若存在一个常数若存在一个常数 I , 使使可积可积 , 在在D上的上的二重积分二重积分.积分和积分和积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元素记作记作是定义在是定义在有界区域有界区域 D上的上的有界函数有界函数 , 8二重积分的概念及计算引例引例1中曲顶柱体体积中曲顶柱体体积:引例引例2中平面薄板的质量中平面薄板的质量:如果如果 在在D上可积上可积,也常也常二重积分记作二重积分记作这时这时分区域分区域D , 因此面积元素因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划可用平行坐标轴的直线来划 记作记作9二重积分的概念及计算二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数若函数定理定理2.(证明略证明略)定理定理1.在在D上可积上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,积积.在有界闭区域在有界闭区域 D上连续上连续, 则则若有界函数若有界函数在有界闭区域在有界闭区域 D 上除去有上除去有 例如例如, 在在D :上二重积分存在上二重积分存在 ;在在D 上上 二重积分不存在二重积分不存在 . 10二重积分的概念及计算三、二重积分的性质三、二重积分的性质( k 为常数为常数)  为为D 的面积的面积, 则则 11二重积分的概念及计算特别特别, 由于由于则则5. 若在若在D上上6. 设设D 的面积为的面积为  ,则有则有12二重积分的概念及计算7.(二重积分的中值定理二重积分的中值定理)证证: 由性质由性质6 可知可知,由连续函数介值定理由连续函数介值定理, 至少有一点至少有一点在闭区域在闭区域D上上  为为D 的面积的面积 ,则至少存在一点则至少存在一点使使使使连续连续,因此因此13二重积分的概念及计算例例1. 比较下列积分的大小比较下列积分的大小:其中其中解解: 积分域积分域 D 的边界为圆周的边界为圆周它与它与 x 轴交于点轴交于点 (1,0) ,而域而域 D 位位从而从而于直线的上方于直线的上方, 故在故在 D 上上 14二重积分的概念及计算例例2. 判断积分判断积分的正负号的正负号.解解: 分积分域为分积分域为则则原式原式 =猜想结果为负猜想结果为负但不好估计但不好估计 .舍去此项舍去此项15二重积分的概念及计算例例3. 判断判断的正负的正负.解：解： 当当时，时，故故又当又当时，时，于是于是16二重积分的概念及计算例例4. 估计下列积分之值估计下列积分之值解解: D 的面积为的面积为由于由于积分性质积分性质5即即: 1.96   I   2D17二重积分的概念及计算例例5. 估计估计 的值的值, 其中其中 D 为为解解: 被积函数被积函数D 的面积的面积的最大值的最大值的最小值的最小值18二重积分的概念及计算8. 设函数设函数D 位于位于 x 轴上方的部分为轴上方的部分为D1 , 当区域关于当区域关于 y 轴对称轴对称, 函数关于变量函数关于变量 x 有奇偶性时有奇偶性时, 仍仍在在 D 上上在闭区域上连续在闭区域上连续, 域域D 关于关于x 轴对称轴对称,则则则则有类似结果有类似结果.在第一象限部分在第一象限部分, 则有则有19二重积分的概念及计算四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为设曲顶柱的底为任取任取平面平面故曲顶柱体体积为故曲顶柱体体积为截面积为截面积为截柱体的截柱体的20二重积分的概念及计算同样同样, 曲顶柱的底为曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算则其体积可按如下两次积分计算21二重积分的概念及计算例例6. 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积的直角圆柱面所围的体积.解解: 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为利用对称性利用对称性, 考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为22二重积分的概念及计算内容小结内容小结1. 二重积分的定义二重积分的定义2. 二重积分的性质二重积分的性质 (与定积分性质相似与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算曲顶柱体体积的计算二次积分法二次积分法23二重积分的概念及计算被积函数被积函数相同相同, 且且非负非负, 思考与练习思考与练习解解: 由它们的积分域范围可知由它们的积分域范围可知1. 比较下列积分值的大小关系比较下列积分值的大小关系:24二重积分的概念及计算2. 设设D 是第二象限的一个有界闭域是第二象限的一个有界闭域 , 且且 0 < y <1, 则则的大小顺序为的大小顺序为 ( )提示提示: 因因 0 < y <1, 故故故在故在D上有上有25二重积分的概念及计算3. 计算计算解解:26二重积分的概念及计算4. 证明证明:其中其中D 为为解解: 利用题中利用题中 x , y 位置的对称性位置的对称性, 有有又又 D 的面积为的面积为 1 , 故结论成立故结论成立 .27二重积分的概念及计算五、利用直角坐标计算二重积分五、利用直角坐标计算二重积分且在且在D上连续时上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知由曲顶柱体体积的计算可知, 若若D为为 X – 型区域型区域 则则若若D为为Y –型区域型区域则则28二重积分的概念及计算当被积函数当被积函数均非负均非负在在D上上变号变号时时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .由于由于29二重积分的概念及计算说明说明: (1) 若积分区域既是若积分区域既是X–型区域又是型区域又是Y –型区域型区域 , 为计算方便为计算方便,可可选择积分序选择积分序, 必要时还可以必要时还可以交换积分序交换积分序.则有则有(2) 若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干X-型域或型域或Y-型域型域 , 则则 30二重积分的概念及计算例例7. 计算计算其中其中D 是直线是直线 y＝＝1, x＝＝2, 及及y＝＝x 所围的闭区域所围的闭区域. 解法解法1. 将将D看作看作X–型区域型区域, 则则解法解法2. 将将D看作看作Y–型区域型区域, 则则31二重积分的概念及计算例例8. 计算计算其中其中D 是抛物线是抛物线所围成的闭区域所围成的闭区域. 解解: 为计算简便为计算简便, 先对先对 x 后对后对 y 积分积分,及直线及直线则则 32二重积分的概念及计算例例9. 计算计算其中其中D 是直线是直线 所围成的闭区域所围成的闭区域.解解: 由被积函数可知由被积函数可知,因此取因此取D 为为X – 型域型域 :先对先对 x 积分不行积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序还需交换积分顺序.33二重积分的概念及计算例例10. 交换下列积分顺序交换下列积分顺序解解: 积分域由两部分组成积分域由两部分组成:视为视为Y–型区域型区域 , 则则34二重积分的概念及计算例例11. 计算计算其中其中D 由由所围成所围成.解解: 令令(如图所示如图所示)显然显然,35二重积分的概念及计算解：解：原式原式例例12. 给定给定改变积分的次序改变积分的次序.36二重积分的概念及计算对应有对应有六、利用极坐标计算二重积分六、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下在极坐标系下, 用同心圆用同心圆 r =常数常数则除包含边界点的小区域外则除包含边界点的小区域外,小区域的面积小区域的面积在在内取点内取点及射线及射线   =常数常数, 分划区域分划区域D 为为37二重积分的概念及计算即即38二重积分的概念及计算设设则则特别特别, 对对39二重积分的概念及计算若若 f ≡1 则可求得则可求得D 的面积的面积思考思考: 下列各图中域下列各图中域 D 分别与分别与 x , y 轴相切于原点轴相切于原点,试试答答: 问问   的变化范围是什么的变化范围是什么?(1)(2)40二重积分的概念及计算例例13. 计算计算其中其中解解: 在极坐标系下在极坐标系下原式原式的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角故本题无法用直角由于由于故故坐标计算坐标计算.41二重积分的概念及计算注注: 利用例利用例13可得到一个在概率论与数理统计及工程上可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式非常有用的反常积分公式事实上事实上, 当当D 为为 R2 时时,利用例利用例7的结果的结果, 得得①①故故①①式成立式成立 .42二重积分的概念及计算例例14. 求球体求球体被圆柱面被圆柱面所截得的所截得的(含在柱面内的含在柱面内的)立体的体积立体的体积. 解解: 设设由对称性可知由对称性可知43二重积分的概念及计算例例15. 计算计算其中其中D 为由圆为由圆所围成的所围成的及直线及直线解：解：平面闭区域平面闭区域.44二重积分的概念及计算定积分换元法定积分换元法七、二重积分换元法七、二重积分换元法 满足满足一阶偏导数连续一阶偏导数连续;雅可比行列式雅可比行列式(3) 变换变换则则定理定理:变换变换:是一一对应的是一一对应的 ,45二重积分的概念及计算证证: 根据定理条件根据定理条件(2)(3)可知变换可知变换 T 可逆可逆. 用平行于坐标轴的用平行于坐标轴的 直线分割区域直线分割区域 任取其中一个小矩任取其中一个小矩形形, 其顶点为其顶点为通过变换通过变换T, 在在 xoy 面上得到一个四边面上得到一个四边形形, 其对应顶点为其对应顶点为则则46二重积分的概念及计算同理得同理得当当h, k 充分小时充分小时,曲边四边形曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四近似于平行四 边形边形, 故其面积近似为故其面积近似为47二重积分的概念及计算因此面积元素的关系为因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式从而得二重积分的换元公式: 例如例如, 直角坐标转化为极坐标时直角坐标转化为极坐标时, 48二重积分的概念及计算例例16. 计算计算其中其中D 是是 x 轴轴 y 轴和直线轴和直线所围成的闭域所围成的闭域. 解解: 令令则则49二重积分的概念及计算例例17. 计算由计算由所围成的闭区域所围成的闭区域 D 的面积的面积 S .解解: 令令则则50二重积分的概念及计算例例18. 试计算椭球体试计算椭球体解解: 由对称性由对称性令令则则D 的原象为的原象为的体积的体积V.51二重积分的概念及计算内容小结内容小结(1) 二重积分化为累次积分的方法二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 :• 若积分区域为若积分区域为则则• 若积分区域为若积分区域为则则52二重积分的概念及计算则则(2) 一般换元公式一般换元公式且且则则极坐标系情形极坐标系情形: 若积分区域为若积分区域为在变换在变换下下53二重积分的概念及计算(3) 计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项• 画出积分域画出积分域• 选择坐标系选择坐标系• 确定积分序确定积分序• 写出积分限写出积分限• 计算要简便计算要简便域边界应域边界应尽量多为坐标线尽量多为坐标线被积函数被积函数关于坐标变量易分离关于坐标变量易分离积分域分块要少积分域分块要少累次积分好算为妙累次积分好算为妙图示法图示法不等式不等式( 先积一条线先积一条线, 后扫积分域后扫积分域 )充分利用对称性充分利用对称性应用换元公式应用换元公式54二重积分的概念及计算思考与练习思考与练习1. 设设且且求求提示提示: 交换积分顺序后交换积分顺序后, x , y互换互换55二重积分的概念及计算2. 交换积分顺序交换积分顺序提示提示: 积分域如图积分域如图56二重积分的概念及计算THANK YOU感谢聆听，批评指导2020。