从导数的前世到今生的认识.pdf

李习凡 一个无穷小的无限世界，虽然它不可触 摸，但我们却可及，因为我们有了导数这一 工具．导数带领我们进入了这个神秘的无限 世界，但它的形成却不是一帆风顺的，甚至 是曲折艰难的．我们一起来回顾导数形成的 前世到今生的历程，更好地理解导数的意义 和价值． 一、导数的前世 我们要认识导数的前世，先来看两个 故事： 故事I：永远追不上乌龟 阿基里斯是荷马史诗中最善跑的英雄， 芝诺是一名古希腊哲学家和数学家．芝诺认 为，阿基里斯永远追不上乌龟．他的论证简 要说来是这样的．乌龟先起跑一段，阿基里 斯要追上乌龟，首先必须到达乌龟原来的起 跑点．可他跑到乌龟的起跑点需要一定时 间，因而当他跑到乌龟的起跑点时，乌龟已 经前进了一段路了，于是他又必须花一定的 时间赶到乌龟的新的所在的点．而当他赶到 乌龟新的所在的点时，乌龟又已经前进了一 段路了．因而如此下去，阿基里斯永远也追 不上乌龟． 故事2：一尺之棰 《庄子·天下篇》中，庄子提出：“一尺之 棰，日取其半，万世不竭”．也就是说，一尺之 棰是一有限的物体，但它却可以无限地分割 下去． 这两个故事的问题到底出在哪里?它 们的提出可能有更深刻的背景，不一定是专 门针对数学的，但是它们在数学王国中却掀 起了一场轩然大被．说明了当时的人们已经 看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但他们 无法解决这些矛盾．其实，我们从故事中不 知不觉进入了一个无限的世界，一个我们看 不见摸不着却存在的世界．而庄子提出这个 辩论讲的就是有限和无限的统一，有限之中 有无限的辩证思想． ☆二、导数形成 我们再来读读李白的《送孟浩然之广陵》： 故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州． 孤帆远影碧空尽，惟见长江天际流． 在“孤帆远影碧空尽”一句中，我们看 “孤帆远影”的大小，它随着长江水下扬州， 逐步变小，最终“碧空尽”，即趋向于0． 在“一尺之棰，日取其半”中，尺的长度 不断变小，虽万世不竭，但最终趋近于0． 在这里我们引入一个数学名词——极 限．它和我们生活中的“极限”在意境上是相 通的．极限是包含“极”和“限”，常称不可逾 越的数值为极限．我们经常说挑战极限，就 是我们不断努力去接近一个很难接近的临 “ 闷0 川 艮 蠹t 掰 一 ；辫 蕈 一 可割，则无失矣”，就是多边形分割越细越趋 近于圆． 现在我们可以开始导数形成之旅，来体 会导数的意义． 旅行～：如何理解瞬时速度 如果一辆汽车在1 h内走了100 km，那 么我们常说车速是100 km／h，但这只是它的 平均速度．在实际行驶过程中，是有快慢变 化的，不都是100 km／h，第1 h这一时刻也 不一定是100 km／h． 如果汽车的位移5(m)与时间t(s)的函 数关系式为S一2t ，那么如何解决第1 S这 一时刻的速度呢? 假设从1 S末开始经过很短一段时间△￡ 到时亥0 1+At， 则位移的改变量As—S(1+At)一S(1) 一4At+2△￡。

所以这段时间内的平均速度为 一 As 一4+2At． 当△￡无限趋近于0时，V无限趋近于 4，因此汽车在第1 S的瞬时速度为4 m／s． 将此问题推广到求第t S的速度，则 一 As一4f~-2At,当A￡无限趋近于0时， 无限 趋近于4￡，因此汽车在第t S的瞬时速度为 4t m／S． 你有没有发现，平均速度神奇般地转变 为瞬时速度．瞬时速度反映了某一个时刻的 局部性质，从而将有限世界神奇般地过渡到 了无限世界． 旅行二：如何理解曲线的切线 我们来求Y— 的导数． 夔 ㈣ “ ‘ 哪iU'ti tra g 7~ami ~atio， 量Ax，则Ay 当△ 无限趋近于0时， 无限趋近 L 于2x． 所以Y一32的导数为2x． 另外，在西方广为流传的一本数学科普 著作《为百万人的数学》是这样叙述导数的： 如果在一条曲线上运动的两点P，Q不 断靠拢，使得很难区别两点是沿着原曲线还 是沿着直线段P，Q彼此非常接近，这时尽管 P，Q的坐标 有十分微小的差别，但在测速 仪上的指针几乎是不动的，直线段P，Q的斜 率，即测速仪上的读数． 所以，导数在几何 表现为切线的 斜率． 三、导数的困扰 在许多人多年努力的基础上，牛顿和莱 布尼兹在17世纪后期创立了微积分，形成 了无穷小演算，即导数形成中△￡和A 无限 趋近于0．由于它运算的完整性和应用的广 泛性，微积分成为解决问题的有力T具． 但是在微积分学刚开始产生时，关于微 积分基础的问题也越来越严重．凶为它主要 建立在无穷小分析之上，而关键问题就是无 穷小量究竟是不是零?两种答案都会导致 矛盾．牛顿对它曾作过三种不同解释：1669 年说它是一种常量；】671年又说它是一个趋 于零的变量；1676年它被“两个正在消逝的 量的最终比”所代替． 而英国大主教贝克莱于1734年以“渺 小的哲学家名义”写了一本书，攻击流数(导 数)“是消失了的量的鬼魂……能消化得了 二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学 论点就呕吐的”．在这本书中贝克莱对微积 分理论进行了攻击，他指责牛顿，为了计算 的导数．先给 取一个不为0的增量△z， 由( +△z) 一 ，得到2／',x+Ax ，再除以 Ax，得到2x+△ ，最后突然令Ax一0，求得 导数为2x．在牛顿的理论中，无穷小量一会 儿被当成零，一会儿又说不是零．因此，贝克 莱嘲笑“无穷小量”是“已死量的幽灵”．就实 际应用而言，无穷小量必须既是0，又不是0． 但就形式而言，这无疑是一个矛盾．这一问 题的提出在当时的数学界引起了一次不小 的震动，由此导致了第二次数学危机．贝克 莱虽然抓住了当时微积分、无穷小方法中一 些不清楚不合逻辑的问题，不过他是出自对 科学的厌恶和对宗教的维护，而不是出自对 科学的追求和探索． 为解决这一矛盾，数学家柯西首先给m 了极限的理论，大家进入大学后学习高等数 学课程就从极限理论开始．从19世纪下半 叶开始，极限理论逐渐取代了无穷小量的方 法，在数学分析基础理论中占有了统治地 位，这样才消除了第二次数学危机．柯西的 贡献在于，摆脱了微积分单纯地地对几何、 运动的直观理解，引入了严格分析上的叙述 和论证，巩固了数学分析的严密性的统治 地位． 其实，庄子揭示了取棒的极限是0，越取 越少，但只是无限 龟的例子中，无限 量，这个和就是极 四、导数的今生 第二次数学危机没有阻碍微积分的迅 猛发展和广泛应用．事实上，微积分驰骋在 各个科技领域，解决了大量的物理问题、天 文问题、数学问题，大大推进了工业革命的 发展．就微积分自身而言，经过本次危机的 “洗礼”，其自身得到了不断的系统化，完整 化，扩展出了不同的分支，成为了l8世纪数 学世界的“霸主”． 今天我们学习导数是为了建立中学数 学和高等数学联系的桥梁，窥探到高等数学 最基础也是最关键的微积分，为你未来在大 学的数学追求奠定基础． 导数是一个工具，是我们研究函数的变 化趋势的一个简便而又神奇的工具，它能解 决函数的单调性、函数的网象、函数的极值 和最值等问题． 导数与物理、几何、代数关系密切，如 在几何中可求切线，在代数中可求瞬时变 化率．在物理中可求速度、加速度等，在经 济学中可求边际成本等．它把代数、几何、 物理等学科联系在一起，各学科之问相互 渗透，体现出数学是各学科的基础． ～ 。