2024年高考数学一轮复习（新高考版） 用样本估计总体.pdf

9.2用样本估计总体【考试要求】1.会用统计图表对总体进行估计，会求个数据的第百分位数.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度.落实主干知识【知识梳理】1 .百分位数一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有避1 的数据小于或等于这个值，且至少有（1 000%的数据大于或等于这个值.2 .平均数、中位数和众数（1）平均数：X =1（X 1+X2H-1 尤“）.（2）中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最空闻的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的壬均数（当数据个数是偶数时）.（3）众数：一组数据中出现次数量多的数据（即频数最大值所对应的样本数据）.3 .方差和标准差方差：52=-X （XL 尤 或 4 X 2.Z=1 J=1（2）标准差：一二产4 .总 体（样本）方差和总体（样本）标准差（1）一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为匕，Y2,次，总体平均数为了，则总1 N 一体方差W=（匕一Y）2.尸1（2）加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有-4 WN）个，不妨记为匕，Y2,Yk,1 k 其中匕出现的频数为例=1,2,，,则总体方差为*二五小（匕 一 YR尸1【常用结论】1 .若即，入 2，入 的平均数为x,那么rrvc2a,均+的平均数为机工+.2 .数据对，Xi，工 与数据 X=xi+a,X21=X2a,xn =xn+a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变.3.若尤i,尤2,，尤 的方差为S 2,那么ori+b,ax+b,or”+b 的方差为a2s2.【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“J ”或“X ”）（1）对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近.（X ）（2）方差与标准差具有相同的单位.（X ）（3）如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变.（V）（4）在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数.（V）【教材改编题】1.若数据X l,X 2,，的方差为2,则数据2阳，2尤2,，2x9的方差为（）A.2 B.4 C.6 D.8答 案 D解析 根据方差的性质可知，数据XI,X 2,，X9的方差$2=2,那么数据2为，2处，2刈的方差为22s2=8.2.某射击运动员7 次的训练成绩分别为86,88,90,89,88,87,85,则这7 次成绩的第80百分位数为（）A.88.5 B.89 C.91 D.89.5答 案 B解 析 7 次的训练成绩从小到大排列为85,86,87,88,88,89,90,7X80%=5.6,所以第80 百分位数为从小到大排列的数据中的第6 个数据，即 89.3.某校体育节 10 名旗手的身高（单位：cm）分别为 175,178,176,180,179,175,176,179,180,179,则中位数为.答 案 178.5解析 把 10名旗手的身高从小到大排列为175,175,176,176,178,179,179,179,180,180,178+179则一y=1 7 8.5,所以所求中位数为178.5.探究核心题型题型一样本的数字特征和百分位数的估计例 1从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82,85,88,90,92,92,92,96,96,98（单位:分），则 这 10名同学数学成绩的众数、第 25百分位数分别为（）A.92,85 B.92,88C.95,88 D.96,85答 案 B解析 数 据 9 2 出现了 3 次，出现的次数最多，所以众数是92；这组数据已经按照由小到大的顺序排列，计 算 10X 25%=2.5,取第三个数，所以第2 5 百分位数是88.延伸探究 本例中，第 70百分位数是多少?92+96解10X 70%=7,第 7 0 百分位数是第7 项与第8 项的平均数，为一=94.（多选）（2023哈尔滨模拟）下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物（PM2.5）的观测值：396 275 268 225 168 166 176 173188 168 141 157若在此组数据中增加一个比现有的最大值大2 5 的数据，下列数字特征发生改变的是（）A.极差 B.中位数C.众数 D.平均数答 案 ABD解析 根据题意，若在此组数据中增加一个比现有的最大值大2 5 的数据，即最大值变为396+2 5=4 2 1,极差为最大值与最小值的差，要发生改变；加入数据前，中位数为3 x（173+176）=174.5,加入数据后，中位数为1 7 6,发生改变；众数为数据中出现次数最多的数，不会改变；12 x+421若加入数据前，平均数为x,加入数据后，平均数为一 百 一 x,发生改变.思维升华 计算一组n个数据第p 百分位数的步骤第一步按从小到大排列原始数据第二步计算i=n x p%第 三 为若i不 是 整 数，而 大 于i的比邻整 数 为j,则 第p百 分 位 数 为 第j项数据若i是整数，则 第p百分位数为第i项 与 第（i+1）项数据的平均数跟 踪 训 练 1 （1）某 中 学 高 一 年 级 8 名学生某次考试的数学成绩（满 分 1 5 0 分）分别为85,90,93,99,101,103,116,130,则这8 名学生数学成绩的第75百分位数为（）A.102 B.103 C.109.5 D.116答 案 C解 析 这组数据已经按照由小到大的数据排列，8 X 7 5%=6,则这8 名学生数学成绩的第75百分位数为第6 个数与第7 个数的平均数,即为窄n o g s（2）（多选）冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动 会.自 1924年起，每四年举办一届.2022年 2 月在北京举办了第24届冬季奥林匹克运动会，为了宣传奥运精神，红星实验学校组织了甲、乙两个社团，利用一周的时间对外进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如图所示的频数分布折线图，贝 1（）甲、乙社团宣传次数的频数分布折线图甲社团乙社团A.甲社团宣传次数的众数小于乙社团宣传次数的众数B.甲社团宣传次数的极差大于乙社团宣传次数的极差C.甲社团宣传次数的平均数大于乙社团宣传次数的平均数D.甲社团宣传次数的方差大于乙社团宣传次数的方差答 案 ABD解析观察每天宣传次数的频数分布折线图，甲社团宣传次数的众数、乙社团宣传次数的众数分别为2,3,A 正确;甲社团宣传次数的极差、乙社团宣传次数的极差分别为3,2,B 正确;甲社团宣传次数的平均数M l=F 丁7 F=3,乙社团宣传次数的平均数竟22+2+3+4+3+3+47=3C 不正确；1Q甲社团宣传次数的方差 3=+(5 3)2+(43)2=,1 4乙社团宣传次数的方差=yX 2 X(2-3)2+3 X(3-3)2+2 X(4-3)2=y,D 正确.题型二总体集中趋势的估计例 2为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了 50名学生的成绩(成绩均为整数，满分为100分)进行统计，所有学生的成绩都不低于60分，将这50名学生的成绩(单位：分)进行分组，第一组60,7 0),第二组70,80),第三组80,9 0),第四组90,100,得到如图所示的频率分布直方图.(1)求图中m的值，并估计此次竞赛活动学生成绩的中位数；(2)根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动成绩的平均数.若对成绩不低于平均数的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖.解 由频率分布直方图知(0.01+机+0.04+0.02)X 10=1,解得加=0.03；设此次竞赛活动学生成绩的中位数为x o,因为数据落在 60,80)内的频 率 为 0.4,落在 60,90)内的频率为0.8,从而可得 80ao 9 0,由(xo80)X0.04=0.50.4,得加=82.5,所以估计此次竞赛活动学生成绩的中位数为82.5.(2)由频率分布直方图及(1)知，T =65X0.1+75X0.3+85X0.4+95X0.2=82,此次竞赛活动学生成绩不低于82的频率为0.290-82卜 H)X 0.4=0.52,则获奖的学生有500X0.52=260(名)，所以估计此次竞赛活动成绩的平均数为8 2,在参赛的500名学生中有260名学生获奖.思 维 升 华 频率分布直方图中的数字特征(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标.(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等.(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和.跟踪训练2(2022哈尔滨模拟)治理沙漠化离不开优质的树苗，现从苗圃中随机地抽测了 200株树苗的高度(单位：c m),得到如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中。

的值及众数、中位数；(2)若树苗高度在185 cm 及以上是可以移栽的合格树苗.从样本中用比例分配的分层随机抽样方法抽取20株树苗作进一步研究，不合格树苗、合格树苗分别应抽取多少株？解(1)：(0.001 5+0.011 0+0.022 5+0.030 0+o+0.008 0+0.002 0)X 10=1,A3,185+195.a=0.025 0,众数为-=190,设中位数为 x,V(0.001 5+0.011 0+0.022 5)X10=0.350.5,则 185Vx+(78-85)2+(95-85)2+(8 8-85)2+(93 一 85+(8485月=35.5,(92-85户 +(9 5-85尸 +(80 85尸 +(75-85)2+(83 一 85)2+(80 一 85)2+(90 85)2+(85 85)2=41.(2)由知%甲=x 乙，播v s甲的成绩较稳定，所以派甲参赛比较合适.课时精练应基础保分练1.为做好疫情防控工作，某校坚持落实“双测温两报告”制度，以下是某宿舍6 名学生某日上午的体温记录：36.3,36.1,36.4,36.7,36.5,36.6（单位:）,则该组数据的第80百分位数为（）A.36.7 B.36.6 C.36.5 D.36.4答 案 B解 析 将 6 名学生该日上午的体温记录从小到大排列为36.1,36.3,36.4,36.5,36.6,36.7,因为80%X 6=4.8,所以该组数据的第80百分位数为36.6.2.（2022南京模拟）已知一组数据XI，X 2,科X 4,无5的平均数为2,方差为当则另一组数据3制一2,3%22,30一2,3%42,3右一2 的平均数、方差分别为（）1 3 9A.2,2 B.2,1 C.4,2 D.4,答 案 D解 析 因为一组数据XI,必，X3,X4,X 5的平均数为2,方差为3，所以另一组数据3xi 2,3&2,3尤32,3x42,3尤52 的平均数为3X22=4,1 Q方差为3 2*=3.（多选）成立时间少于10年、估值超过10亿美元且未上市的企业称为独角兽企业.2022年中国新经济独角兽企业分布较广泛、覆盖居民生活的各个方面.如图为2022年中国新经济独角兽企业TOP100的行业分布图，在中国新经济独角兽企业TOP100榜单中，京、沪、粤三地的企业数量共同占比达到70%.下列说法正确的是（）2022年中国新经济独角兽企业TOPl（X）行业分布Industry Distribution of ToplOO New Economy Unicom Enterprises in China in 2022晶1 4麒阳u。

皓鼬企业 服 务 汽 车 交 通 先进制造 物流 医疗健康电子商务 金融 房产服务11 10 10 10 10 9 7 6用令幻密口岗$陶金智能硬件人工智能 文娱传媒本地生活 工 具 软 件 社 交 网 络 体 育 运 动 旅游 教育4 4 4 4 3 2 2 2 2A.随着智能出行与共享经济观念的普及，汽车交通行业备受投资者关注B.在该TOP100榜单中独角兽企业数量的中位数是3C.在中国新经济独角兽企业TOP100榜单中，京、沪、粤三地的企业超过8。