第四章格林函 数法.ppt

第四章 格林函数法,拉普拉斯方程边值问题的求解方法,调和函数：,1 拉普拉斯（Laplace）方程的基本解,§4.1 格林（Green）公式及其应用,具有二阶连续偏导数的调和方程的连续解；或满足Laplace方程的函数三维Laplace方程的基本解：,特点：除 点外，任一点满足Laplace方程同学们自己验证二维Laplace方程的基本解：,特点：除 点外，任一点满足Laplace方程同学们自己验证问题：基本解是否为整个区域内的解？,2 Green公式,（1）奥－高公式（高斯公式）：设 是有界区域， 是其边界曲面且足够光滑， 在 上连续，在 内有连续偏导数，则,推导：令,其中 是 的外法线方向2）第一Green公式：设 是有界区域， 是其边界曲面且足够光滑， 及其一阶偏导数在 上连续，在 内有二阶连续偏导数，则,代入高斯公式，并注意方向导数公式即可得。

2）第二Green公式：设 是有界区域， 是其边界曲面且足够光滑， 及其一阶偏导数在 上连续，在 内有二阶连续偏导数，则,推导：由第一Green公式，有,两式相减即可得3 调和函数的积分表达式,意义：调和函数在 内任一点的函数值可用其边界上的函数值及其法向导数值表示定理：设 在有界区域 内为调和函数，且在 上有一阶连续偏导数，则 ，有,证明：,,,如图作球,取,则 和 在 内均为调和函数，由第二Green公式有,在 上（其外法线方向如何？）,于是,代入上式，得,令 ，则,从而得证,4 调和函数的基本性质,性质1：设 在有界区域 内为调和函数，且在 上有一阶连续偏导数，则,证：令,将 代入第二Green公式即可同学们考虑为什么？,性质2（平均值定理）：设 在有界区域 内为调和函数， ， 是以 为球心，以 为半径的球面，则有,意义：球平均值,证明：将调和函数积分表达式用于此球面上，有,而,为什么？,于是,为什么？,性质3（极值原理）：若 在有界区域 内为调和函数，在 上连续，且不为常数，则其最大值、最小值只能在边界 上 达到。

推论1：设 在有界区域 内为调和函数，在 上连续，若在 上 有 ，则在 内也有,证明从略,证明：用反证法,若在 内有 ，即 ，而在边界上 ，说明 在内部可能取最大值证明：,1 Green函数的引入,§4.2 格林（Green）函数,对狄利克莱问题,由调和函数的积分表达式，其解可以表示成,（1）,（1）式＋（2）式，得,为此，引入Green函数的概念但在边界上， 未知，不能用上述公式求解，必须消去,取 均为区域 内的调和函数，且在 上有一阶连续的偏导数，则由第二Green公式，有,（2）,（3）,（1）,令,选 ，使 ，则（3）式变成,（4）,则（4）式表示为,（5）,于是狄利克莱问题的解可表示为,称为Green函数,称为Green函数法,在上面的分析中，我们要求 应满足,问题：Green函数 如何构造？即 如何构造？,这又是一个狄利克莱问题如何求解？,2 Green函数的静电学意义,设在 处有一个单位点电荷，则其在空间任一点 处所产生的电场电位为,其中 表示导电面上感应电荷所产生的电位。

该函数结构即是Green函数）,可见只要将 确定了，则 也就确定了如何确定呢？根据Green函数的结构， 必须满足,我们采用如下方法获得,假设区域外也有一个点电荷（不一定单位电荷），它对自由空间的电场也产生一个电位设这两个点电荷所产生的电位在导电面上恰好抵消，则这个假想的点电荷在区域内电位就等于感应电荷所产生的电位，这样 就得到了这种获得 的方法称为静电源象法（镜象法）,那么，这个假想的点电荷应在区域外的什么位置，所带电量又如何呢？,这个点应是 关于边界曲面 的对称点但是，对一般区域而言，这个对称点并不易得到下面看两个特殊问题1 半空间上Green函数及狄利克莱问题的解,§4.３ 格林（Green）函数的应用,如我们研究上半空间,用静电源象法求其Green函数：,在 关于边界曲面 的对称点为,在 放置一单位负电荷，则它们所形成的静电场的电位在边 界 上恰好为零为什么？,对狄利克莱问题,则其用Green函数表示的解为：,因此上半空间的Green函数为：,又为什么？,而在该边界上有,为什么？,从而,注：,,例1 求解下列定解问题,解：,对称点为,故其Green函数为,该问题的解为,２ 球域上的Green函数及狄利克莱问题的解,用静电源象法求其Green函数：,我们采用下面的方法找 关于边界球面的对称点 ：如图,设球域为,,,,在半射线 上截线段 ，使,采用下面的方法找 电荷所带 电量（应使球面 上的电位为零）：,作三角形如图,,,,,,应使球面上的电位为零，必有,将距离关系式代入，可得,于是球域上的Green函数为,对狄利克莱问题,其用Green函数表示的解为：,该Green函数又可表示为：,其中 如图所示。

注意：这时Ｍ在球体内,这时,为什么？,故该问题的解为：,在球面坐标下,球面坐标公式：,格林函数表示了球域内的电场分布，下面给出电场电力线图（my1）,球域内点电荷的电场,局部放大图,。