浅谈中国传统数学的逻辑过程与推类.doc

学院： 数学与统计学院专业： 数学与应用数学班级： 2014级2班学号： 20140655011226姓名： 唐云音题目：浅谈中国传统数学的逻辑过程与推类 指导老师： 赵博2015-2016学年度第2期浅谈中国传统数学的逻辑过程与推类唐云音（长江师范学院数学与统计学院重庆涪陵408100）【摘要】以逻辑学为工具，探讨传统数学的逻辑起点，以及传统数学理论和中 国传统数学著作的逻辑过程，力求对中国传统数学有一个新的认识中国传统数学的发展过 程经历了三次高潮，分别是先秦时期、三国两晋南北朝时期、宋元时期每一时期的逻辑推 类思想经历了并不一帆风顺的发展与的革新，中国传统数学的推类思想在这种起伏的吋代变 迁中也成为主导的推理类型，也为H后逻辑学的成长提供了理论基础中国传统数学的产生 发展过程始终同步于传统文化，研究一个时期的传统数学逻辑，就要以同一时期的 研宂具有或存在的逻辑学水平和发展状况为知识背景关键词】巾国传统数学理论著作逻辑推类“中国传统数学”指在与两方数学合流之前在我国古代独立发展起来的数学方法和理 论众所周知，在数学哲学观的问题上，不论是弗雷格和罗素的逻辑主义，还是布鲁沃和外 尔的直觉主义，以及大数学家希尔伯特的形式主义，都有着众多不可克服的局限性。

我们却 认为，逻辑可以是数学的工具，数学亦可成为逻辑的工具，数学与逻辑可以是工具的互换 使用，现今数理逻辑、计算机模糊逻辑的飞速发展是最好的例证数学不是逻辑，逻辑也不 是数学，二者不能等同，只能互用，中国传统数学与逻辑的关系也是如此1、中国传统数学的逻辑起源传统数学具有很强的社会实用性特色传统数学从诞生之日起就与社会现实结 下不解之緣，尤以与天文、历法的关系最为紧密，《畴人传》中所列举的中国古代数学家绝 大多数都参与或协助过所在时代的历法革新工作中国古代最早的数学专著《算经书》中也 有历法的痕迹，《经十书》中最早的-部《周髀算经》是一部讲天文的数学著作而且中 国传统数学史上众多具有划时代意义的杰出成就就直接来自于历法推算，如秦九韶的“大衍 求一术”产生于历法上元积年的推演；又如应调整历法数裾的要求，历代中算家逐渐发展起 了完善的分数近似法中国传统数学实用性的特征，决定了它的发展趋势是从解决实际运用 W题和提高计算技术为主要目标一方面是几何对象的度量化，另一方面是几何方法与代数 方法的相互渗透与借用，形成“形数结合、以算为主”的格局算术与代数学的许多理论与 方法被广泛应用在儿何学领域，表现为儿何的代数化倾向；儿何的原理与方法乂被成功地 用于代数、数论等领域，充分体现了辩证逻辑的思想。

以算为主，决定了传统数学的成 果表现为算法的形式；而数学问题的模式化和使用算具又带来了计算方法程序化传统 数学家大多善于应用演算的对称性、循环性、递进性，将演算程序设计得十分简捷而明了， 开方术、增乘开方法、大衍求一术等无一不是筹算程序设计的典范由于需要提高数学计算 的速度与准确性，除改进算法外，就是改进算具算器，在这方面，中国传统数学独具特色， 从算筹演进到算盘，就是传统数学发展历程的重要方而之一2、中国传统数学理论的演绎过程中国传统数学以算力主，并不是说中国传统数学家或在中国传统数学著作中没有逻辑 论证，更不等于说中国传统数学没有形成自足的理论体系由于中国传统数学有讲究实用的 特点，传统数学家们在传统数学著作中一般不把算理写出来，而花大呈的篇幅去 叙述一个个具体的算法通过这些算法可以使读者或后人明了算理、找出算理、掌握算法 就其中国传统数学的外部结构而言，中国传统数学也充分体现了逻辑的特点如中国传统数 学著作篇目的划分、题序的安排、内容的处理都或多或少地体现Y理论归属与逻辑的联系， 如《九章算术》各章的题序大多遵循内容由易到难原则，《海岛算经》的九问也是由简到繁 的编排，反映出重差诸术“类推衍化”的造术发展过程，《九章》商功章的求积公式采取柱、 锥、台体的方、圆对比的排列，暗示出这些公式的类似性是通过截而原理推导的结果。

传统数学家处理数学理论的手段与西方古代数学家有所不同，前者主张“寓理于算”，将算 理蕴涵于演算的步骤或过程之中，使算理呈现“不言自喻、不证自明”状态，而后者多是先 列出算理，依理而算，先有理后有法，比较起来，按照现代逻辑思维的理解，前者更有利 于激发读者或后人的逻辑思维力和创造力，这也许就是为什么中国传统数学在众多问题上 遥遥领先于世界数百年甚至上千年的原因之一吧！巾于“寓理于算”不利于数学的普及，为 使普通人掌握算理，学好数学，对中国传统数学典籍进行注释诠释就显得非常之必要，于 是注经之风兴盛不衰，历代相传可以这样说，著名的中国传统数学著作无一没有注释当 然，注经必然会加进自己的新观点与新方法甚至新理论，“注”不仅使算理呈现显性，更是 注入新理，使之进步和升华如刘徽《九章算术注》可堪称注经之典范中国传统数学理论 岛度概括，精炼而深刻传统数学家善于从错综复杂的数学现象中抽象概括出深刻的数 学概念，提炼出最一般的数学原理，并从非常简单的基本原理出发解决重大的实际问题和 关键性的理论、方法的论证在几何学领域，m亩丈量、天文历法导致面积问题和勾股测量 问题；容器容积的计算、土木建筑工程的设计与施工导致体积问题；并从前二者总结提高成 一个简单明了看起来微不足道的一般原理一一出入相补原理，利用此原理，使多面体的体 积问题得以解决，并升华为刘徽原理。

进一步的球体积问题的解决，产生了祖恒原理 传统数学儿何学以勾股形式代替一般三角形处理直线问题，较少讨论角的性质与度量，也 尽量避开平行线与一般相似形的繁琐理论，使得几何理论的结构异常简明扼要至于代数， 其理论体系比几何复杂得多，这是由传统数学代数的性质与特征所决定的传统数 学中代数与几何分家并不明显，形数结合、相互促进；以算为主，融进大量计算方法中国 传统数学代数的结构体系复杂于儿何体系这是很明显的，但不能说没有基本的线索、基本的 结构3、 中国传统数学书内容编排的逻辑成书于东汉初期的《九章》其编辑体例深受儒家传统思想的影响郑众、马徳、马融等 儒士以为：人民在生产实践中产生的数学概念和计算方法都不能超越儒家六艺中“九数”的 内容进而，把前世相传的算法分别隶属在“九章”之闪同时，《九章》的编集工作也受 到荀子学说的唯物主义思想影响，紧密联系社会实际与需要，详尽具体问题的“术”，而对 “理”适可而止，表现重感性认识轻理性认识的倾向算经十书及宋元明清中算书大多采用 “题答术”之类的编写体例，都采用问题集的形式如《九章》收集246 “题”及“答”，212 “术”，不过“题、答、术”不完全一一对应，有的一问一术，有的多问一术，有的一问多 术，体现了归纳与归类的观点。

比较《数书》与《九章》，两者都采用问题集的形式，把所 有问题分成九类，有问、有答、有术不过两书分类的标准不一，问题的模式不同，问答术 的次序有异，而且《数书》“术”后有“草”，有的“草”后还有“图”在问题编写的分类 上，许多中算书都依据一定的标准，对书中问题进行分类编写如《九章》分246个问题为 九章之内，有儿章按问题的性质分类，如“方田”、“粟米”、“商功”等，有儿章则按解题的 方法分类，如“盈不足”、“方程”等；《五曹算经》把67个问题按其问题的适用性分属于 田曹、兵曹、集曹、仓曹和金曹；《数书》81题分为九类，除第一类按解题方法分类外，其 它八类都是按M题的性质进行分类中国传统数学这种分类处理问题，体现了中国传统数学 家自觉或不自觉地运用了逻辑4、 中国传统数学的发展数学的概念不是人类天生就有，而是客观世界的活动不断反映外在的具体事物，分析并 推广那些没有的具体经验，然后运用己有的抽象概念，进一步推广与抽象而得到的观念数 学思想属于科学思想，但科学思想未必就是数学思想从历史的实践经验来看，我们可知 数学与逻辑的法则不是任意规定得到的，它们反映了不断运算具体事物的经验中国传统 数学初以算筹为主要算具，从计算方法、研究方法到基本理论独具一格、自成体系。

中国 传统数学的第一次岛峰始于秦汉时期，数学典籍《九章算术》的出现大大影响了秦汉时期人 们对于数学思想的认识与理解，它从数学特有的形式和思想内容两方而提出了自己的观点与 看法，在当时也是最早最具影响力的著作，给后人的创新提供了理论的基础三国两晋南北 朝时期，通过借鉴前人的经验，传统数学収得/很大的发展并有新的突破，赵爽的“勾 股方图”，根据几何的方法原理证明了勾股定理随后中国传统数学发展经历了相对停滞的 隋唐时期，但在推动数学应用的普及方而却卓有成效宋元时期，是传统数学的第三次 高峰也是中国传统数学的鼎盛时期，它以提炼精要、以算法为中心的企新数学思想秦九 韶也全面继承并创新了中国传统数学的自身逻辑思路明清时期，由于西方传教士在中国 活动，西方的现代数学理论也开始传入中国，开始了新一轮的学科大融合5、中国传统数学的推类思想在逻辑发展的过程中居于主导地位的推理类型是推类它是rh墨子以及他所创立的 墨家学派在丰富实践基础的情况丁提出并对其进行论述的方法所谓推类，是一种以类为基 础，兼具传统文化的综合推理形式，在思维过程形式上有类比推理的性质，在内容上则具有 演绎推理的性质先秦与秦汉吋期，是推类思想的初步形成时期。

墨子的《墨经》提及到“类” 的概念，《周髀算经》初步形成和应用了推类的思想，它对推类有整体的把握与应用《九 章算术》初步形成了 “以类合类”的逻辑方法，就是以类为出发点，然后推以类之它也标 志着中国传统数学的形成，不仅在数学方法上实现了推陈出新，而且数学思想在那一时期也 达到最高境界三国两晋啕北朝时期，推类思想得到了进一步的发展赵爽对《周髀算经》 的推类思想与方法的逻辑内涵进行了深刻的分析，提山了如何“通类”的基本方法，也就是 “举一反三”刘徽的《九章算术注》代表传统数学第二次高潮的最高水平，刘徽专著 逻辑思路的基本推类模式都是以“类”为出发点，证明了许多关于数学的命题或结论，对于 证明过程的基本方式与基本原则是“以类合类”刘徽注也注意吸收后期儒家代表苟子的 逻辑思想，足见刘徽注对数学推理方法的重视在这一时期，除了赵爽、刘徽等对中国传 统数学推类的贡献，还有许多其他的数学家或数学典籍在认识和应用推类思想与方法上都有 一定的影响力然而，隋唐时期的数学在理论上发展缓慢，不论是成书于隋唐的数学著作或 是典籍等，对前世认识和应用的传统数学的逻辑推类思想不深但是，秦九韶的《数书九章》 以“推类”作为数学推理的基本形式与方法，以类作为数学分析，进行数学演绎与归纳的最 基本思维形式。

明朝数学理论与方法逐渐西化，这一时期也是中国传统数学的衰落与日用数 学的发展吋期显然，中国逻辑的思想与方法不仅对中国传统数学产生了深远的影响，而且 对中国传统科学的其他领域也产生了显著的影响6、中国传统数学对推类思想的影响推类是中国传统数学的主导推理类型，它推动了中国传统数学的发展秦汉时期初步形 成了关于数学的应川体系，它标志着传统文化的形成与初步繁荣的萌芽伴随着初步萌 芽的中国传统文化，墨家逻辑的思想深刻影响着中国传统数学的推理方法和逻辑思维方由， 通过广泛而深入的应用，形成了向身的初步逻辑思想三国两晋南北朝时期不仅发展了数学 理论和数学方法，而且在数学方法方面达到历史最高水平，确定了 “以类合类”的推类思想 与方法的主导推理类型，它也对中国传统逻辑思路产生了重大影响宋元时期是中国传统数 学的第三次高潮也是最后一次高潮，数学思维与方法的创新与数学理论的突破都给这一吋期 带来了前所未有的时代体验，在这个时期中国传统数学开始演绎化的趋势中国传统数学不 但长期持续发展，出现了一个又一个岛潮，期间数学领域得到很大的发展与创新。