Brouwer不动点定理的几种证明.docx

Brouwer 不动点定理的几种证明学院名称专业名称学生姓名指导教师二O一一年五月摘要Brouwer 不动点定理是很著名的定理.其中，关于它的证明很多有：代数拓 扑的证明、组合拓扑的证明、微分拓扑的证明等.都涉及拓扑学上许多复杂的概 念和结果.关于该定理，也可以用图论的方法证明，用离散离散理论解决连续系统中问题.本文试 图在总结其他证明方法的基础上，对图论的方法证明Brouwer不动点定理进行详细的介绍 来体现这一思想.关键词： Brouwer ；不动点.ABSTRACTBrouwer fixed point theorem is very famous theorem . Among them , about its proof many : algebra topologies, proof of the proof, differential combined topology etc. The proof of topological Involves many complex on the concept of limited and results.About this theorem, also can use graph method to prove, in a discrete discrete theory in solving continuous system. This article tries to summarize the other proof method based on the method of graph theory prove Brouwer fixed point theorem for detailed introduction to reflect this thought.Keywords: Brouwer; Fixed point.目录第一章 引言 11.1 研究背景 11.2 本课题的研究内容 1第二章Brouwer不动点定理的证明 22.1 Brouwer 不动点定理的图论证明 2引理 2.1.1（sperner，1982） 3定理 2.1.2 （Brouwer） 32.2 Brouwer 不动点定理的初等证明 52.2.1 基本概念与引理 5定理 2.2.2.1（Banach 不动点定理） 5定理 2.2.2.2（KKM 定理） 52.2.3 Brouwer 不动点定理的证明 7定理 2.2.3.2 （FKKM 定理） 7定理 2.2.3.5（Brouwer 不动点定理） 82.3 Brouwer 不动点定理的 J.Milnor 分析证明 92.3.6 Brouwer 不动点定理 18参考文献 19致 谢 20第一章 引言1.1 研究背景Brouwer 不动点定理是非线性分析和拓扑学中的重要基本定理，它的叙述简洁，应用广 泛，但证明却很不简单.不论是代数拓扑的证明［1］，还是组合拓扑的证明［2］，以及微分拓扑的 证明⑶，都涉及拓扑学上许多复杂的概念和结果.1978年著名的微分拓扑学家J.Milnor给出 了一中新证明［4］，只用到多变量微分学的知识和某些基本分析定理.关于该定理，也可以用图 论的方法证明，这种离散理论解决连续系统中问题的思想，对我们也给了很大的启示.本文试图在总结其他证明方法的基础上，对图论的方法证明Brouwer不动点定理进行详 细的介绍.1.2 本课题的研究内容整理Brouwer不动点定理的初等、图论方面的证明和J.Milnor给出的用多变量微分学和 某些基本分析定理的新证明.详细介绍Brouwer不动点定理的图论方法证明，体现离散理论解决连续系统中问题的思 想.第二章 Brouwer 不动点定理的证明2.1 Brouwer 不动点定理的图论证明Brouwer不动点定理：若A2表示平面上一个三角形区域围成的闭区域，f是A2 到自身的连续映射，则f至少有一个不动点，即存在一点p e A2，使得f (p ) = p・ 0 0 0首先把A2剖分成若干小三角形区域，即A2 = H5 2 , 82「8 2的面积为零.i i j把A2的三个顶点分别标志位0,1,2.每个5 2的顶也用｛0,1,2｝中的数标志.若5 2的 ii顶p在A2上的边上，且A2的这条边端点之标号为k与m , 5 2的顶也标成k与m ,ii 称这些标志位正常标志，在正常标志中小三角形5 2 的三顶分别标志 0,1,2 时，称5 2 ii 为正常三角形，见图a・A2的这种标志的剖分称为三角剖分.1v5引理 2.1.1(sperner，1982)在A2的三角剖分中，正常三角形为奇数个.记6 2为A2的外部区域，5 2,5 2,..., 5 2是A2进行三角剖分得到三角形子区 0 1 2 m,5 2,...,5 2［为顶集造一个图G,对于i与j接非零的情形，仅当5 2与5 2有 2 m i j公共边具此边端点标志为0与1时，才在此二顶间连一边，对5 2与5 2(i丰0)的情0i形，仅当5 2的0-1标志的边落在A2的0-1标志的边上时，在顶5 2与5 2间连一边,i 0 i见图 b.由于上述图G中奇次项的个数是偶数，如果d(5 2)是奇数，则0d(5 2),d(5 2),..., d(5 2)中奇数个奇次项，又d(5 2)< 3,i = 1,2,..., m •故5 2,5 2,..., 5 2 中1 2 m i 1 2 m的奇次项是一次项•而仅当5 2是正常三角形时，d(5 2)= 1，所以正常三角形有奇数 ii个.下证d(5 2)是奇数•事实上，d(5 2)是A2上0-1边上以0与1为端点的小区间的个 00数.当的这条0-1 边之内点为任何小三角形之顶时，，是奇数.当的这条边内有小三角形之顶时，由于标志是正常的，的则这种小三角形在的这条0-1 边上之端点标志位0或1•这时又有两种情况，(i)在这条0-1边上的小三角形顶皆标志0或皆标志1,则，(ii)在A2这条0-1边上的小三角形之顶点标0与标1都有时，我们把端点标 号一样的小区间收缩成一点，标号不变，则f的这条0-1边上的标号序列为0-1交 错列010101…01,这里出现奇数个以0, 1为端点的小区间，故d(52)为奇数•证毕. 0定理 2.1.2 (Brouwer)f是A 2到自己的连续映射，则存在p' eA 2，使f (p') = p'.0 0 0证：p , p , p是A2的三个顶点，则对任意p eA 2，可以写成0 1 2 2p = a p + a p + a p，则a > 0，乙a = 1，其中的p, p , p , p是一维向量，且0 0 1 1 2 2 i i 0 1 2p = (a ,a ,a ), f (p) = (a',a',a').令S = l(a ,a ,a )1 (a ,a ,a ) eA2,a > ai = 0,1,2 j.0 1 2 0 1 2 i 012 012 i i如果能证出 SQSQS制，则存在(a , a , a ) e S QS QS，且善 11 l J 0 1 2 0I I 11 1 2a' < a , i = 0,1,2 ； 又 乙 a'=乙 a = 1，故必有 a' = a , a' = a , a' = a，即 f 有不动点.i i i i 0 0 1 12 2下证n s打•事实上=0考虑氓2的正常标志的三角形剖分，使得标志i的每个顶点属于 S 0,1,2. A2上任意一点 p = (a ,a ,a ),f (p) = (a',a',a')时，存在一个S，使i 0 1 2 0 1 2 ip e S，且a > 0 ；否则当每个a > 0时，a' > a .于是为a' >工a，矛盾•若一个三i i i i i i ii=0i=0角形顶点p e S且a > 0时，p标志以i，这种标志是正常标志，例如A2的顶点 iip (i = 0,1,2)有a = 1，故p e S，标成i ；在A2的p p边上各点的a = 0，我们只i i i i 0 1 2能把这边上的点标以 0 或 1； p p 边上的点同理只能标志 0 或 2； p p 上的点只能 0 2 1 2标志 1 或 2，故正常标志.由引理知，至少有一个正常三角形，其中顶点分别属于S ,S ,S •我们是剖分无限变 012密，且小三角形中的最大直径足够小，则有分别在S ,S ,S中的三个点，两两相距 0 1 2可以任意小，又f是连续的，故s ,s ,s是闭集•于是，s Qs Qs .证毕.0 1 2 ol I 11 I 22.2 Brouwer 不动点定理的初等证明2.2.1 基本概念与引理定义2・2・1・1设E是一线性空间，其一切子集构成的集族记为2E.子集A u E称为有限闭的，若它与每一有限维平面Lu E的交按L上的Eucild拓扑是闭的；一 个集族｛a ｝称为有限交性质，如果它的每一有限子集的交不空.九Xey定义2・2・1.2设E是一线性空间，X是E上的任意子集，称G: X T 2e是一 个 KKM 映像，如果对任何有限子集｛X1, X2,...Xm ｝u X，有:}u[2l G (xQi=1引理2・2・1・3设集合X u Rn非空,的，即有：则距离函数 d(x) = inf ||x- y| 是 LipschitzyeX||d(x) -d(y)| < ||x- y||Vx, y g Rn2.2.2利用Banach不动点定理证明KKM定理定理 2.2.2.1(Banach 不动点定理)有限维空间中有界闭凸集上的连续自映射必有不动点．定理 2.2.2.2(KKM 定理)设E是一线性空间，X是E的子集，G: X T 2e是一 KKM映像•如果对于任何 xg X，G(x)是有限闭的，则集族｛G(x) I x g x｝具有有限交性质.证：反证法•假设存在｛xi,x2,...xm｝u X使得仃G(xi) =e •设L是由｛x1, x2 ,...xm ｝张成的有限维平面，d是上的Eucild1的度量•令D =co (1, x2,...xm 则DuL・由假定每个i = 1,2,...m,L「|G(xi)在L中闭，故d(x,L「|G(xi)) = 0的充分 必要条件是x g L「|G(xi)・定义函数： 九(x) = £ d(x,L「|G(xi))由于p|G(xi) =0，故对于每一x g D，X(x) >0•由引理1知：i=10 (x)-九(y )| < n||xVx, y g D-y|l不妨设D包含原点，否则用D --£ Xi代替D即可•令: mi=1f (x)= 近 d (x, L G(xi))xi Vx g D必(x) i=1 1 '式中，t > 1是待定参数•则f : D T D连续，且对任意x, y g D，有：乞d (y‘LnG (xi)) xi-tih £ d (x，LnG (xi)) x,||i=1 i=1艺 d(x,厶P|G(xi))xi - 迟 d(x,厶门G(Xi-))x/面对式(3)右端两项分别进行估计.首先由引理 1．对任意 x, ygD ，有另d(y,jLPlG(xi))x/ -另d(x,LC\G(xi))xi||i=1 i=1<丄处(y。