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基础—综合—能力—创新《三角函数》基础知识1.任意角(或旋转角)的定义:1)任意角的分类 2)象限角的定义:3)象限角的分类 4)与角终边相同的角的集合表示:5)各个象限的范围用集合或区间表示:6)轴线角的表示:7)判断任意角所在的象限的方法:2.角度制与弧度制:各自对和弧度的规定是怎样的?1)角度制的定义:2)弧度制的定义:3.弧度的计算公式:(表示弧长所对应弧度数的绝对值)4.弧度与角度的换算:1);; 2);5.两种制度下的弧长,扇形周长与面积公式:1)半径为,圆心角为的扇形:弧长 扇形周长扇形面积2)半径为,圆心角为的扇形:弧长 扇形周长扇形面积说明:常常利用面积与半径的二次函数关系求面积的最大值或最小值6.任意角的三角函数的定义及其内在关系:1)设是角终边上任意一点,则定义:正弦 余弦 正切注意:⑴三角函数的符号法则:“一全正,二s(ine)正,三t(an)正,四c(os)正”2)同角三角函数的基本关系式:⑴平方关系: ⑵商数关系: ⑶倒数关系:以上关系式中只有 是无条件成立的,其余都有条件限制的。

其中关系式⑶即倒数关系,常用于“切化弦”或“弦化切”3)利用单位圆说明下列关系式对应的角所属的范围:⑴由即得⑵由即得⑶由得⑷由得7.正弦,余弦的诱导公式:,理解口诀:“奇变偶不变,符号看象限”1)型: 2)型: 3)型: 4)型: 5)型: 6)型: 7)型: 8)型: 9)型: 说明:⑴以上三角函数后接的角度中若含有的奇数倍(如),则函数名称要改变(正弦变余弦,余弦变正弦),符号由角度所在的象限决定(把看作锐角);若含有的偶数倍(如),则函数名称不改变,符号由角度所在的象限决定(把看作锐角)⑵求任意角的三角函数值的问题,实质就是通过诱导公式将任意角三角函数值转化为锐角三角函数值来求.具体步骤:“负角化正角→大角化小角→小角化锐角→求值”8. 和、差、倍、半角公式:1)两角和差公式: 以上四个公式中 以上两个公式中2)二倍角公式:在和角公式中当时,得到一组新的公式,叫做二倍角公式. (有三个变式)(以上两个公式中) (以上公式中)说明:⑴二倍角公式不仅仅只限于是的二倍的形式,比如是的二倍;是的二倍;是的二倍;是的二倍;是的二倍等.所有这些都可以用二倍角公式来表示.因此要灵活理解“二倍角”的含义,只要时,即凡是与满足二倍关系,就可以应用二倍角公式.并注意“倍角”的意义是相对的.⑵要熟悉“倍角”与“二次”的关系:升角→降次;降角→升次⑶要特别注意公式的变形表达:①由的公式可得(降次公式)②由可得③运用的公式可以写一系列的变形式: 补充变形: 3)半角公式:由上面的公式③可以推导下列公式:(公式正负号的选择由的象限来决定) 另注:半角的正切公式,也称“差上不差下”公式.即,体现变形4)万能公式:体现单角与半角的关系. 9.三角函数化简变换求值应注意的问题:1)倍角公式有升幂与降幂的功能.若升幂,则角度减半;若降幂,则角加倍.具体根据条件灵活选用.2)熟练进行三角变换的前提是公式的“顺用、逆用、变用”.3)站在整体的高度从“角度间的关系、函数的次数、函数名称差异、式子结构特征…”等方面入手,多角度多侧面尝试寻找突破口和切入点.尤其注意一些特殊值的妙用,如“的妙用”;;还比如“”“”等的妙用. 下面略举几例: 4)重视角度之间关系:配凑角度,拆角,拼角,即一个角变成两个角的和或者差.下面略举几例: 5)常见的公式变形:⑴和差化积公式: 填完,并要求了解. ⑵特别注意可以和韦达定理等发生联系的公式: 10.正弦、余弦、正切函数:1)正弦、余弦、正切三个函数的性质:解析式定义域值域零值点周期增区间减区间对称轴对称中心2)以以上的性质为基础,借助单位圆、三角函数图象来求等形式的三角函数的定义域、值域、零点、最值点、单调区间等.3)求复杂三基函数值域的常用方法:⑴利用的有界性;⑵换元法;⑶转化为二次函数式来求4)设,求下列复合函数的最小正周期:的最小正周期是 ,的最小正周期是 ,的最小正周期是 .5)设,求下列复合函数取零值的集合:使时值的集合是 ,使时值的集合是 ,使时值的集合是 .6)设,下列复合函数增减区间的求法:增区间的求法:减区间的求法:增区间的求法:减区间的求法:增区间的求法:思考:若以上每个后面都加个呢?7)设,下列复合函数的对称轴方程的求法:的对称轴方程的求法:的对称轴方程的求法:思考:若以上每个后面都加个呢?8)设,下列复合函数的对称中心的求法:的对称中心的求法:的对称中心的求法:的对称中心的求法:思考:若以上每个后面都加个呢?9)对于常见形式的处理:转化称这种形式再来求最值,周期,单调性。

11.三角函数图像的变换规律技巧:函数的图象经变换得到的图象的步骤如下:方法一:先平移再伸缩 ⇓ ⇓ ⇓ 方法二:先伸缩再平移 ⇓ ⇓ ⇓特别注意此处的平移量. 特别提醒注意:先平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位,而先周期变换(伸缩变换)再平移变换,平移的量是个单位.12.由y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象求其解析式的问题,常从以下四个方面来考虑:①A的确定:根据图象的最高点和最低点,即A＝;②k的确定:根据图象的最高点和最低点,即k＝;③ω的确定:结合图象与轴交点,最高点,最低点的横坐标,求周期T,由T＝ (ω>0)来求ω;④φ的确定:由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－(即令ωx＋φ＝0,x＝－)确定φ.13.在范围内,三者之间的大小关系:当时,当时,当时,当时,4詹老师的数学资料。