奈维-斯托克斯方程.pdf

一、牛顿型流体的运动方程X 分量：)(3)(Du222222zu yuxu xzu yu xu xpXDzyxxxxxY 分量：)(3)(Du222222 y zu yuxu yzuyuxuypYDzyxyyyZ 分量：)(3)(Du222222 z zuyuxuzzuyuxuzpZDzyxzzz将以上 3 式写成向量形式，为)(31D2uuupDBf上式称为牛顿型流体的运动方程，或奈维-斯托克斯方程该方程对稳态或非稳态流动、可压缩或不可压缩流体、理想或实际流体均适用但需指出，本构方程是针对牛顿型流体而言的，故该方程仅适用于牛顿型流体二、对奈维 -斯托克斯方程的分析1、方程组的可解性对于等温流动（=常数） ，方程中共有 5 个未知量，即 ux，uy，uz，p，而方程也有 5 个，原则上讲，奈维 -斯托克斯方程是可以直接用数学方法求解的但事实上，到目前为止，还无法讲奈维-斯托克斯方程普遍解求出其原因是方程的非线性以及边界条件的复杂性，只有针对某些特定的简单情况才可能求得其解析解2、初始条件与边界条件对于具体流动问题，在求解运动方程时需给定一定的初始条件及边界条件初始条件系指=0 时，在所考虑的问题中给出下述条件：z)y(x，，uu，z)y(x，，pp边界条件的形式很多，下面仅列出3 种最常见的边界条件。

1）静止固面：在静止固面上，由于流体具有黏性，u=0 （2）运动固面：在运动固面上，流体应满足u流=u固（3）自由表面：自由表面指一个流动的液体暴露于气体中的部分界面在自由表面上应满足0iip ，0ij（i，j=x，y，z）上式表明，在自由表面上法向应力分量在数值上等于气体的压力，而剪应力分量等于零3、关于重力项的处理由第一章关于流体静力学的讨论可知，对于不可压缩流体的流动可得到下列方程：xpXs1ypYs1zpZs1式中sp为流体的静压力将上述三个式子代入不可压缩流体的奈维-斯托克斯方程，可得：)()(1222222zu yu xu xpp DDuxxxsx)()(1222222zuyuxuyppDDuyyysy)()(1222222zu yu xu zpp DDuzzzsz令 Pd 称为流体的动力压力，简称动压力它是流体流动所需要的压力)(1222222zuyuxuxpDDuxxxdx)(1222222d zuyuxuypDDuyyyy)(1222222 d zuyuxuzpDDuzzzz写成向量形式为uu21DD dp上述方程中是以动压力梯度表示的运动方程，式中将不出现重力项 从物理意义上讲，如果是从流体流动的压力中减去静压力则得到动压力，而后者仅与流体的运动速度有关。

引入动压力可以使方程中不出现重力项，从而使方程的求解变得容易 但这并不意味着重力在任何情况下都不对速度发生影响，因为在求解的时候， 除了方程还必须考虑边界条件 在此必须区别两种情况：（1）如果边界条件中只含速度而不含压力则引入式sdppp0后，对边界条件不发生任何影响，此时重力同样不出现在动力条件中 由此可以确信， 在这种情形下重立项的存在除对压力发生作用产生静压力外，不再对其他物理量包括速度u产生任何效应2）如果边界条件出现压力，则引入sdppp0之后， 原来不包含 g 的边界条件中将出现g，重力通过边界条件又出现了，它仍将对速度起作用例如在自由表面上，满足0pp的条件，其中0p为大气压，，经过变换后使边界条件sdppp0变得更加复杂通过上述讨论可知， 只有在所述问题的边界条件中仅含速度时，采用以动压力梯度表示的运动方程求解才有效 通常封闭通道中的流体流动问题可采用此方程求解，而有自由表面的流动情况用此式是不适宜的最后应该指出，以动压力梯度表示的动力学方程式仅适用于不可压缩流体。