2005考研数学一真题及答案.pdf

2005 考研数学一真题及答案一、填空题 此题共6 小题，每题4 分，总分值24 分. 把答案填在题中横线上1 曲线122xxy斜渐近线方程为 _. 2微分方程xxyyxln2满足91) 1(y解为 . _. 3 设 函 数181261),(222zyxzyxu， 单 位 向 量 1 , 1 ,131n， 那 么)3,2,1(nu=._. 4 设是由锥面22yxz与半球面222yxRz围成空间区域，是整个边界外侧，那么zdxdyydzdxxdydz_. 5设321,均为 3维列向量，记矩阵),(321A，)93,42,(321321321B，假如1A，那么B . 6从数 1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X,2, 1中任取一个数，记为Y, 那么2YP=_. 二、选择题 此题共8 小题，每题4 分，总分值32 分. 每题给出四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前字母填在题后括号内7设函数nnnxxf31lim)(，那么 f(x)在),(内(A) 处处可导 . (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. 8 设 F(x) 是连续函数f(x) 一个原函数，NM表示 “M充分必要条件是N，那么必有(A)F(x) 是偶函数f(x)是奇函数 . B F(x) 是奇函数f(x)是偶函数 . (C) F(x)是周期函数f(x)是周期函数 . (D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数 . 9设函数yxyxdttyxyxyxu)()()(),(, 其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，那么必有(A) 2222yuxu. B2222yuxu. (C) 222yuyxu. (D) 222xuyxu. 10设有三元方程1lnxzeyzxy，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)一个邻域，在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数隐函数z=z(x,y). (B)可确定两个具有连续偏导数隐函数x=x(y,z)和 z=z(x,y). (C)可确定两个具有连续偏导数隐函数y=y(x,z)和 z=z(x,y). (D)可 确 定 两 个 具 有 连 续 偏 导 数 隐 函 数x=x(y,z)和y=y(x,z). 11 设21,是矩阵 A两个不同特征值，对应特征向量分别为21,， 那么1，)(21A线性无关充分必要条件是(A) 01. (B) 02. (C) 01. (D) 02. 12设 A为 n2n阶可逆矩阵，交换A第 1 行与第 2 行得矩阵B, *,BA分别为 A,B 伴随矩阵，那么(A)交换*A第 1 列与第 2 列得*B. (B) 交换*A第 1 行与第 2 行得*B. (C) 交换*A第 1 列与第 2 列得*B. (D) 交换*A第 1 行与第 2 行得*B. 13设二维随机变量(X,Y) 概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 随机事件0 X与 1YX互相独立，那么(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1 (C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 14设)2(,21nXXXn为来自总体N(0,1) 简单随机样本，X为样本均值，2S为样本方差，那么(A)1 ,0( NXn (B) ).(22nnS(C) )1()1(ntSXn (D) ).1, 1 () 1(2221nFXXnnii 三 、解答题此题共9 小题，总分值94 分. 解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 此题总分值11 分设0,0,2),(22yxyxyxD，122yx表示不超过221yx最大整数 . 计算二重积分Ddxdyyxxy.12216 此题总分值12 分求幂级数121)12(11()1(nnnxnn收敛区间与和函数f(x). 17 此题总分值11 分如图，曲线C方程为y=f(x)，点(3,2)是它一个拐点，直线1l与2l分别是曲线C在点(0,0) 与(3,2)处切线，其交点为(2,4). 设函数f(x) 具有三阶连续导数，计算定积分302.)()(dxxfxx18 此题总分值12 分函数 f(x)在0 ，1 上连续，在 (0,1) 内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：I 存在),1 ,0(使得1)(f；II 存在两个不同点)1 ,0(,，使得.1)()(ff19 此题总分值12 分设函数)(y具有连续导数，在围绕原点任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分Lyxxydydxy4222)(值恒为同一常数. I 证明： 对右半平面x0 内任意分段光滑简单闭曲线C， 有022)(42Cyxxydydxy；II 求函数)(y表达式 . 20 此题总分值9 分二次型21232221321)1 (22)1 ()1(),(xxaxxaxaxxxf秩为 2. I 求 a 值；II 求正交变换Qyx，把),(321xxxf化成标准形；III 求方程),(321xxxf=0 解 . 21 此题总分值9 分3 阶矩阵 A第一行是cbacba,),(不全为零，矩阵kB63642321 k 为常数，且AB=O, 求线性方程组Ax=0 通解 . 22 此题总分值9 分设二维随机变量(X,Y) 概率密度为.,20, 10, 0, 1),(其他xyxyxf求： I (X,Y)边缘概率密度)(),(yfxfYX；II YXZ2概率密度).(zfZ23 此题总分值9 分设)2(,21nXXXn为来自总体N(0,1) 简单随机样本，X为样本均值，记., 2, 1,niXXYii求： I iY方差niDYi,2, 1,；II 1Y与nY协方差).,(1nYYCov参考答案一、填空题 此题共6 小题，每题4 分，总分值24 分. 把答案填在题中横线上1 曲线122xxy斜渐近线方程为.4121xy【分析 】此题属基此题型，直接用斜渐近线方程公式进展计算即可. 【详解 】因为 a=212lim)(lim22xxxxxfxx，41)12(2lim)(limxxaxxfbxx，于是所求斜渐近线方程为.4121xy2微分方程xxyyxln2满足91) 1(y解为.91ln31xxxy. 【分析 】直接套用一阶线性微分方程)()(xQyxPy通解公式：)()()(CdxexQeydxxPdxxP，再由初始条件确定任意常数即可. 【详解 】 原方程等价为xyxyln2，于是通解为ln1ln2222CxdxxxCdxexeydxxdxx=2191ln31xCxxx，由91) 1(y得 C=0，故所求解为.91ln31xxxy 3 设 函 数181261),(222zyxzyxu， 单 位 向 量 1 , 1 ,131n， 那 么)3,2,1(nu=33. 【分析 】 函数 u(x,y,z)沿单位向量cos,cos,cosn 方向导数为：coscoscoszuyuxunu因此，此题直接用上述公式即可. 【详解 】因为3xxu，6yyu，9zzu，于是所求方向导数为)3,2,1(nu=.333131313131314 设是由锥面22yxz与半球面222yxRz围成空间区域，是整个边界外侧，那么zdxdyydzdxxdydz3)221(2R. 【分析 】此题是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面或柱面坐标进展计算即可. 【详解 】zdxdyydzdxxdydzdxdydz3 =.)221 (2sin33200402RdddR5设321,均为 3维列向量，记矩阵),(321A，)93,42,(321321321B，假如1A，那么B 2 . 【分析 】 将 B写成用 A右乘另一矩阵形式，再用方阵相乘行列式性质进展计算即可. 【详解 】由题设，有)93,42,(321321321B =941321111),(321，于是有.221941321111AB6从数 1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X,2, 1中任取一个数，记为Y, 那么2YP= 4813 . 【分析 】 此题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验各种两两互不相容结果即为完备事件组或样本空间划分. 【详解 】2YP= 12 1XYPXP+ 22 2XYPXP + 32 3XYPXP+ 42 4XYPXP =.4813)4131210(41二、选择题 此题共8 小题，每题4 分，总分值32 分. 每题给出四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前字母填在题后括号内7设函数nnnxxf31lim)(，那么 f(x)在),(内(A) 处处可导 . (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰 有 两 个 不 可 导 点 . (D) 至 少 有 三 个 不 可 导 点 . C 【分析 】 先求出 f(x) 表达式，再讨论其可导情形. 【详解 】当1x时，11lim)(3nnnxxf；当1x时，111lim)(nnxf；当1x时，.)11(lim)(3133xxxxfnnn即.1, 11, 1,1,)(33xxxxxxf可见 f(x)仅在 x=1时不可导，故应选(C). 8 设 F(x) 是连续函数f(x) 一个原函数，NM表示 “M充分必要条件是N，那么必有(B)F(x) 是偶函数f(x)是奇函数 . B F(x) 是奇函数f(x)是偶函数 . (C) F(x)是周期函数f(x)是周期函数 . (D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数. A 【分析 】 此题可直接推证，但最简便方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解 】方法一：任一原函数可表示为xCdttfxF0)()(，且).()(xfxF当 F(x) 为偶函数时， 有)()(xFxF，于是)()1()(xFxF，即)()(xfxf，也即)()(xfxf，可见 f(x)为奇函数； 反过来， 假设 f(x)为奇函数， 那么xdttf0)(为偶函数，从而xCdttfxF0)()(为偶函数，可见(A) 为正确选项 . 方法二：令 f(x)=1, 那么取 F(x)=x+1, 排除 (B) 、 (C); 令 f(x)=x, 那么取 F(x)=221x, 排除 (D); 故应选 (A). 9设函数yxyxdttyxyxyxu)()()(),(, 其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，那么必有 (A) 2222yuxu. B2222yuxu. (C) 222yuyxu. (D) 222xuyxu. B 【分析 】先分别求出22xu、22yu、yxu2，再比拟答案即可. 【详解 】因为)()()()(yxyxyxyxxu，)()()()(yxyxyxyxyu，于是)()()()(22yxyxyxyxxu，)()()()(2yxyxyxyxyxu，)()()()(22yxyxyxyxyu，可见有2222yuxu，应选 (B).10设有三元方程1lnxzeyzxy，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)一个邻域，在此邻域内该方程(E)只能确定一个具有连续偏导数隐函数z=z(x,y). (F)可确定两个具有连续偏导数隐函数x=x(y,z)和 z=z(x,y). (G)可确定两个具有连续偏导数隐函数y=y(x,z)和 z=z(x,y). (H)可 确 定 两 个 具 有 连 续 偏 导 数 隐 函 数x=x(y,z)和y=y(x,z). D 【分析 】 此题考察隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=1lnxzeyzxy, 分别求出三个偏导数yxzFFF,， 再考虑在点 (0,1,1)处哪个偏导数不为0，那么可确定相应隐函数. 【详解 】 令 F(x,y,z)=1lnxzeyzxy, 那么zeyFxzx，yzxFy，xeyFxzzln，且2)1 ,1 ,0(xF，1)1 , 1 , 0(yF，0)1 , 1 ,0(zF. 由此可确定相应隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 故应选 (D).11 设21,是矩阵 A两个不同特征值，对应特征向量分别为21,， 那么1，)(21A线性无关充分必要条件是(A) 01. (B) 02. (C) 0。