空间曲面表面积.docx

空间曲面的表面积的题型与解法智轩一、计算曲面面积的系统解题方法1■如果曲面由显示函数z = f (x, y)给出s叫D 'xy)2dxdy內丿2■如果曲面有参数函数x = x(u, v); y = y(u, v); z = z(u, v)给出S = U ；EGDE=(x )2+(y )2+(z )2;G=(x )2+(y )2+(z )2;F =(x )2+(y )2+(z )2uu uu uu vv vv vv uv uv uv特别地：x = R sin 0 cos 申•对于球面坐标系 v y = R sin 0 sin 申 nJ EG _ F 2dudv = R 2 sin 0 d0 d 申z = R cos 0•若所求曲面S由极坐标方程r = r(0，T)决定，则引入球体坐标系Vy =x = r (0,9)sin 0 cos 9 r (0,9)sin 0 sin 9 z = r (0,9)cos 0n EG 一 F 2 dudv =+ r'2 )sin2 0 + r'2 - rd0d甲0 甲dxdy而使用第一类曲线积分3■对于柱面上的曲面面积一般不使用公式S = B*D xy设S为柱面f (x,y) = 0上介于曲线弧l和l之间的曲面片，且12z = z Vx, y 丿f (x, y ) = 0z = z Vx, y>J f (x, y ) = 0(x,y )-zi又设柱面f (x, y) = 0在xoy平面的准线l的方程可写成如下参数式 /: x = x(t), y = y (t), a < t < PS=lJ z (x, y1l — J z (x, y》l = JP z Cx(t), y (t))一 z Cx(t), y (t)) J x，(t) 2 + y (t) 2dtla,2 」 2 1 」叭」1_」二、曲面面积的题型与解法例 1】求包括在圆柱面C + y2 )=2a2xy之内的曲面x2 + y2 = 2az的侧面面积。

解：对于曲面 x 2 + y 2 = 2az=2a 2 xy n r2 = a 2 sin 2申1+(Qy ]2i、Qx丿dy )2+ ——dxdz =(比丿-dxdyxzxy+ x 2 + y 2 - dxdyD xy=4 d^n 血2, a 2 + r 2 - rdra 0 0a3 (1 + sin2(p)| - a3dQ4a 2 |\( . \ 兀 a 2= 4lcos Q + sin Q / dQ 3 o 33 5 3 = V(20 — 3兀)4a 2 2 兀 a 2x_ — ——【例2】柱面x2 + y2 = 2x被锥面z = Jx2 + y2割下部分的曲面面积解：由于对称性，本题所求锥面所围的柱面面积为第一象限的 4 倍，对于右半平面，柱面方程为y =l-(x —1)2 = \ 2x — x2，故有(在xoz平面投影，不能在xoy平面 投影)n1+所以所求的曲面面积为S = 4 jjdxdz = 4 jj dxdz2 x - x 2Dxz _ 卢=2x=4』1 dxj 2x dz = 4』1 x dx0 $2x - x2 0 0 2x - x2=4j1 乙dx * 二 > =4j1 2・(-2t)dt = 8J2C2-1)0 2 — x -'2 t另外，还可以求出柱面围的锥面面积如下：对于上半平面，锥面方程为z = \,：x2 + y2，故有(在xoy平面投影)dx丿所以所求的曲面面积为S = 2 B*(x-1)2 + y 2 =1dxdy = 2J2dxdy = 2J2 兀(x-1)2 + y2 =1例 3】求曲面 x 2 + y 2 = a 2 被平面x + z = 0, x- z = 0 (x > 0, y > 0)切除的那部分的面积。

解：对于准线平行于xoy平面的柱面，不能在xoy平面上投影，因为投影面积为零，故需要转化到其他坐标平面上如 xoz 的投影1+‘Oy、2+‘Oy )2(Ox丿(Oz丿dxdz = ff i'1 ++ 0 - dxdzD=fa dx fx a dz = fa dx = 2a 20 - x a 2 - x 2 0 a 2 - x 2D xz 2axx = rcos申【例 4】求螺旋面 < y = r sin 申 (0 < r < a, 0 <申< 2兀)的侧面面积 z = h申解：因为2=12= r2 + h2G =(竺］Ox Ox Qy Qy Qz Qz MF = • + • + • = 0Or O申 Or O申 Or O申nS= ff< EG - F 2 dudv = ff v r2 + h2 drd申 (切忌写成rdrd申)DKp=f2兀 d申 f %/r2 + h2 dr = 2兀】Jr2 + h20a + x/a 2 + h 2 =k a \； a 2 + h 2 + 兀 h 2 Inh解：x = r(9,9)sin 9 cos 9引入球体坐标系｛ y = r(9,9)sin9 sin 9z = r (9,9)cos 9(x2 + y2 + z2) = 2a2xy (a > 0)n r2 = a2 sin2 9 sin 2申cos2 2申r 2 = a2 cos29 sin2申, r 2 = a2 sin29 •9 申 sin 2申n S = JJEG - F2dudv = JJ jC2 +〈2 )sin2 9 + rS • rd9d申DD=4a 2 J 2 d申J 2 sin2 9 d9 =0 0 42 2【例6】求柱面x3 + y3 = 1被球面x2 + y2 + z2 = 1割下部分的曲面面积解：按照第一类曲线积分解法如下2 2 I x = COS3 9x 3 + y 3 = 1I y = sin3 9n dl =+ y,(t) 2 dt = 31 sin 9 cos 9 |d9,0 <9 < 2兀x = cos3 9 z = 0, l: s1 I y = sin3 9=Isin2 294I x = cos39s y=sin39 n z2 =1-cos69 -sin69 2x 2 + y 2 + z 2 = 1S = 8』2 sin 29 • 3sin 9 cos 9 d90 2=碍 Jlsin2 29d9 = 3 夬 J"2 f 1-cos49*90 0 k 2 丿【例7】 求以极坐标曲线L: |r 二 a (1 + cos 0 )为准线，母线平行于z轴的柱面被平面x + y 一 z + 2a = 0及z = 0截下的有限部分的面积。

解：对于本题，就可以按照第一类曲线积分解法如下r 二 a(1 + cos0)n dl = J r(0)0)+ r，(0)2 dt0二 2a cos -d0, 0 叫 2兀z 二 0, l: r 二 a (1 + cos1r 二 a(1 + cos0)n z 二 a (1 + cos 0 )cos0 + a (1 + cos 0)sin0 +2a z 二 r cos 0 + r sin 0 + 2a 2S = J汗0 二2a2J“0z:2a (1 + cos 0)cos 0 + a(1 + cos0)sin0 + 2a ]2acos二 d02Q 0 Q 0.° 0 q.q 0 0]°cos 0 cos — + cos2 0 cos — +sm 0 cos — + cos 0 sin 0 cos — + 2cos — d02 2 2 2 2 0 =2t—二 4a 2 卜cos 21 - 1)cos t + Geos 21 -1) cos t+sin 2t cos t + cos 2t sin 2t cos t dtcos 2t cos t + cos2 2t cos t+sin 2t cos t + cos 2t sin 2t cos t + 2cos t dtcos2tcost+cos22tcost+sin2tcost+cos2tsin2tcost ] dt 二4a2卜(20 -二 4a2 卜[sin 2t cos t + cos 2t sin 2t cos t ] dt二 4a 2dt一 2sin 2 t)(1 一 sin2 tt二 4a 2 J 兀0忑二 8a2J 2032a 254sin t 一 8sin31 + 4sin51 dt 4sin t 一 8sin31 + 4sin51 dt2 4 2二8a2 - 4一8x_ + 4x_x_3 5 3。