6、发现梯形 “交点线、交左线与交右线”及其“三线”原理.docx

发现梯形 “交点线、交左线与交右线”及其“三线”原理——————数学规律新发现——————撰寫：王 祥 王 珺 劉笑竹 王 默 王 宁以及王氏“家庭課堂”全體成員討論和撰寫 “交点线、交左线与交右线”及其“三线”原理及其验证题关键词：交点线（FE线）、交左线（FO线）、交右线（EO线一、交左战、交右线和交点线是王梯形“家庭课堂”预复习学校功课和分析、演算老师留给学生的数学“作业题”实践过程被发现：注：王梯形（自从王科委离休后，操纵“新梯形”写作之后，人们就喊王科委为王梯形家庭课堂”占用两节“家庭课堂”时间，答辩作业题实践中，我们从发现下列一式：原作业题：梯形ABCD，对角线互相垂直，AC＝9厘米，BD＝8厘米如下图：梯形面积＝（ ）平方厘米AD×BC÷（AD＋BC）＝FO如下列图②㈠～②㈡所示： 王梯形“家庭课堂”经过几个星期日下午的讨论、几何证题和演算被发现的！介绍如下：一、介绍梯形的交左线、交右线和交点线过梯形两条对角线交叉点O，画一条平行于下底直线：（1）向左至左腰F点，为；交左线，亦称FO线；（2）向右至右腰E点，为：交右线，亦称EO线；（3）左腰F至右腰E，为：交点线，亦称FE线。

交左线，交右线和交点线简称：梯形“三线”如下图③㈠～③㈣所示；三、梯形交左线、交右线和交点线一、交左线、交右线与交点线计算公式1、交左线＝2、交右线＝3、交右线＝×2详情请见：《北京科学技术文献出版社》 2009年6月出版的《数学趣探——梯形与鸡兔问题创新》389页：第十三章“梯形的交左线、交右线与交点线”以及将要出版的《数学规律新发现》下册第十九章和二十章二、交左线、交右线与交点线使用范围1、计算交左线、交右线与交点线2、计算梯形左翼和右翼3、几何证明题使用等三、交左线、交右线与交点线原理交左线、交右线和交点线是王梯形“家庭课堂”讨论和演算几何家庭作业补发现，证明：梯形，“交左线等于‘上下底积’除以‘上下底和’”（如下：） 注：交左线等于FO线；交右线等于EO线；交点线等于FE线，这三线与中位线，简称梯形四线一）推理：交左线等于“上下底积”除以“上下底和”二）证明：1、在下列梯形ABCD中：（1）延长AB到G，使DG＝BC连接GC2）过对角线交叉点O、平行于下底画直线：左侧至左腰F；右侧过右腰E顶于CG于K如下图所示：2、在上述梯形ABCG图里：（1）在上述梯形的△AFO与△ABC中。

如下：∵∠1＝∠2（同位角）；∠3＝∠4（内错角）；∠16（公共角），如下列梯形图：（2）在上述四边形ABCG里的△DOE与△DBC中：∵∠9＝∠10（同位角）；∠15＝∠14（同位角），∠12（公共角），如下列梯形图：（3）在上述梯形ABCG里的△DOE与△DCG中：① ∵上述△DCG的∠13＝上述△DOE的∠15是（内错角），△DOE∠9＝△DGC∠8（平行四边形DOKG的对角）、△GCD∠11＝△ODE∠12（内错角）,∴ 三角形DOE∽三角形DCG如下图：② 为了说的更清，在下列梯形ABCG中：首先，过E点沿OD且平等于OD，画直线至DG线上O（外O）点（就是把原O点移此）其次，可以看出，在平行四边形DOEO（外O）中：∠19＝∠9（平行四边形对角），∠18＝∠12（内错角），∠13＝∠15（内错角），ED（公用边）为一边三角相等 所以，DOE≌DEO（外O），故：∴三角形DEO（外O）∽三角形ECG如下梯形图所示： ③ 则有：（4）在上述梯形形ABCG里的△AOD与△ACG中：∵∠5＝∠11；（同位角）；∠7＝∠8（同位角）；∠17（公共角），如下列梯形图：3、已知，AD是上底，BC是下底，DG等于下底，AG等于“上下底和”（上底＋下底）。

∴则有：四组相似三角形等比排列如下所示： 4、∵它们各组相邻首尾相同，∴把它们成为一个等式如下所示：5、化简（把中间相同的分式删掉其一）如下所示： 6、上述既然是“全等式”，那么，摘取其中任何两项或两项以上，也必然相等如下所示：7、从上述等比式中有目的地选项，选第一和第二项：（三）结论：交左线（FO线）＝三、交左线＝上底×下底÷（上底＋下底）（一）推论：交左线等于“上下底积”除以“上下底和”二）证明：（同上述（二）题4节的等比中的7节1、选用上述：（二、题7节：∴FO线＝三）结论：交左线＝四、证明：交右线＝上底×下底÷（上底＋下底）一）推论：交右线等于“上下底积”除以“上下底和”二）证明：（同上述（二）题4节的等比中的7节1、选用上述：（二、题6节，重新组合如下：∴EO线＝三）结论：交右线＝五、证明：交点线＝上底×下底÷（上底＋下底）×2一）推论：交点线＝交左线＋交右线1、证明：（1）∵（1）交左线＝；（2）又∵（2）交右线＝；∴上述（1）式与（2）式，等号后相同，故，等号前也相等故：交左线＝交右线，（3）又∵交点线＝交左线＋交右线，∴FE线（交点线）＝＋＝×2（4）又∵FE线＝交左线＋交右线可知：交点线等于“二倍的‘上下底积’除以“上下底和”。

二）结论：交点线＝×2六、交点线、交左线和交右线演算和验证题（一）演算验证题1：有一梯形上底是5厘米下底是20厘米计算这个梯形的交左线1、选用交左线公式：验证交左线＝2、验证交左线，交左线等于：４（厘米）＝＝3、答：验证结果，这个梯形的交左线是4厘米二）演算验证题2：有一梯形上底是3厘米下底5厘米计算这个梯形的交右线1、选用公式：交右线＝2、计算交右线，交右线等于：1.875（厘米）＝＝3、答：这个梯形的交右线是厘米1.875厘米三）演算验证题3：有一梯形上底是7厘米下底9厘米计算这个梯形的交左线1、分析（1）在没有发现梯形交左线、交右线、交点线之前，是无法计算梯形三线的2）选用专用公式：交左线＝2、计算、计算交左线，交左线等于：（厘米）＝＝4、答：，这个梯形的交左线是厘米四）演算验证题4：有一梯形上底是7厘米下底9厘米计算这个梯形的交点线1、分析（1）这道题与以前三道题目不同，此题是验证FE线，就是说交点线比交左线大一倍，比交右线也大一倍2）选用公式：交点线＝×22、计算交点线，交点线等于：7.875（厘米）＝＝＝4、答：验证结果，这个梯形的交点线是7.875厘米五）演算验证题5：有一梯形上底是7厘米。

下底11厘米计算这个梯形的交左线、交右线和交点线1、分析（1）在没有发现梯形交左线、交右线、交点线之前，无法计算梯形FO线、EO线和FE线2）选用创新公式：① 交点线＝×2② 交左线＝③ 交右线＝2、计算（1）计算交左线，交左线等于：（厘米）＝＝2）计算交右线，交右线等于：（厘米）＝＝3）计算交点线，交点线等于：（厘米）＝×2＝×2＝3、验算（1）验算条件交左线加交左线等于交点线吗？ （2）验算算式＋＝＝＝ 是的，等于 交点线4、计算这个梯形的交左线是厘米，交右线是厘米，交点线是厘米七、计算公式整理一、交左线、交右线与交点线计算公式1、交左线＝2、交右线＝3、交左线＝交右线4、交点线＝交左线＋交右线5、交右线＝×2八、经过验证“交点线、交左线和交右线”成立、正确、完整和适用。