五节隐函数求导公式.ppt

第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式一、一个方程的情形二、方程组的情形一、隐函数存在定理简介隐函数：由方程所确定的函数.隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点 的某一邻域内具有连续偏导数，且 则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x)，它满足条件 ，并有 1.一个方程的情形例 验证方程在点能确定一个有连续导数、当时的隐函数解设则由定理1得：方程在点的某邻域内能确定一个有连续导数、当时的隐函数的某邻域内隐函数存在定理2 设函数的某一邻域内具有连续偏导数，且 ，则方程F(x,y,z)=0在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x,y)，它满足条件 并有(2)2、方程组的情形隐函数存在定理3 设F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v) 在 点 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又 且偏导数所组成的函数行列式[或称雅可比(Jacobi)式]：在点 不等于零，则的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 u=u(x,y)，v=v(x,y)，它们满足条件并有方程组(3)下面，总假设隐函数存在且可导， 在此前提下来讨论求隐函数的导数或偏导数的方法。

1、一个方程的情形(1)设该方程确定了函数:即等式两端同时对 x 求导, 得+= 0二、隐函数的求导法(2)设该方程确定了函数:即等式两端同时对 x 求偏导, 得+= 0+等式两端同时对 y 求偏导, 得+= 0+(3)设该方程确定了函数:即等式两端同时对 x 求偏导, 得+= 0+类似可得+解==例2 解 （1）设====（2）====注意2.方程组的情形设该方程组确定了方程组两端同时对 x 求导，得++++即++==设该方程组确定了:方程组两端同时对 x 求偏导，得++++即++++==同理, 方程组两边同时对 y 求偏导,可得++++即++++==例3 解+++=0+++=0即+=+=解得====例4 解+(= 0+= 0即+=+=+)解得====方法： 由可确定(*)式两边同时对 x 求偏导，可求得(*)式两边同时对 y 求偏导，可求得(*)又==，，例5在点(x ,y ,u, v)的某一邻域内能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的反函数 u=u (x , y )，v=v (x ,y)；例6 设函数x=x (u, v), y=y (u, v)在点(u,v)的某一邻域内连续且有连续偏导数，又(2)求反函数u=u (x ,y) ，v=v( x, y)对x , y的偏导数.由隐函数存在定理3，得(1)证在点(x ,y ,u, v)的某一邻域内能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 u=u (x , y )，v=v (x ,y) .它们是 x = x (u, v), y = y (u, v) 的反函数。

设方程组(#):(2) 解等式两边同时对 x 求偏导，得确定了函数 u=u(x,y)，v=v(x,y)即==作业P892, 4, 6, 7, 9, 10, 11。