湖州师范学院高等数学(微积分)竞赛试题答案-4页.pdf

2019 年湖州师范学院高等数学（微积分）竞赛试题答案（数学专业）一、计算题（每小题15 分，满分 60 分）1. 计算：2220sin)(cos112lim2xexxxxx解：),(082114422xxxx)(0811124422xxxx又)(023)(01 )(0211cos2222224xxxxxxexx，故2220sin)(cos112lim2xexxxxx121sin)(023)(081limsin1)(023)(081lim222244022222440 xxxxxxxxxxxxxxx2设2006) 1(limnnnn，试求,的值解：)1(nnn= )1(0)1(01(1)11(11nnnnnnnn，显然由条件知0，而,01,0,01,1,01,)1(0lim1nnnn因此有, 01且20061，故20061,200620053.求积分02cos1sindxxxx解：02cos1sindxxxx=202cos1sindxxxx+22cos1sindxxxx令tx，有20202222cos1sin)()(cos1)sin()(cos1sindttttdttttdxxxx=202022cos1sincos1sindxxxxdxxx所以02cos1sindxxxx=4|)(coscos1sin220202xarctgdxxx4计算二重积分Dyxdxdye,max(22，其中10, 10|),(yxyxD。

解：令22yx，得知直线 y=x 将 D 划分为两个区域： 1, 10| ),(,0, 10| ),(21yxxyxDxyxyxD于是，原式 =222122,max(,max(DyxDyxdxdyedxdye=2212DyDxdxdyedxdye=110100100102222edyyedxxedxedydyedxyxyyxx二、（本题满分20 分）设曲线)0,0(2xaaxy与21xy交于 A 点，过坐标原点 O 和 A 点的直线与曲线)0,0(2xaaxy围成一平面图形问a为何值时，该图形绕x 轴旋转一周所得旋转体积最大？最大体积是多少？解：当0 x时，由221xyaxy解得.1,11aayax故直线 OA 的方程为.1aaxy旋转体的体积aaadxxaaxaV1102524222)1(152)1(27)1(15)4(2aaadadV令, 0dadV并由0a得唯一的驻点 a=4.故 a=4 时旋转体的体积最大，且最大体积为187553251615225V三、（本题满分 20 分）计算曲线积分AMOxxdymyedxmyye)cos()sin(，其中 AMO 为由点 A(a,0)至点 O(0,0)的上半圆周axyx22。

解： 在 Ox 轴上连结 O(0,0)与点 A(a,0), 这样， 便构成了封闭的半圆形AmOA,且段 OA 上0)cos()sin(OAxxdymyedxmyye从而AmOOAAmOAAmO另一方面，利用格林公式可得axyxAmOAxxmamdxdyAdymyedxmyye228)cos()sin(2于是8)cos()sin(2madymyedxmyyeAMOxx四、 （本题满分 20 分）设函数)(xf在0， 1上可导，且0)(2)1 (210dxxxff，试证明存在)1 ,0(，使得)()(ff证明：令)()(xxfxF，则有)()(2)()(2) 1()1(,0)0(210210FfdxfdxxxffFF其中)21,0(，在 1,上用罗尔定理知)1 ,(，使得0)(F，即0)()(ff，所以)()(ff五、 （本题满分 15 分）设函数)(xf在a，b上连续，且 f(a)=0，试证明：babadxxfabdxxf222)(2)()(证明：因为222)()()()(xadttfafxfxf（柯西不等式）baxadttfaxaxdttf22)()()()(所以babababadxxfabdttfaxdxxf2222)(2)()()()(。

六、 （本题满分 15分）判别级数pnn12|1sin|收敛的条件并证明，其中p0解：因为1sin2n=)1sin() 1(1sincos)1(22nnnnnnnnn1sin)1(2所以ppnnn|1sin|1sin|22，因为1)1()1(sinlim22ppnnnnn，所以pnn12|1sin|的敛散性与12|1|npnn的敛散性相同，即与11npn的敛散性一致所以当1p时收敛，当1p时发散。