偏导数概念及其计算.ppt

一、一、 偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算一、一、 偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法引例引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 ,就是中的 x 固定于 x0 处,求一阶导数与二阶导数.关于 t 的将振幅定义定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意注意:同样可定义对 y 的偏导数若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x则该偏导数称为偏导函数, 也简称为偏导数偏导数 , 记为或 y 偏导数存在 ,例如例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .偏导数定义为(请自己写出)二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线对 y 轴的函数在某点各偏导数都存在,显然例如例如, ,注意：注意：但在该点不一定连续不一定连续.上节例 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!例例1 . 求解法解法1解法解法2在点(1 , 2) 处的偏导数.先求后代先代后求例例2. 设证证:例例3. 求的偏导数 . 解解:求证偏导数记号是一个例例4. 已知理想气体的状态方程求证:证证:说明说明:(R 为常数) , 不能看作分子与分母的商 !此例表明,整体记号,二、高阶偏导数二、高阶偏导数设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶偏导数为例例5. 求函数解解 :注意注意: :此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及 例如例如,二者不等例例6. 证明函数满足拉普拉斯证：证：利用对称性 , 有方程则定理定理.例如例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,说明说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续连续时, 有而初等(证明略) 证明 内容小结内容小结1. 偏导数的概念及有关结论• 定义; 记号; 几何意义• 函数在一点偏导数存在函数在此点连续• 混合偏导数连续与求导顺序无关2. 偏导数的计算方法• 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义• 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)思考与练习思考与练习解答提示: P129 题 5P129 题 5 , 6即 x＝y＝0 时,P129 题6(1)(2)作业作业P68 1（4）,（6）,（8）； 3； 5； 6（3）； 7； 8； 9（2）第三节 备用题备用题 设方程确定 u 是 x , y 的函数 ,连续, 且求解解:。