二次函数典型例题解析与习题训练(共11页).doc

二次函数一、知识点梳理1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.2.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.二次函数a>0a<0 y 0 x y 0 x （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，3.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴以及最值，通常选择顶点式. 求抛物线的顶点、对称轴的方法：， ∴顶点是，对称轴是直线. （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式： 抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故4.抛物线中，的作用（1） 决定开口方向及开口大小： >0，开口向上；<0，开口向下；越大，开口越小 （2）和决定抛物线对称轴（左同右异）①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧. （3）决定抛物线与轴交点的位置. ①，抛物线经过原点； ②,与轴交于正半轴； ③,与轴交于负半轴. （4）决定抛物线与轴的交点个数 ①，有2个交点 ② 有1个交点； ③，无交点 二、例题解析 例1 已知：二次函数为y=x2－x+m（1） 写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2） m为何值时，顶点在x轴上方（3）若抛物线与y轴交于A，过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B，当S△AOB=4时，求此二次函数的解析式．【分析】（1）用配方法可以达到目的；（2）顶点在x轴的上方，即顶点的纵坐标为正；（3）AB∥x轴，A，B两点的纵坐标是相等的，从而可求出m的值．【解答】（1）∵由已知y=x2－x+m中，二次项系数a=1>0，∴开口向上， 又∵y=x2－x+m=[x2－x+（）2]－ +m=（x－）2+ ∴对称轴是直线x=，顶点坐标为（，）． （2）∵顶点在x轴上方， ∴顶点的纵坐标大于0，即>0 ∴m> ∴m>时，顶点在x轴上方． （3）令x=0，则y=m． 即抛物线y=x2－x+m与y轴交点的坐标是A（0，m）． ∵AB∥x轴 ∴B点的纵坐标为m． 当x2－x+m=m时，解得x1=0，x2=1． ∴A（0，m），B（1，m） 在Rt△BAO中，AB=1，OA=│m│． ∵S△AOB =OA·AB=4． ∴│m│·1=4，∴m=±8故所求二次函数的解析式为y=x2－x+8或y=x2－x－8．【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a，b，c的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处． 例2 已知：m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m0， 所以此函数的图像与x轴有两个不同的交点． 故图像经过A，B两点的二次函数为y=x2－mx－． （2）将A（－1，0）代入y=x2－mx－． 得1+m－=0． 整理，得m2－2m=0． 解得m=0或m=2． 当m=0时，y=x2－1．令y=0，得x2－1=0． 解这个方程，得x1=－1，x2=1． 此时，点B的坐标是B（1，0）． 当m=2时，y=x2－2x－3．令y=0，得x2－2x－3=0． 解这个方程，得x1=1，x2=3． 此时，点B的坐标是B（3，0）． （3）当m=0时，二次函数为y=x2－1，此函数的图像开口向上，对称轴为x=0，所以当x<0时，函数值y随x的增大而减小．当m=2时，二次函数为y=x2－2x－3=（x－1）2－4，此函数的图像开口向上，对称轴为x=1，所以当x<1时，函数值y随x的增大而减小．【点评】本题是一道关于二次函数与方程、不等式有关知识的综合题，但它仍然是反映函数图像上点的坐标与函数解析式间的关系，抓住问题的实质，灵活运用所学知识，这类综合题并不难解决．课堂习题一、填空题1．右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．2．已知抛物线y=a2+bx+c经过点A（－2，7），B（6，7），C（3，－8），则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是_______．3．已知二次函数y=－x2+2x+c2的对称轴和x轴相交于点（m，0），则m的值为______．4．若二次函数y=x2－4x+c的图像与x轴只有1个交点，则c=_______ 5．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，2）与（－1，4），则a+c的值是______．6．甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离s（m）与其距地面高度h（m）之间的关系式为h=－s2+s+．如下左图所示，已知球网AB距原点5m，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为m，设乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是______． 7． 二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为______．8．杭州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/m2）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8），已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如上右图），则6楼房子的价格为_____元/m2．二、选择题9．二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列关系式不正确的是（ ）A．a<0 B．abc>0 C．a+b+c<0 D．b2－4ac>0 (第9题) (第12题) (第15题)10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（－2，y1），N（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上，则下列结论中正确的是（ ） A．y1