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第六章第六章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识6-1 测量误差概述 测量误差测测量结结果不可避免地存在误误差！产生测量误差的原因1．测测量仪仪器2．观测观测 者3．外界条件观测观测 条件等精度观测观测非等精度观观测测测测量错误错误 (粗差)步步有检检核按影响性质分类1．系统误统误 差2．偶然误误差6-1 测量误差概述系统误差 在相同的观测观测 条件下作一系列观测观测 ，若误误差的大小及符号表现现出系统统性，或按一定的规规律变变化，那么这类误这类误 差称为为系统误统误 差水准仪仪的i角; 水准尺的零点差；水准尺的倾倾斜；…水平角观测观测 中的2C; 竖竖直角观测观测 中的x; …钢钢尺量距中的尺长误长误 差; 温度影响；垂曲； 定线线不准；拉力不准；…处处理办办法?1. 检检校仪仪器，把系统误统误 差降低到最小程度2. 加改正数，在观测结观测结 果中加入系统误统误 差改正数3.采用适当的观测观测 方法，使系统误统误 差相互抵消或减弱 6-1 测量误差概述系统误差偶然误差 在相同的观测观测 条件下作一系列观测观测 ，若误误差的大小及符号都表现现出偶然性，这类误这类误 差称为为偶然误误差或随机误误差。

就单单个偶然误误差而言，其大小和符号都没有规规律性，呈现现出随机性，但就其总总体而言却呈现现出一定的统计规统计规 律性,而且,随着观测观测 次数的增加,偶然误误差的统计规统计规 律愈加明显显 例如： 对对358个三角形在相同的观测观测 条件下观测观测 了全部内角，三角形内角和的误误差 ( =三角形内角测测量值值-180º ） 其结结果如表5-1，图图5-1, 分析三角形内角和的误误差i的规规律6-1 测量误差概述偶然误差表6-1 偶然误差的统计 误差区间 负误差 正误差 总数 Δ " K K/n K K/n K K/n 0~3 450.126 46 0.128 91 0.254 3~6 400.112 41 0.115 81 0.226 6~9 330.092 33 0.092 66 0.184 9~12 230.064 21 0.059 44 0.123 12~15 170.047 16 0.045 33 0.092 15~18130.036 13 0.036 26 0.073 18~21 60.017 5 0.014 11 0.031 21~24 40.011 2 0.006 6 0.017 24以上 0 0 0 0 0 0 Σ 181 0.505 177 0.495 358 1.000 5-1 测量误差概述偶然误差偶然误误差的统计统计 特征1.有限性：在有限次观测观测 中，偶然误误差小于一定的限值值。

2.渐渐降性：误误差小的出现现的概率大 3.对对称性：绝对值绝对值 相等的正负误负误 差出现现的概率相等4.抵偿偿性：当观测观测 次数无限增大时时，偶然误误差的平均值趋值趋 于零5-1 测量误差概述偶然误差6 -24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24 X= K/n 频频率直方图图5-1 测量误差概述偶然误差 当n∞，Δ0时时，频频率直方图图上部的折线变线变 成了一条光滑的曲线线，称为为正态态分布密度曲线线或高斯曲线线高斯根据偶然误误差的四个特性推导导出该该曲线线的方程式为为：式中σ为为与观测观测 条件有关的参数6-2 评定精度的标准 怎样样来衡量一组组等精度观测值观测值 的精度？ 频频率直方图图能否用一个简单简单 的数字来反映误误差分布情况？平均误差方差标准偏差（中误差） 当n有限时时，所求均为为估值值，测测量中常用 m 来表示σ的估值值，并称之为为中误误差6-2 评定精度的标准按观测值观测值 的真误误差计计算中误误差次序第一组观测第二组观测观测值lΔΔ2观测值lΔΔ21180°00ˊ03"+39180°00ˊ00"002180°00ˊ02"+24179°59ˊ59"-113179°59ˊ58"-24180°00ˊ07"+7494179°59ˊ56"-416180°00ˊ02"+245180°00ˊ01"+11180°00ˊ01"+116180°00ˊ00"00179°59ˊ59"-117180°00ˊ04"+416179°59ˊ52"-8648179°59ˊ57"-39180°00ˊ00"009179°59ˊ58"-24179°59ˊ57"-3910180°00ˊ03"+39180°00ˊ01"+11Σ|| 2472 24130 6-2 评定精度的标准6-2 评定精度的标准中误差相对误差 例：用钢钢卷尺丈量200m和40m两段距离，量距的中误误差都是±2cm，但不能认为认为 两者的精度是相同的 为为此，可用观测值观测值 的中误误差与观测值观测值 之比的形式（称为为“相对误对误 差”）来描述观测观测 的质质量，K = |m|/D ＝ 1／(D/|m|)前者的相对对中误误差为为 K1=0.02／200 ＝ 1／10000后者则为则为 K2=0.02／40 ＝ l／2000   6-2 评定精度的标准中误差相对误差极限误差 在一定的观测观测 条件下，偶然误误差的绝对值绝对值 不会超过过一定限值值，这这个限值值就是极限误误差Δ限=3σ≈3m偶然误误差的容许值许值 : |Δ容|=2σ≈2m6-3 误差传播定理 未知量不可能直接观测观测 ，但是一些直接观测观测 量的函数，怎样计样计 算观测值观测值 函数的中误误差？和差函数的中误差设设有：Z=X±Y则则有：ΔZ=ΔX±ΔY 设设想对对X,Y都进进行了n次观测观测 ，则则有：平方求和得：[ΔZ2]=[ΔX2]± 2[ΔXΔY]+[ΔY2]即： mZ2 = mX2 + mY2=〉 若有： Z=X1±X2±…±Xn则： mZ2 = mX12 + mX22 + … + mXn26-3 误差传播定理和差函数的中误差例1：水准测测量时时，一站的高差为为 h=a-bmh2= ma2 + mb2 , 设设ma=ma=1mm, 则则: mh=1.4mm两次高差之差（变仪变仪 器高或双面尺法）Δ=h1-h2则则: mΔ2= mh12 + mh22 ,mΔ=2mm。

综综合取mΔ=3mm  Δ限=2mΔ =6mm例2：求闭闭合水准测测量路线线的闭闭合差fh容∑h=h1+ h2 +…+ hn则： m∑ h2 = mh12 + mh22 + … + mhn2设设每一测测站的观测观测 条件相同，测测站中误误差为为m=6mm则： m∑ h2 = nm2 ; 6-3 误差传播定理和差函数的中误差倍数函数的中误差设设有：Z=kX则则有：ΔZ=kΔX即： mZ2 = k2mX2  mZ= kmXnnXkZXkZXkZ===L22116-3 误差传播定理和差函数的中误差倍数函数的中误差线性函数的中误差设设有： Z=k1X1± k2X2 ±…± knXn则则有： mZ2 = k12mX12 + k22mX22 + … + kn2mXn2 例3：距离丈量，独立的进进行了n次，一次丈量的中误误差为为m，求算术术平均值值的中误误差M6-3 误差传播定理一般函数的中误差设设有： Z = F (x1，x2 ，… ，xn ）6-3 误差传播定理一般函数的中误差 例4：测测距三角高程h=S·sinV，S=1000m±5mm,V=10º±30”,求高差h的中误误差mh解： h=S·sinV 则则有 dh=sinV·dS+S·cosV·dV=12.0mm6-4 等精度直接观测值的最可靠值 设对设对 某未知量进进行了一组组等精度观测观测 ，其真值为值为 X，其观测值观测值 分别为别为 l1 ，l2 ，… ，ln ，相应应的真误误差为为Δ1 ，Δ2 ，… ，Δn ，则则根据偶然误误差的第四特征，有 当n有限时时，通常取算术术平均值值作为为等精度观测值观测值 的最可靠值值6-4 等精度直接观测值的最可靠值算术平均值 结论结论 ：一组组等精度观测值观测值 的改正数之和一定为为零，即[v]=0观测值的改正数 我们们把算术术平均值值与观测值观测值 之差，定义观测值义观测值 的改正数 vi=L-li6-4 等精度直接观测值的最可靠值算术平均值观测值的改正数用观测值的改正数来计算观测值的中误差Δi=li-Xvi=L-liΔi+vi=L-X=〉Δi=(L-X)-vi平方后求和得：[ΔΔ]=n(L-X)2-2(L-X)[v]+[vv]6-4 等精度直接观测值的最可靠值次序观测值观测值 l改正数vvv1123.457-5252123.450+243123.453-114123.449+395123.451+11L=123.4520406-5 权 权的概念现现有三组观测值组观测值 ，均为为等精度观观测测A组组： 123.34, 123.39, 123.35； LA=123.360 B组组： 123.31, 123.30, 123.39, 123.32; LB=123.333 C组组： 123.34, 123.38, 123.35, 123.39, 123.32; LC=123.356 6-5 权权的概念显显然有：观测值观测值 LA, LB, LC的权权分别为别为 pA, pB, pC权权只有相对对意义义6-5 权权的概念权与中误差的关系 设设每次丈量的中误误差为为m，则则可以用误误差传传播定理求出每组组平均值值的中误误差同理：权权与中误误差的平方成反比 ! 把权权等于1的中误误差叫单单位权权中误误差,常用m0或μ来表示5-5 权权的概念权与中误差的关系加权算术平均值及其中误差 设对设对 某一未知量进进行了n次非等精度观测观测 ,观测观测值为值为 l1, l2,… ,ln,其相应应的权为权为 p1, p2,… ,pn,则该则该 未知量的最可靠值值便是该观测值该观测值 的加权权算术术平均值值本章作业 教材第103页页思考题题3、7题题习题习题 1、3题题。