广东省揭阳市第三中学高中数学选修2-2：14生活中的优化问题举例（第2课时）.docx

揭阳第三中学教案表课题1・4生活中的优化问题举例（第2课时）课型 新授课教学目标1. 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作 用；2. 提高将实际问题转化为数学问题的能力重占 难点教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题.教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题.教具准备多媒体课时安排1教学过程与教学内容教学方法、教学手段与学法、学情教学过程：一.典例分析例1・汽油的使用效率何时最高我们知道，汽油的消耗量w （单位：L）与汽车的速度卩（单位：km/h）之间有一 定的关系，汽油的消耗量w是汽车速度V的函数.根据你的生活经验，思考下面两个问 题：（1） 是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？（2） “汽油的使用率最高”的含•义是什么？分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比 值•如果用G表示每千米平均的汽油消耗量，那么G = -,其中，w表示汽油消耗量（单S位：L）, s表示汽油行驶的路程（单位：km）.这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”， 就是求G的最小值的问题・・通过大量的统计数据，并对•数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度v （单 位：km/h）之间有如图所示的函数关系g = /（v）.从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题.因此，我们首先需要将问题转化为 汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度卩（单 位：km/h）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问 题.w解：因为 G二兰二丄=$5 Vt这样，问题就转化为求g的最小值.从图象上看，g表示经过原点与曲线上点的直线的 V V斜率.进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小.在此切点处速度约为90^777 /2. 因此，当汽车行驶距离一定时，耍使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小, 此时的车速约为90km/h・从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即 广（90）,约为 L.例2.在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折 起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容 积是多少？解法-・・设箱底边长为和，则箱髙"驾L得箱子容积V(x) = x2h =血 7 (0 < % < 60).Vz(x) = 60x 一 —— (0 < x < 60)3r2令 V\X) = 60x =0,解得 x二0 (舍去)，x二40,2并求得 V (40)=16 000由题意可知，当x过小(接近0)或过大(接近60)吋，箱子容积很小，因此，16 000 是最大值.答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3解法二：设箱高为xcm,则箱底长为(60-2^) cm,则得箱子容积V(x) = (60-2x)2x(0S = 6欣2 =>6欣？ = 2/iRh + 2ttR2 n h = 2R・二.课堂练习有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城 相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每 千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？【解】设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为兀千米，总费用为y元，则 CD = 7%2 +402 ・y =500 （50—x） +7Oo7x2 + 16OO= 25000-500 x +7OoVx2+16OO ,] -丄=-500+700 ・-（x2+1600） 2 - 2x= -500+700兀J/ + 1600令）/ =0,解得兀50V63答；水厂距甲距离为5。

警千米时，总费用最省.【点评】当要求的最大（小）值的变量歹与儿个变量相关时，我们总是先设儿个变量中的一 个为兀，然后再根据条件X来表示其他变量，并写Hi y的函数表达式/（X）.三. 回顾总结1. 利用导数解决优化问题的基本思路：2. 解决优化问题的方法：通过搜集大量的统汁数据，建立与其相应的数学模型，再通 过研究相应函数的性质，提岀优化方案，使问题得到解决.在这个过程中，导数往往是 一个有利的工具四. 布置作业板书教学反思。