历考研数学三真题及详细答案解析-50页.pdf

2 0 1 2年 全 国 硕 士 研 究 生 入 学 统 一 考 试数学三试题选择题： 18 小题，每小题4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）曲线221xxyx渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （2） 设函数2( )(1)(2)xxnxf xeeen（- ）， 其中 n 为正整数，则(0)f=（）（A）1( 1)(1)!nn（B）( 1) (1)!nn（C）1( 1)!nn（D）( 1)!nn（3）设函数( )f t连续，则二次积分22202cos()df rrdr=（）（A）2224222202()xx xdxxy f xydy（B）22242202()xx xdxf xydy（C）2222220214()2xdxxy f xydyxx（D）22220214()2xdxf xydyxx（4）已知级数11( 1)sinninn绝对收敛，21( 1)nin条件收敛，则范围为（）（A）012（B）12 1 （C）132（D）320a） 求L的方程；（）当L与直线yax所围成平面图形的面积为83时，确定a的值。

19） （本题满分10 分）求幂级数1211121nnnxnn的收敛域及和函数( )s x20） （本题满分13 分）设 4 维向量组TTT12341,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,aaaT4,4,4,4a问a为何值时1234,线性相关？当1234,线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出21） （本题满分13 分）设 3 阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3， 向量TT121,2,1,0, 1,1是线性方程组0Ax的两个解求A的特征值与特征向量；（）求正交矩阵Q和对角矩阵,使得TQ AQ；（）求A及632AE，其中E为 3 阶单位矩阵22） （本题满分13 分）设随机变量X的概率密度为1, 1021,0240,Xxfxx其他，令2,YXF x y为二维随机变量(,)X Y的分布函数求Y的概率密度Yfy；（）Cov(,)X Y；（）1,42F23） （本题满分13 分）设总体X的概率密度为,01,;1,12,0,xfxx其他,其中是未知参数01，12n,.,XXX为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值12,.,nx xx中小于 1 的个数。

求的矩估计；（）求的最大似然估计2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共6 小题，每小题4 分，满分24 分 .请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 极限22limsin1xxxx_. (2) 微分方程0 xyy满足初始条件12y的特解为 _. (3) 设二元函数1 ln 1xyzxexy，则1,0dz_. (4) 设行 向量 组2,1,1,1 , 2,1, , 3,2,1, 4,3,2,1a aa线 性 相关 ， 且1a， 则a_. (5) 从数1,2,3, 4中任取一个数，记为X，再从1, XL中任取一个数，记为Y，则2P Y_. (6) 设二维随机变量,X Y的概率分布为XY0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 若随机事件0X与1XY相互独立，则a_，b_. 二、选择题：本题共8 小题，每小题4 分，满分24 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (7) 当a取下列哪个值时，函数322912fxxxxa恰有两个不同的零点. （A）2 （B ）4 （C）6 （ D ）8 (8) 设2222222123cos,cos,cosDDDIxy dIxydIxyd，其中22,1Dx yxy，则（A）321III（B ）123III（C）213III（D）312III(9) 设0,1,2,nanL若1nna发散，111nnna收敛，则下列结论正确的是（A）211nna收敛，21nna发散（B）21nna收敛，211nna发散（C）2121nnnaa收敛（D）2121nnnaa收敛(10) 设sincosfxxxx，下列命题中正确的是（A）0f是极大值，2f是极小值（B）0f是极小值，2f是极大值（C）0f是极大值，2f也是极大值（D）0f是极小值，2f也是极小值(11) 以下四个命题中，正确的是（A）若fx在0,1内连续，则fx在0,1内有界（B）若fx在0,1内连续，则fx在0,1内有界（C）若fx在0,1内有界，则fx在0,1内有界（D）若fx在0,1内有界，则fx在0,1内有界(12) 设矩阵3 3ijAa满足*TAA， 其中*A为A的伴随矩阵，TA为A的转置矩阵 . 若111213,aaa为三个相等的正数，则11a为（A）33（B）3 （ C）13（D）3(13) 设12,是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,，则112,A线性无关的充分必要条件是（A）10（B）20（C）10（D）20(14) （注：该题已经不在数三考纲范围内）三、解答题：本题共9 小题，满分94 分 . 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15） （本题满分8 分）求011lim1xxxex. （16） （本题满分8 分）设f u具有二阶连续导数，且,yxg x yfyfxy，求222222ggxyxy. （17） （本题满分9 分）计算二重积分221Dxyd，其中,01,01Dx yxy. （18） （本题满分9 分）求幂级数211121nnxn在区间1,1内的和函数S x. （19） （本题满分8 分）设,fxg x在0,1上的导数连续，且00,0,0ffxgx. 证明：对任何0,1，有1001ag x fx dxfx gx dxfa g（20） （本题满分13 分）已知齐次线性方程组（）123123123230,2350,0,xxxxxxxxax和（）12321230,210,xbxcxxb xcx同解，求, ,a b c的值 . （21） （本题满分13 分）设TACDCB为正定矩阵， 其中,A B分别为 m阶，n 阶对称矩阵，C为mn阶矩阵. （）计算TP DP，其中1mnEA CPOE；（）利用（）的结果判断矩阵1TBC A C是否为正定矩阵，并证明你的结论. （22） （本题满分13 分）设二维随机变量,X Y的概率密度为0,01,02 ,1,xyxfx y其它.求：（）,X Y的边缘概率密度,XYfxfy；（）2ZXY的概率密度Zfz；（）1122P YX. （23） （本题满分13 分）设12,2nXXXnL为来自总体20,N的简单随机样本，其样本均值为X，记,1,2,iiYXX inL. （）求iY的方差,1,2,iDY inL；（）求1Y与nY的协方差1,nCov Y Y；（）若21nc YY是2的无偏估计量，求常数c. 2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共6 小题，每小题4 分，满分24 分 .请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 若0sinlimcos5xxxxbea，则a_，b_. (2) 函数,f u v由关系式,fxg yyxg y确定，其中函数g y可微，且0g y，则2fu v_. (3) 设211,2211,2xxexfxx则2121fxdx_. (4) 二次型222123122331,fx xxxxxxxx的秩为 _. (5) 设随机变量X服从参数为的指数分布，则P XDX_. (6) 设 总 体X服 从 正 态 分 布21,N， 总 体Y服 从 正 态 分 布22,N，112,nXXXL和212,nY YYL分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则122211122nnijijXXYYEnn_. 二、选择题：本题共8 小题，每小题4 分，满分24 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (7) 函数2sin212xxfxx xx在下列哪个区间内有界. （A）1,0（B）0,1（C）1,2（D）2,3(8)设fx在,内有定义，且limxfxa，1,0,0,0,fxg xxx则（A）0 x必是g x的第一类间断点（B）0 x必是g x的第二类间断点（C）0 x必是g x的连续点（D）g x在点0 x处的连续性与a的值有关. (9)设1fxxx，则（A）0 x是fx的极值点，但0,0不是曲线yfx的拐点（B）0 x不是fx的极值点，但0,0是曲线yfx的拐点（C）0 x是fx的极值点，且0,0是曲线yfx的拐点（D）0 x不是fx的极值点，0,0也不是曲线yfx的拐点(10)设有以下命题： 若2121nnnuu收敛，则1nnu收敛 若1nnu收敛，则10001nnu收敛 若1lim1nnnuu，则1nnu发散 若1nnnuv收敛，则1nna，1nnv都收敛则以上命题中正确的是（A）（B）（C ）（D）(11)设fx在, a b上连续，且0,0fafb，则下列结论中错误的是（A）至少存在一点0,xa b，使得0fxfa（B）至少存在一点0,xa b，使得0f xf b（C）至少存在一点0,xa b，使得00fx（D）至少存在一点0,xa b，使得00fx(12)设 n 阶矩阵A与B等价，则必有（A）当0Aa a时，Ba（ B）当0Aa a时，Ba（C）当0A时，0B（ D）当0A时，0B(13)设 n 阶矩阵A的伴随矩阵*0A，若1234,是非齐次线性方程组Axb的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0Ax的基础解系（A）不存在（B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有三个线性无关的解向量(14)设 随 机 变 量X服 从 正 态 分 布0,1N， 对 给 定 的0,1， 数nu满 足P Xu，若PXx，则x等于（A）2u（B）12u（C）12u（D）1u三、解答题：本题共9 小题，满分94 分 . 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15） （本题满分8 分）求22201coslimsinxxxx. （16） （本题满分8 分）求22Dxyy d，其中D是由圆224xy和2211xy所围成的平面区域（如图） . （17） （本题满分8 分）设,fxg x在,a b上连续，且满足xxaaf t dtg t dt，,xa b，bbaaft dtg t dt证明：bbaaxfx dxxg x dx. （18） （本题满分9 分）设某商品的需求函数为1005QP，其中价格0,20P，Q为需求量 . （）求需求量对价格的弹性0ddEE；（）推导1ddRQEdP（其中R为收益），并用弹性dE说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. （19） （本题满分9 分）设级数4682 42 4 62 4 6 8xxxxL的和函数为S x. 求：（）S x所满足的一阶微分方程；（）S x的表达式 . （20） （本题满分13 分）设1231,2,0,1,2,3,1,2,2TTTaabab，1,3, 3T. 试讨论当,a b为何值时，（）不能由123,线性表示；（）可由123,唯一地线性表示，并求出表示式；（）可由123,线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式. （21） （本题满分13 分）设 n 阶矩阵111bbbbAbbLLMMML. （）求A的特征值和特征向量；（）求可逆矩阵P，使得1P AP为对角矩阵 . （22） （本题满分13 分）设,A B为 两 个 随 机 事 件 ， 且111,432P AP B AP A B， 令1,0,.AXA发生，不发生1,0,.BYB发生，不发生求：（）二维随机变量,X Y的概率分布；（）X与Y的相关系数XY；（）22ZXY的概率分布 . （23） （本题满分13 分）设随机变量X的分布函数为1,;,0,.xF xxx其中参数0,1. 设12,nXXXL为来。