(文章)三角形在旋转中的应用.doc

三角形在旋转中的应用三角形在旋转中的应用翻阅近年来的全国各地的中考试卷，利用三角板为背景设计的旋转试题随处可见，不 少省市还以此作为综合题或压轴题，这类问题既考查了同学们的综合运用知识的能力，又 考查了同学们的动手、创新的能力，确实是一类好题，为了方便同学们的学习和赏阅，先 以 2007 年全国部分省市的中考试题为例举例说明. 例 1（扬州市）用等腰直角三角板画∠AOB＝45°，并将三角板沿 OB 方向平移到如图 1 所示的虚线处后绕点 M 逆时针方向旋转 22°，则三角板的斜边与射线 OA 的夹角 α 为 _____°. 简析 在三角板没有旋转时 α 为 0°，当三角板旋转 22°的时候，利用三角形的一个外 角等于和它不相邻的两个内角的和可知∠AOB+α＝∠AMB，即 α＝22°. 说明 事实上，本题中有这样一个结论 α 等于旋转角，这是因为∠AOB＝45°.例 2（聊城市）如图 2，一块等腰直角的三角板 ABC，在水平桌面上绕点 C 按顺时针 方向旋转到 A′B′C 的位置，使 A，C，B′三点共线，那么旋转角度的大小为 .简析 要求旋转角度的大小，事实上，只要求∠ACA′或∠BCB′的大小.所以要使 A，C，B′三点共线，那么旋转角度为 135°.说明 抓住三角板的角的大小是求解问题的关键. 例 3（成都市）如图 3，将一块斜边长为 12cm，∠B＝60°的直角三角板 ABC，绕点 C 沿逆时针方向旋转 90°至△A′B′C′的位置，再沿 CB 向右平移，使点 B′刚好落在斜边 AB 上， 那么此三角板向右平移的距离是 cm. 简析 如图 3 中的△A″B″C″是三角板 ABC 旋转与平移后的三角形，由于斜边AB＝12cm，∠B＝60°，则可以求出 BC＝6cm，再由勾股定理求得 AC＝6cm.在 Rt△3B″C″B 中，设 BC″＝x，由于∠B＝60°，所以 BB″＝2x，因为 B″C″＝6，所以由勾股定理，得(2x)2＝x2+62， 解得 x＝2，所以 C′C″＝6－2，即此三角板向右平移的距离是33(6－2) cm.3说明 同学们知道，直角三角板的边和角之间都存在着特殊的关系，求解时一定要充 分运用这些隐含条件，并能灵活运用勾股定理求解.OMBA22°α图 1BACA′B′图 2ABA′C（C′ ）B′图 3B″C″A″→ACBED（甲） 图 4E′ACBO FD′（乙）P例 9（德阳市）如图 4，把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°， ∠A＝45°，∠D＝30°，斜边 AB＝6cm，DC＝7cm，把三角板 DCE 绕点 C 顺时针旋转 15°得 到△D′CE′如图乙．这时 AB 与 CD′相交于点 O，D′E′与 AB 相交于点 F. （1）求∠OFE′的度数； （2）求线段 AD′的长. （3）若把三角形 D′CE′绕着点 C 顺时针再旋转 30°得△D″CE″，这时点 B 在△D″CE″ 的内部、外部、还是边上？证明你的判断. 简析（1）因为∠BCE′＝15°，∠E′＝90°，∠BPF＝∠CPE′，所以∠BPF＝75°，又因为∠B＝45°，所以∠OFE′＝∠B+∠BPF＝45°+75°＝120°.（2）连结 AD′.因为∠OFE′＝120°， 所以∠D′FO＝60°，又因为∠CD′E′＝30°，所以∠BOC＝90°.又因为 AC＝BC，AB＝6，所以OA＝OB＝3，因为∠ACB＝90°，所以 CO＝AB＝3.又因为 CD′＝7，所以1 2OD′＝CD′－OC＝7－3＝4.在 Rt△AD′O 中，由勾股定理，得 AD′＝＝22OAOD＝5.（3）点 B 在△D″CE″内部.理由如下：设 BC（或延长线）交 D″E″于点 B′.因2234为∠B′CE″＝15°+30°＝45°，在 Rt△B′CE″中，由勾股定理，得 CB′＝CE″＝，又27 2 2因为 CB＝3＜，即 CB＜CB′，所以点 B 在△D″CE″内部.27 2 2说明 本题是一道利用手中的一副三角板为背景设计的题目，求解时一定要了解这一 副三角板的特性，使求解难度降低.通过求解我们还可以看出，一副三角板通过适当的操作 能变换出许多精彩的中考数学试题，近两年的中考就频频出现此类问题，同学们一定要留 意.下面几道试题供同学们自己练习： 1， （荆州市）如图 5，直角三角板 ABC 中，∠A＝30°，BC＝3㎝，将直角三角板 ABC 绕着直角顶点 C 按顺时针方向旋转 90°至△A1B1C1的位置，在沿 CB 向左平移使点 B1落在△ ABC 的斜边 AB 上，点 A1平移到 A2位置，则点 A 由 A→A1→A2运动的路径长度为 （结果用带 π 和根号的式子表示）. 2， （临沂市）如图 6，已知△ABC 中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含 30°角的 三角板 DEF 的直角顶点 D 放在 AC 的中点上（直角三角板的短直角边为 DE，长直角边为 DF） ，将直角三角板 DEF 绕 D 点按逆时针方向旋转.图 6MA DCBEFN ③MADCBEFN②NFEBCDAM①A2B1A1CBA图 5（1）在图①中，DE 交 AB 于 M，DF 交 BC 于 N.①试说明 DM＝DN；②在这一过程 中，直角三角板 DEF 与△ABC 的重叠部分为四边形 DMBN，请说明四边形 DMBN 的面积 是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积； （2）继续旋转至图②的位置，延长 AB 交 DE 于 M，延长 BC 交 DF 于 N，DM＝DN 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； ⑶继续旋转至图③的位置，延长 FD 交 BC 于 N，延长 ED 交 AB 于 M，DM＝DN 是否 仍然成立？若成立，请给出写出结论，不用说理. 3， （河北省）在△ABC 中，AB＝AC，CG⊥BA 交 BA 的延长线于点 G.一等腰直角三角 尺按如图 7 所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 F，一条直角边与 AC 边在一条直线 上，另一条直角边恰好经过点 B. （1）在图 7 中请你通过观察、测量 BF 与 CG 的长度，猜想并写出BF 与 CG 满足的数 量关系，然后说明你的猜想理由； （2）当三角尺沿AC 方向平移到图8 所示的位置时， 一条直角边仍与 AC 边在同一直线 上，另一条直角边交 BC 边于点 D，过点 D 作 DE⊥BA 于点 E．此时请你通过观察、测量 DE、DF 与 CG 的长度，猜想并写出 DE+DF 与 CG 之间满足的数量关系，然后说明你的猜 想理由； （3）当三角尺在（2）的基础上沿 AC 方向继续平移到图 9 所示的位置（点 F 段 AC 上，且点 F 与点 C 不重合）时， （2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）参考答案：1，.3 3332 2， （1）①证明:连结 DB.在 Rt△ABC 中，AB＝BC，AD＝DC.所以 DB＝DC＝AD，∠BDC＝90°，方法一：因为∠ABD＝∠C＝45°，所以∠MDB+∠BDN＝∠CDN+∠BDN＝90°，所以∠MDB＝∠NDC，所以△BMD 与△CND 能 够完全重合，所以 DM＝DN.方法二：所以∠A＝∠DBN＝45°.因为∠ADM+∠MDB＝∠BDN+∠MDB＝90°，所以∠ADM＝∠BDN，所以△ADM 与△BDN 能 够完全重合，所以 DM＝DN.②四边形 DMBN 的面积不发生变化.由①知△BMD 与△CND 能够完全，所以 S△BMD＝S△CND，所以 S四边形 DMBN＝S△DBN+S△DMB＝S△DBN+S△DNC＝S△DBC＝S△ABC＝.（2）DM＝DN 仍然成立，理由：连结 DB.在 Rt△ABC 中，1 21 4 AB＝BC，AD＝DC.所以 DB＝DC，∠BDC＝90°，所以∠DCB＝∠DBC＝45°，所以∠DBM＝∠DCN＝135°.因为∠NDC+∠CDM＝∠BDM+∠CDM＝90°，所以 ∠CDN＝∠BDM，所以△BMD 重合与△CND 能够完全重合，所以 DM＝DN.（3） DM＝DN. 3， （1）BF＝CG.理由：在△ABF 和△ACG 中，因为∠F＝∠G＝90°，ABCEFG图 8DABC DEFG图 9ABCFG图 7ABCEFGHD∠FAB＝∠GAC，AB＝AC，所以△ABF 与△ACG 能够完全重合，所以 BF＝CG.（2） DE+DF＝CG.理由：如图，过点D 作 DH⊥CG 于点H.所以四边形 EDHG 是长方形，所以 DE＝HG，DH∥BG．所以∠GBC＝∠HDC.因为 AB＝AC，所以∠FCD＝∠GBC＝∠HDC. 又因为∠F＝∠DHC＝90°，CD＝DC，所以△FDC 与△HCD 能够完全重合，所以 DF＝CH.即 GH+CH＝DE+DF＝CG，即 DE+DF＝CG.（3）仍然成立. 。