不定积分与定积分的各种计算方法.doc

泰山学院信息科学技术学院教案数值分析教研室课程名称高等数学研究授课对象授课题目第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法课时数2教学通过教学使学生掌握不定积分与定积分的各种计算方法目的重1 不定积分的概念点不定积分的计算2难点3 定积分的计算第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法1. 不定积分1.1不定积分的概念原函数；原函数的个数；原函数的存在性；定积分；一个重要的原函数1.2不定积分的计算教(1)裂项积分法； (2) 第一换元积分法； (3) 第二换元积分法学提(4)分部积分法纲2. 定积分(1) 基本积分法；(2) 分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数(3) 利用函数的奇偶性化简定积分(4) 一类定积分问题教教学过程与内容学后记第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法一、不定积分1 不定积分的概念原函数： 若在区间上 F (x)f (x) ，则称 F ( x) 是的一个原函数 .原函数的个数 : 若是在区间上的一个原函数, 则对，都是在区间上的原函数；若也是在区间上的原函数，则必有.可见，若，则的全体原函数所成集合为 {│Ｒ }.原函数的存在性 : 连续函数必有原函数 .不定积分： 的带有任意常数项的原函数称为 的不定积分。

记作 f ( x) dxf (x) 在区间上连续， aI ，则x一个重要的原函数：若f (t) dt 是的一个原函数a2 不定积分的计算(1) 裂项积分法x41x412dx(x212例 1：2dxx21x 2)dxx11x3x2 arctan xC 3例 2：dxcos2 xsin 2 xdx(csc 2 xsec2 x)dxcos2 x sin 2 xcos2x sin 2 x例 3：dx( x21)x2dxdxdx1arctan x C2 ( x21)x2 ( x21)x21x2xx(2) 第一换元积分法积分有一些不定积分， 将积分变量进行适当的变换后，cos2xdx ，如果凑上一个常数因子 2，使成为就可利用基本积分表求出积分例如， 求不定cos 2xdx12xdx11cos xcos2xd 2xsin 2x C222例 4：3dxdx2d x2arctanx Cx 1x2x211x例 5：dx1d 111d 1x2 1 x21 x2xx1x1x2221211112d112x1d 122xx11x1 12 12 x12 221C 1 Cxarctanxarctan xt xarctantdx例 6：dx22t2 dtx(1x)1 x12 arctan t d (arctan t )(arctgt ) 2c(arctgx ) 2c .(3) 第二换元积分法第二换元积分法用于解决被积函数带根式的不定积分，代换方法如下：被积函数包含 n axb , 处理方法是令 n ax bt,x1 (t nb) ;a被积函数包含a2x2 (a0) , 处理方法是令xsin t或x cost ;被积函数包含a 2x2 (a0) , 处理方法是令xtan t ;被积函数包含x 2a2 ( a0) , 处理方法是令xsect ;例 7：计算a2x2 dxa0【解】令 xasin t ,2t, 则 tarcsin x ,axa ，且2aa2x2a cost a cost,dxa costdt , 从而a22dxa cost .a costdt a2cos2 tdta21cos 2t dtx2=a2t1a2ta2=2sin 2tCsin t cost C由图 2.1222知sin txcosta2x2aa所以a2x2dxa2arcsin xa2xa2x2C2a2aa==a2xx22Carcsinax2a2例 8:dxt 6 x6t2dt6(1t )dt6dtx2x 31t1 t6 6 x1 3 x ln 1 6 xc .2(4) 分部积分法当积分f (x)dg (x)f (x)dg (x) 不好计算 ,但 g( x)df ( x) 容易计算时 ,使用分部积分公式f ( x) g( x) g( x)df (x) .常见能使用分部积分法的类型 ::(1) xn exdx ,x n sin xdx ,x ncos xdx 等 ,方法是把ex , sin x, cos x 移到d 后面 ,分部积分的目的是降低x 的次数(2) xnln mxdx ,xnarcsin mxdx ,xnarctanmxdx 等 ,方法是把移到d 后面 ,分部几分的目的是化去 ln x, arcsin x,arctan x.例 9:x2 ex dxx2 dexx2exex2xdxx2ex2xdx x2ex2( xexexdx)ex (x22x2) C例 10:ln 2x dxln xd11 ln x1 d ln xxxxx1 ln xdx1 (ln x1)Cxx2x例 11:(16x2 ) arctan xdxarctan xd( x2x3 )x2x3arctan xx2x3dx1x2x2x3arctan x2x1x2 dxxx2x3arctan x x2 1 ln 1 x2C2例 12:cos2xdxcos xd sin xcos x sin xsin 2xdx =cos x sin xxcos2xdx ，解得cos2xdxx1 sin 2xc .24例 13:sec3 xdxsecx sec2 xdxsecxdtgxsecxtgxtgx secxtgxdx=secxtgx(sec2 x1) secxdxsecxtgxsec3xdxsec xdx=secxtg。