机械制图点线面.ppt

第第 3 3 章章点点、、直线和平面的投影直线和平面的投影1.1.点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影一一. . 点的投影点的投影●投影面：投影面：V、、H、、W（互相垂直）（互相垂直）投影轴：投影轴：OX、、OY、、OZ（指示长、宽、高方向）（指示长、宽、高方向）●由空间点由空间点A分别向分别向V、、H、、W面进行投影面进行投影得正面投影得正面投影a’、、水平投影水平投影a、侧面投影、侧面投影a”●将三面投影展开摊在一个平面上，得三面投影图将三面投影展开摊在一个平面上，得三面投影图⒉⒉ 点的投影与点的直角坐标点的投影与点的直角坐标⒊⒊点的投影规律点的投影规律（投影关系）（投影关系）点点A→WA→W面面 ＝＝ X X坐标坐标 ＝＝ a’→ a’→OZOZ ＝＝ a→OY点点A→VA→V面面 ＝＝ Y Y坐标坐标 ＝＝ a→ a→OXOX ＝＝ a’’→ a’’→OZOZ点点A→HA→H面面 ＝＝ Z Z坐标坐标 ＝＝ a’→ a’→OXOX ＝＝ a”→ a”→OYOYXZyyyyxxxzzzxxzyzYyA (x,y,z)a (x,y,o)a’(x,o,z)a”(o,y,z)a’a            OX OX （长对正）（长对正）a’a” ”         OZ OZ （高平齐）（高平齐） a→OX＝＝a”→OZ （宽相等）（宽相等） 两投影连线垂直于投影轴两投影连线垂直于投影轴45°[例例]     作点作点A (30,50,50)、、B (70,20,0) 的三面投影，的三面投影，及其空间位置。

及其空间位置45°XZYHYW例：根据点的两面投影求第三投影例：根据点的两面投影求第三投影a"b'bb"45°g'g"c cc' c'c c" "a'ag3. 3. 3. 3. 特殊位置的点特殊位置的点特殊位置的点特殊位置的点 （重点讨论位于投影面上的点）（重点讨论位于投影面上的点）（重点讨论位于投影面上的点）（重点讨论位于投影面上的点）XOZYa  a  ab  b  bBAXZYYOa a  ab  bb  正面投影看正面投影看高低高低水平投影看水平投影看前后前后侧面投影看侧面投影看前后前后B B B B点在点在点在点在A A A A点的左后下方点的左后下方点的左后下方点的左后下方AB 指向左后下方指向左后下方4 4 两点的相对位置及重影点两点的相对位置及重影点d'dd"b'bb"a'aa"c' c'c cc c" "OXZYY(b)(d')重影点重影点重影点重影点点点A在在B的正上方，它们的水平投影重影，被挡者括住表示的正上方，它们的水平投影重影，被挡者括住表示点点C在在D的正前方，它们的正面投影重影的正前方，它们的正面投影重影当两点的某投影重影时，可从另外的两面投影上看出其先后位置。

当两点的某投影重影时，可从另外的两面投影上看出其先后位置例例:已知点已知点A在点在点B之前之前5，之上，之上9，之右，之右8，求点，求点A的投影a  a  a985 二二 直线的投影直线的投影• 直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置• 直线上的点直线上的点• 两直线的相对位置两直线的相对位置• 立体上直线的分析立体上直线的分析ABabααββγγb″a′′b′′ZXYa″″VHW● ● 直线的投影由两端点同名投影的连线确定直线的投影由两端点同名投影的连线确定a'abb'a"b"根据直线两端点的相对根据直线两端点的相对位置位置 判别判别ABAB的指向的指向( (方向方向) )正面投影看正面投影看高低高低水平投影看水平投影看前后前后侧面投影看侧面投影看前后前后V VWWHH         (1) (1) 一般位置直线一般位置直线 ZXa a aOYYb bb 投影特性投影特性：三个投影均倾斜于投影轴，三个投影均倾斜于投影轴， 均不反映实长、倾角均不反映实长、倾角. . . .ZYXABaba″″b″a′′b′′2. 2. 直线相对投影面的位置直线相对投影面的位置 水平线水平线 直线平行于直线平行于H H面，倾斜于面，倾斜于V V、、W W面。

面正平线正平线直线平行于直线平行于V V面，倾斜于面，倾斜于H H、、W W面侧平线侧平线 直线平行于直线平行于W W面，倾斜面，倾斜于于于于H H H H、、、、V V V V面b aa b ba ba aa b b b a aba b (2) (2) 投影面平行线投影面平行线 XZYOa b a b  Xa  b  a b  OzYY abAB水平线水平线ba  α= AB∠∠ Hβ = AB∠∠ Vγ = AB∠∠ W投投 影影特特性性1. 1. 在所平行的投影面上在所平行的投影面上, ,反映实长反映实长, , 并反映与相邻投影面的倾角；并反映与相邻投影面的倾角；2. 2. 另二投影平行于相应的投影轴另二投影平行于相应的投影轴Xa b baOZYYa b     XZYO  ABaa b a b b正平线正平线XZOYYa  b  bab a   XZYO  ABaa  b  a  b b侧平线侧平线铅垂线铅垂线直线垂直于直线垂直于H H面，平行于面，平行于V V、、W W面。

面正正正正垂线垂线直线垂直于直线垂直于V V面，平行于面，平行于H H、、W W面侧垂线侧垂线侧垂线侧垂线直线垂直于直线垂直于W W面，平行于面，平行于H H、、V V面●a (b )abb a ●c d c (d)c d ●e f efe  (f  )(3) (3) 投影面垂直线投影面垂直线 Zb  Xa  b a(b)OYYa OXZYABb  a(b)a  a b 投影特性投影特性在所垂直的投影面上，投影积聚成一点；在所垂直的投影面上，投影积聚成一点；另二投影垂直于相应投影轴，且反映实长另二投影垂直于相应投影轴，且反映实长铅铅垂线垂线b YzXa b  aOYa bOXZYABba b a b a正正垂线垂线OXZYABba a b ab ZXabbaOYHYWab侧侧垂线垂线2525XOZYHYWa'aa"30°b"b'b例题例题1例：过点例：过点例：过点例：过点A A A A向向向向右上方作一正平线右上方作一正平线右上方作一正平线右上方作一正平线AB,AB,AB,AB,使使使使其实长为其实长为其实长为其实长为25252525，与，与，与，与H H H H面的倾角面的倾角面的倾角面的倾角=30°=30°。

例题2例例例例: : : :根据直线的两投影判断其空间位置根据直线的两投影判断其空间位置根据直线的两投影判断其空间位置根据直线的两投影判断其空间位置. . . .XOg'gXOa'ab'bXOcd'dhh'O正平线正平线正平线正平线侧平线侧平线侧平线侧平线水平线水平线水平线水平线一般位置直线一般位置直线一般位置直线一般位置直线侧垂线侧垂线侧垂线侧垂线铅垂线铅垂线铅垂线铅垂线c'aa“ c'ZZOa'b'ba'b'd'b“ c“ d“ O侧平线侧平线侧平线侧平线一般线一般线一般线一般线一般线一般线一般线一般线水平线水平线水平线水平线正垂线正垂线正垂线正垂线正平线正平线正平线正平线c'Zd'c” d” a” ZOa'b'b” XOcd'dc'XOg’h’gha'b'a” b” ZOaa'b'ba′b′c′abcs′a″b″c″s″棱线分析棱线分析sSA ——SC ——AC ——一般位置线一般位置线侧平线侧平线水平线水平线 直线上点的投影特性直线上点的投影特性: :1 1、点的投影在直线的同面投影上、点的投影在直线的同面投影上( (从属关系不变从属关系不变) )。

2 2、点分割线段之比，投影后比值不变即：、点分割线段之比，投影后比值不变即： cAH HacaV VbBabcCbW W′′′″″″AC:CB=ac:cb= a c  : c b = a c  : c b 3. 3. 属于直线的点属于直线的点 cacX XabcY YY YbO OaZ Zb′″′′″″a'b'bak'k点点K K属于直线属于直线ABAB吗吗? ?例例1 1：判断点：判断点C C是否段是否段ABAB上②②c abca b ●●abca b c ①①●●在在不在不在a b ●c ●●aa b c b③③c不在不在应用定比定理应用定比定理另一判断法另一判断法? ?例例例例: : : : 在直线在直线在直线在直线ABABABAB上取一点上取一点上取一点上取一点C CC C，使其到，使其到，使其到，使其到V VV V面为面为面为面为20202020 ba b’a’ XOc’c20例例例例: : : : 在直线在直线在直线在直线EFEFEFEF上上上上找一点找一点找一点找一点K,K,K,K,使使使使E EE EK:KK:KK:KK:KF FF F= == =2 22 2: :: :3 33 3。

fe f ’e’ XOk’k例：已知点例：已知点K K段段ABAB上，求点上，求点K K的正面投影的正面投影解法一：解法一：（借助第三投影）（借助第三投影）解法二：解法二：（应用定比定理）（应用定比定理）●aa  b bka b●k●k ●aa b bk●●k ●XOBAbb aa k KkHVβXOVHb b a abΔΔYAB ABXOVHb b a abΔΔZ线段实长、倾角、投影、坐标差之间的几何关系线段实长、倾角、投影、坐标差之间的几何关系要记住这个图（随时能用两根杆模拟出来）要记住这个图（随时能用两根杆模拟出来） ⒊⒊ 一般位置直线的一般位置直线的倾角倾角和线段和线段实长实长        直角三角形中，三条边和一个倾角共四个参数，只要知直角三角形中，三条边和一个倾角共四个参数，只要知道任意两个，即可画出直角三角形，求得另两个参数道任意两个，即可画出直角三角形，求得另两个参数                直角三角形中直角三角形中直角三角形中直角三角形中, ,斜边为线段的实长斜边为线段的实长斜边为线段的实长斜边为线段的实长, ,两直角边分别为线两直角边分别为线两直角边分别为线两直角边分别为线段的投影及坐标差段的投影及坐标差段的投影及坐标差段的投影及坐标差. .△△XABab △△ZαABa''b''γABβ△△Ya'b'  ABXOVHb b a abΔΔZ ABabΔΔZ AB ABb bXab b a 直角三角形法直角三角形法===    分析：分析：欲求欲求α，只能借助直，只能借助直线与线与H面的几何关系。

面的几何关系例例1：已知线段投影，求线段的实长和倾角：已知线段投影，求线段的实长和倾角αβXOVHb b a abΔΔYb bXab b a ABOβABa b ΔΔY==AB=β例例2：求一般位置直线段的实长和倾角：求一般位置直线段的实长和倾角βΔΔY    分析：分析：欲求欲求β，只能借助直，只能借助直线与线与V面的几何关系面的几何关系aba′′b′′XOΔZΔZΔZΔZC C在在ABAB上量取上量取AC=25AC=25cc′′BA例例3: 在直线在直线AB上取一点上取一点C,使使AC=25,求点求点C的投影的投影.求投影长求投影长ac 例例4:4:已知直线已知直线ABAB的的V V投影，且投影，且β=30°β=30°，求，求ABAB的的H H投影a′′b′′ab△△Y Y△△Y Yββ分析：分析：⑴⑴ 直接求水平投影长，要直接求水平投影长，要用用α三角形，即直线与三角形，即直线与H面面的几何关系，只有高差的几何关系，只有高差△△Z一个条件，此路不通一个条件，此路不通要用要用β三角形，即直线与三角形，即直线与V面的几何关系，已知面的几何关系，已知a’b’及及β角，直角三角形可作出。

角，直角三角形可作出⑵⑵ 通过通过△△Y确定端点确定端点b    已知实长或倾角补投影，通常有两种方法，即直接求已知实长或倾角补投影，通常有两种方法，即直接求线段投影长或用坐标差确定线段另一端点，有时只有一线段投影长或用坐标差确定线段另一端点，有时只有一种方法（如本例）种方法（如本例） 例例5:5:已知直线已知直线ABAB的的V V投影，且投影，且AB=40AB=40，求，求ABAB的的H H投影R=40a′′b′′ab△△Y△△Y△△Z方法方法2：已知实长及：已知实长及△△Z，，画出画出α三角形确定三角形确定ab长长a bα方法方法1：用：用△△Y确定端点确定端点b（根据（根据a’b’及及40作作β三角形）三角形）40 例例6:6:已知直线已知直线ABAB的的V V投影，且投影，且α=30°α=30°，求，求ABAB的的H H投影a′′b′′abααΔZΔZH H投影投影长长以以H H投影长为投影长为半径画弧半径画弧ABAB真真长长方法：利用已知的方法：利用已知的α、、△△Z作三角形求水平投作三角形求水平投影长影长ab（仅一种方法）（仅一种方法）4.  两直线的相对位置两直线的相对位置⑴ ⑴ 两直线平行两直线平行bcdH HAdaCcV VaDbBacdbcdabO OX X投影特性投影特性同名投影平行同名投影平行 ab//cd a ab//cd a'b b'//c//c'd d' 且长度成比例且长度成比例 a’b’:c’d’ = ab:cd a’b’:c’d’ = ab:cd平行平行、、相交相交、、交叉（异面）交叉（异面）。

例：判断图中两条直线是否平行例：判断图中两条直线是否平行 对于一般位置直线，对于一般位置直线，只要有两组同名投影互只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就相平行，空间两直线就平行AB与与CD平行AB与与CD不平行 对于特殊位置直线，对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行，空间直线不一定平行a b c d cbadd b a c ②②b d c a ①①abcdc a b d ⑵ ⑵ 两直线相交两直线相交同名投影相交同名投影相交,交点符合点的投影规律交点符合点的投影规律.投影特性投影特性投影特性投影特性: :acV VX XbH HDacdkCAkKdbO OBcabd b a c d kk Ob’Xa’abc’d’dc11’(2’)2⑶ ⑶ 两直线交叉两直线交叉XOB BD DA AC Cbb’aa’c c’’cdd d’’211’(21’(2’)’)21 凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。

(   )(   )a'b'c'd'cabd交叉两直线重影点的可见性判断交叉两直线重影点的可见性判断交叉两直线重影点的可见性判断交叉两直线重影点的可见性判断a b bac d dcABCVHoX433' 4'2'1'1 2X1 2 (3 )4 121(2)4343D例：例：c"d"a'b'abdcc'd'例：例：a'b'a"b"c'd'c"d"abcda"b"例例: : 判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置11dc 11cOXb′a ′c′ba    直角投影规律：直角投影规律： 空间两条相互垂直线之一，平空间两条相互垂直线之一，平行于某投影面时行于某投影面时,则在该面上的投影垂直则在该面上的投影垂直若若 AC⊥⊥AB, AB∥∥H则则 ac⊥⊥ab  ⒌⒌  一边平行于投影面的直角投影一边平行于投影面的直角投影AHBCacb上述结论亦实用于两直线交叉垂直上述结论亦实用于两直线交叉垂直OXb′a′bamnnmBHAbaMNnma'b'c'd'abcdab cd已知已知AB//HAB//H、、ABAB CDCD，，求求cdcd例例: 例例: :求两直线求两直线ABAB、、CDCD之间的距离。

之间的距离≈(≈习题习题P11. 3-17 )P11. 3-17 )aaˊbbˊcˊdˊc(d)nˊmˊm两交叉线间距离两交叉线间距离(n)点、直线习题点、直线习题点点        P6 —— 2、、3P7 —— 4P7 —— 4、、5 5直线直线 P8 P8 P9 —— 6⑴P9 —— 6⑴、、7 7P10 —— 9P10 —— 9、、1010、、1212P11 —— 13P11 —— 13、、1515、、16161. 1. 平面的表示法及形式转换平面的表示法及形式转换⒉⒉   平面相对于投影面的位置平面相对于投影面的位置⒊ ⒊ 平面内的点和直线平面内的点和直线a´b´BACacc"a"b"XHYVZWb三三 平面的投影平面的投影1. 1. 1. 1. 平面的表示法及形式转换平面的表示法及形式转换a'a'b'b'c' c'a ab bc ca'a'b'b'c' c'a ab bc ca'b'c'abca'a'b'b'c' c'a ab bc c几何元素表示法几何元素表示法a'a'b'b'c' c'a ab bc c迹线表示法（了解）迹线表示法（了解）平面的迹线平面的迹线平面的迹线平面的迹线（与投影面的交线）（与投影面的交线）（与投影面的交线）（与投影面的交线）表示法表示法表示法表示法PVPHQ Q HXXVVHPVPHPQ HHQ Q用垂面的积聚投影用垂面的积聚投影( (一条线一条线) )表示平面表示平面平面平面////P P平面平面  P P反映实形反映实形实形性实形性积聚成直线积聚成直线 积聚性积聚性缩小且类似图形缩小且类似图形 类似性类似性P平面平面 P P平面的投影特性平面的投影特性—取决于取决于平面与投影面的倾角平面与投影面的倾角●投影面平行面投影面平行面●投影面垂直面投影面垂直面●一般位置平面一般位置平面铅垂面：铅垂面：    H ∠VH ∠V、、W W正垂面：正垂面：    V ∠HV ∠H、、W W侧垂面：侧垂面：    W ∠VW ∠V、、H H水平面：水平面：∥∥H H正平面：正平面：∥∥V V侧平面：侧平面：∥∥W W⒉⒉ 平面相对于投影面的位置平面相对于投影面的位置特特殊殊位位置置平平面面⑴⑴  投影面平行面投影面平行面正平面正平面水平面水平面侧平面侧平面VWHVWHVWH水平面水平面投影特性投影特性在所平行的投影面上的投影在所平行的投影面上的投影反映实形反映实形另二投影积聚为平行于相应投影轴的线段另二投影积聚为平行于相应投影轴的线段a'b' c'c" a"b"abcVWH正垂面正垂面  投投投投影影影影特特特特性性性性在所垂直的投影面上的投影在所垂直的投影面上的投影积聚成直线积聚成直线，，，，且且反映平面与另两投影面的倾角反映平面与另两投影面的倾角另两投影为另两投影为类似图形类似图形a'b'c'c"a"acbb"VWHPPH铅垂面铅垂面ABCacba'b'a"b" ba  b" cc"c'请同学叙述铅垂面的投影特性请同学叙述铅垂面的投影特性a'b'c'bac⑶⑶   一般位置平面一般位置平面投影特性投影特性      三个投影均为缩小三个投影均为缩小的类似形的类似形 a"b"c"平面与三投影面均倾斜平面与三投影面均倾斜例例: :根据平面的两投影判定平面的位置根据平面的两投影判定平面的位置正平面正平面铅垂面铅垂面侧垂面侧垂面水平面水平面侧垂面侧垂面侧平面侧平面XXa′b′c′abcs′sa″b″c″s″棱锥表面分析棱锥表面分析△△SAC 是是              面面△△SAB 是是              面面一一  般般侧侧  垂垂3. 平面上的点和直线平面上的点和直线直线在平面上的条件直线在平面上的条件•通过平面内两点；通过平面内两点；•或通过平面内一点，且平行于平面内一直线。

或通过平面内一点，且平行于平面内一直线点在平面上的条件点在平面上的条件•点在平面内的某一直线上点在平面内的某一直线上故要在平面内取点，必须先在平面内取直故要在平面内取点，必须先在平面内取直线 基本作图基本作图：：：： ⑴ ⑴ 判定点或直线是否在平面上；判定点或直线是否在平面上； ⑵ ⑵ 在平面上引辅助线定位点在平面上引辅助线定位点 例：点例：点K K 在平面内，已知在平面内，已知k'k'，求，求k k1'1'1k2'2a'c'cabk'b'辅助线（两点法）辅助线（两点法）辅助线（一点一方向法）辅助线（一点一方向法）bacc a k b ●k●abca'b'c'kk'ee'K K点不在点不在ΔABCΔABC上上【例】判定点【例】判定点K K是否在平面是否在平面ΔABCΔABC上？上？例例例例: : : :已知点已知点已知点已知点E E E E在在在在   ABCABCABCABC上，求点上，求点上，求点上，求点E E E E的正面投影的正面投影的正面投影的正面投影ee'a'b'c'cbaXe′dceaba′ b ′c′d′ 【例】已知平面四边形【例】已知平面四边形ABCDABCD，其中，其中DCDC为正平线，试完成平面四边为正平线，试完成平面四边形的水平投影投影。

形的水平投影投影a'a"d"c"c'cabdb'd'b"a'b'a(b)c'd'(d)ca"b"c"d"完成铅垂面正方形完成铅垂面正方形ABCDABCD的的投影投影，，β=30° 正方形正方形ABCD为正垂面，对角为正垂面，对角线线AC为正平线为正平线30°4.4.平面内的投影面平行线平面内的投影面平行线 属于平面的投影面平行线，应符合直线在平面上的几何条属于平面的投影面平行线，应符合直线在平面上的几何条件，又要符合投影面平行线的投影特性件，又要符合投影面平行线的投影特性abca’b’c c’’d’de’e例：过点例：过点A A在平面内作水平线在平面内作水平线ADAD过点过点C C在平面内作正平线在平面内作正平线CECE    属于平面的投影面平行属于平面的投影面平行线可用作线可用作辅助线辅助线，同名线，同名线彼此平行彼此平行    属于平面的投影面平行属于平面的投影面平行线是属于平面又距投影面线是属于平面又距投影面等距离的点的等距离的点的轨迹轨迹    属于平面的投影面平行线还可属于平面的投影面平行线还可用来确定平面的法线、最大斜度用来确定平面的法线、最大斜度线的投影方向此不要求）线的投影方向。

此不要求）例：在平面例：在平面ABCABC内作一条内作一条水平线，使其到水平线，使其到H H面的距面的距离为离为1010n m nm10c a b cababcaˊbˊcˊdˊdeˊe例例: :在在 ABCABC上，过点上，过点C C作正平作正平线，过点线，过点A A作水平线作水平线例例: :已知点已知点K K 在在 平面上，且点平面上，且点K K距离距离H H面面1515，， 距离距离V V 面面1010，试求点，试求点K K的投影mnm'n'rsr's'1015k'k第二章第二章 结束结束平面习题平面习题P12P13 —— 3～7周四交第二章习题周四交第二章习题 P6～～P13（布置的）（布置的）下次（周四）第六章下次（周四）第六章 立体立体        书（书（P99～～P117)。