高中数学——函数的周期性.doc

高中数学——函数的周期性一、知识回忆1．周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一种非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，均有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一种最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．3．有关函数周期性常用的结论(1)若满足，则，因此是函数的一种周期()；(2)若满足，则 ＝，因此是函数的一种周期()；(3)若函数满足，同理可得是函数的一种周期(). （4）如果是R上的周期函数，且一种周期为T，那么．（5）函数图像有关轴对称．（6）函数图像有关中心对称．（7）函数图像有关轴对称，有关中心对称．二、措施规律技巧1．求函数周期的措施求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝计算．递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，因此周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，因此周期T＝2a．2．判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其她性质综合命题．3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．4.有关奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，核心是运用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想．三、例题解说：1、设定义在上的函数满足，若，则．2、已知f（x）是R上的奇函数，对x∈R均有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，若f（﹣1）=﹣2，则f（）等于（　　）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．3、定义在R上的函数的图象有关点成中心对称，且对任意的实数x均有f(x)＝－f，f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋…＋f()＝(　　)A．0 B．－2C．1 D．－44、已知周期函数f(x)的定义域为R，周期为2，且当－1