《线性代数》复习提纲.docx

线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算；N 阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的 混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解 （包括唯一、 无穷多解）； 讨论一个向量能否用向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线 性表示；将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵 及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性第二部分：基本知识一．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵 ――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：① 矩阵乘法一般不满足交换律（若 AB= BA,称A、B是可交换矩阵）；② 矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③ 若 A、 B 为同阶方阵,则 |AB|=|A||B| ；④ |kA|= kn|A|3．矩阵的秩（ 1）定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（ 2）秩的求法 一般不用定义求,而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。

求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩4 .逆矩阵（1） 定义：A、B为n阶方阵，若AB= BA= E,称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；（2） 性质：（AB）—（B」）*（A」）,（AT）」=（A」）T ; （AB的逆矩阵，你懂的）（注意顺序）（3） 可逆的条件：① |A|工0; ②r（A）=n;③A等价于E;（4 ）逆的求解伴随矩阵法 A4=（1/|A|）A* ; （A* A的伴随矩阵~）② 初等变换法（A:E）=（施行初等变换）（E:A‘）5 .用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，贝卩 X= （A'） B;XB=A，则 X=B（A '）;AXB=C，贝S X=（A '）C（B'）二、行列式1．行列式的定义用n2个元素aij组成的记号称为n阶行列式1） 它表示所有可能的取自不同行不同列的 n个元素 乘积的代数和；（2） 展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算—阶| a |= o行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N 阶（ n>=3 ）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行 （列）的各元 素与其对应的代数余子式乘积的和方法：选取比较简单的一行（列），保留一个非零元素，其余元素化为 0，利用定理展开降阶。

特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线 上元素的乘积；（2）行列式值为 0 的几种情况：I 行列式某行（列）元素全为0;n 行列式某两行(列)的对应元素相同；皿 行列式某两行(列)的元素对应成比例；三、线性方程组1．线性方程组解的判定定理：(1) r(A,b) 工无解;(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；(3) r(A,b)=r(A)

3）无穷多组解的求解方法和步骤： 与齐次线性方程组相同4）唯一解的解法： 有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）四、向量组1 ．N 维向量的定义注：向量实际上就是特殊的矩阵(行矩阵和列矩阵)2．向量的运算：(1)加减、数乘运算(与矩阵运算相同)；(2)向量内积 a ' B 二a1b1+a2b2+…+anbn ;(3) 向量长度| a |= Va ' a = V (a1A2+a2A2+ …+an 八根号)V(4) 向量单位化 (1/| a|)；a(5) 向量组的正交化(施密特方法)设a 1 a 2…，an线性无关，则B仁a 1B 2= a - ( a 2'B 1/ p f 1B 3=a3( a 3'p 1/ a 3'p 2/ 1)*112 3．线性组合(1 )定义 若1 =k1 a 1+k2a 2+…+kna,2则称1是向量 组a 1 a 2…，an的一个线性组合，或称 1可以用向 量组al a 2…,an的一个线性表示2)判别方法 将向量组合成矩阵 记A = ( a] a 2 …,a n, B=( al , a2 …,a n, 1)若r (A)=r (B),贝S 1可以用向量组al a 2…,an的 一个线性表示；若r（A）工r （B）贝S B不可以用向量组a 1 a 2…，an 的一个线性表示。

3 ）求线性表示表达式的方法：将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一 列元素就是表示的系数4．向量组的线性相关性（1）线性相关与线性无关的定义设 k1 a 1+k2 a 2+…+kn a n=0,若 k1,k2, …， kn 不全为 0，称线性相关；若 k1,k2, …， kn 全为 0，称线性无关2）判别方法：① r（ a, a 2…，a n）＜n,线性相关；r（ a,l a 2…，a n）=n线性无关② 若有 n 个 n 维向量，可用行列式判别：n阶行列式aij = 0,线性相关（工0无关）（行列式太 不好打了）5．极大无关组与向量组的秩（1 ）定义 极大无关组所含向量个数称为向量组的秩(2)求法设A= ( a 1 a 2…，a n),将A化为阶梯阵， 则 A 的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在 列的向量就构成了极大无关组五、 矩阵的特征值和特征向量1. 定义 对方阵A,若存在非零向量X和数入使AX=入X 则称入是矩阵A的特征值，向量X称为矩阵A的对应于 特征值入的特征向量2. 特征值和特征向量的求解：求出特征方程|入I|=0的根即为特征值，将特征值入 代入对应齐次线性方程组(入-A)X = 0中求出方程组的所 有非零解即为特征向量。

3. 重要结论：( 1 ) A 可逆的充要条件是 A 的特征值不等于 0；(2) A与A的转置矩阵A'有相同的特征值；( 3)不同特征值对应的特征向量线性无关六、 矩阵的相似1 .定义 对同阶方阵A、B,若存在可逆矩阵P,使PA-1AP=B，则称A与B相似2 .求A与对角矩阵A相似的方法与步骤(求 P和A):求出所有特征值；求出所有特征向量； 若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则 A 可 对角化（否则不能对角化），将这 n 个线性无关特征向 量组成矩阵即为相似变换的矩阵 P,依次将对应特征值构 成对角阵即为A3 .求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵： 方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特 征向量正交化且单位化七、二次型1 .定义 n元二次多项式f（x1,x2, , -xn）二刀aijxix称为 二次型，若aij=0（i zj）则称为二交型的标准型2. 二次型标准化： 配方法和正交变换法正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵 Q, QA-1=Q',即正交 变换既是相似变换又是合同变换3. 二次型或对称矩阵的正定性：（ 1 ）定义（略）；（ 2 ）正定的充要条件：① A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0;② A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0;。