2.1度量空间.doc

第2章 拓扑空间2.1 度量空间2.1.1 度量空间的一些基本概念定义2.1.1 设是一个非空集合，为一个映射，若对，有(1) ，并且； （非负性）(2) ； （对称性）(3) ； （三角不等式）则称为的度量(metric)；成为度量空间或距离空间，并且当度量自明而无须特别指出时，径称为度量空间；对，实数称为从点到的距离度量空间的任意非空子集，就以中的度量作为上的度量，则也是度量空间，称（或）为的子空间 例2.1.1 离散度量空间设为任一非空集，定义如下：对，容易验证确为的度量，并称为离散度量空间(discrete metric space)定义2.1.2 设为度量空间，，对任给的实数，集合称为的ε-邻域（或：以x为中心，以ε为半径的开球; 或：以x为中心，以ε为半径的（球形）邻域，简称为的球形邻域）注1 在一般的度量空间中，球形邻域可能只含一点如：离散度量空间，对于不同的两点，恒有，于是对任意正数，每一点的-邻域中只含有一点，即. 注2 若在一个空间中同时定义了两个度量及，且，则按及分别所成的度量空间应该看成不同的度量空间。

一般地，若中不止一点，则在中可以引进许多度量，成为不同的度量空间 如：例2.1.2 度量空间中的度量 的定义分别为：对,;;.且.但按定义的度量，球形邻域是平面上的开圆盘；按定义的度量，球形邻域是平面上的开正方形；按定义的度量，球形邻域是平面上的开菱形, 且.举为例说明定义2.1.3 设为度量空间的子集，，若存在的球形邻域包含于，则称为的内点若的每一点都是的内点，则称是的ρ-开集，简称开集定理2.1.1 度量空间的开集具有下列基本性质：(1) , 都是开集；(2) 任意有限个开集的交是开集；(3) 任意开集族的并是开集定义2.1.4 设是度量空间，，若存在的开集，满足：，则称为点的邻域定理2.1.2 设是度量空间，，则是点的邻域的充分必要条件是：的某个球形邻域包含于.例2.1.3 设为度量空间，为有限集或没有极限点的可列集，则的每一个子集都是开集证 (1) 设为有限集，是的任一子集，对，取,则的邻域,故是的内点，由的任意性知：是的开集 (2) 设为没有极限点的可列集，设是的任一子集，对，取,则的邻域.若不然，存在，对，，则是的极限点,这与题设矛盾！ 故是的内点，由的任意性知：是的开集。

证毕！定义2.1.5 设是度量空间的点集，若包含在的某个开球中，则称是中的有界集(bounded set)2.1.2 依度量收敛定义2.1.6 设是一个度量空间，. 若当时，，则称点列依度量ρ收敛于 ( converges to in metric ρ)，记作（或：）,并称为收敛点列 (convergent sequence)，称为点列的极限 (limit).定理2.1.3 在度量空间中，任何收敛点列的极限是惟一的证 设都是点列的极限，则由定义2.1.1得.当时，，于是. 因此 证毕！定理2.1.4 若，，则. 即：度量是两个变元的连续函数证 （自习！）定理2.1.5 设为度量空间中收敛的点列，则是有界的证 设，则由定义2.1.3得：对，当时，. 取,则. 由定义2.1.7知：是有界集 证毕！例2.1.4 在维实向量空间（称为n维Euclidean空间）中，对，，令, (2.1.1)易验证满足定义2.1.1中度量的3个条件，因此(2.1.1)中的是的度量（或：距离），称为Euclidean距离，按度量(2.1.1)成为度量空间.设向量序列，其中, , 由知：在中依度量收敛（即：）就是依坐标收敛。

注 可以验证：对，也是的度量.例2.1.5 设是非负整数，是闭区间上连续，在中处处次连续可微的函数全体. 特别地，将简记为. 对，令,容易验证是度量，按上述度量成为度量空间 在中，函数列依度量收敛到函数列在上都分别一致收敛（也称均匀收敛）到(uniformly converges to).特别地，在中，函数列依度量收敛到函数列在上一致收敛（也称均匀收敛）到. 例2.1.6 设（即：实（或：复）数列全体），对，令，容易验证是度量，按上述度量成为度量空间设，其中,, . 可以证明：在中依度量收敛（即：）依坐标收敛到，即：对每个自然数，均有. 例2.1.7 设是单位圆中解析函数的全体对，令，容易验证是度量，按上述度量成为度量空间在中，函数列依度量收敛到函数列在单位圆中内闭一致收敛（也称内闭均匀收敛）到（即：函数列在单位圆中任一闭区域上一致收敛到）(internally closed and uniformly converges to in the unit circle ).例2.1.8 设是测度空间，是可测集，，是上实值（或：复值）有界可测函数全体.当在上几乎处处相等时（即：将看成中的同一个函数）。

对，令.因为是上的有界可测函数，，所以有确定的意义可以验证是度量，按上述度量成为度量空间在空间中，函数列依度量收敛到（即）依测度收敛到（即：）( converges to in measure )注 综上所述，虽然在一些集上可以随心所欲地根据度量的定义引进度量，从而使得 这些集成为度量空间，但是这样做并不见得有什么意义有意义的往往是为了某个目的而引进所需的度量在分析数学以及应用中常用到的空间还是函数空间或者序列空间等为了要描述和研究函数列的某种特定的收敛概念:依坐标收敛(convergence in coordinate)、（内闭）一致收敛(internally closed uniform convergence)、一致收敛(uniform convergence)、平均收敛(mean convergence)依测度收敛(convergence in measure)等等, 而引进相应的度量才能做到有的放矢.2.1.3 连续映射定义2.1.7 设是度量空间，为一映射，，若对的任意球形邻域，存在的球形邻域，使得，则称映射在点x0处连续若在的每一点处都是连续的，则称映射为(从到内的)连续映射。

定理2.1.6 设是度量空间，为一映射，，则(1) 在点处连续的每一邻域的原象都是的邻域2) 为连续映射的每一开集的原象都是的开集证 （自证！）例2.1.9 设离散度量空间，是任一度量空间，则任一映射都是连续映射.证 对中的任意开集，. 由例2.1.3知：的所有子集都是的开集，因此是的开集，故是连续映射证毕！注 从定理2.1.6可以看出：一个映射是否连续，或者在某一点是否连续，本质上只与度量空间中的开集有关 (注意：邻域也是经过开集定义的(见定义2.1.4))，这就导致我们甩开度量的概念，参照度量空间中开集的基本性质(定理2.1.1)建立拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的概念。