梯形中常见辅助线的作法.docx

    梯形中常见辅助线的作法    解决梯形有关问题，常常是通过添加恰当的辅助线，构造三角形和平行四边形，把梯形问题转化为三角形和平行四边形问题，利用三角形和平行四边形的有关性质加以解决下面列举数例，说明梯形中常见辅助线的作法一、从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形例1.已知：如图（1），等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，BC=7，求∠B的度数分析：如过A作AE∥CD，可得平行四边形AECD，则△ABE为等边三角形，从而得∠B=60°解：（略）注意：本题还可以过B、C、D三点作腰的平行线二、从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，构造平行四边形和三角形例2.已知：如图（2），在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BD，求证：AB=CD分析：作DE∥AC交BC的延长线于E点，则四边形ACED为平行四边形易证DE=AC=BD，△DBE为等腰三角形，∠1=∠2=∠E；又AC=BD，BC=BC，∴△ABC≌△DCB，∴AB=CD证明：（略）注意：当对角线相等或垂直时，常作梯形对角线的平行线，构造平行四边形、等腰三角形或直角三角形三、从梯形同一底的两个端点作另一底的垂线，把梯形转化为一个矩形和两个直角三角形（如果是等腰梯形，所得的两个直角三角形全等）。

例3.如图（3），已知在等腰梯形ABCD中，一个角是45°，高为h米，中位线长为m米，求两底的长分析：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，则四边形AEFD为矩形，Rt△AEB≌Rt△DFC又∠B=∠C=45°，∠AEB=∠DFC=90°，BE=FC=h，EF=AD由，（AD+BC）=m得：AD+BC=2mAD+BC=AD+h+AD+h=2m；∴AD=m-hBC=h+（m-h）+h=m+h解：（略）四、延长梯形两腰相交于一点，构造出两个三角形（如果是等腰梯形，那么所得的两个三角形是分别以梯形的两底为底的等腰三角形）例4.已知：如图（4），在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，求证：AB=CD证明：延长BA、CD相交于E点由AD∥BC，知∠1=∠B，∠2=∠C；由∠B=∠C知EB=EC；而∠B=∠C，∴∠1=∠2；则EA=ED，∴AB=CD五、已知梯形一腰中点时，过此中点作另一腰的平行线，构造出全等三角形和平行四边形例5.已知：如图（5），梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，EF⊥AB于F求证：S梯形ABCD=EF·AB证明：过E作MN∥AB，交AD的延长线于M，交BC于N，则四边形ABNM为平行四边形。

∵EF⊥AB∴S平行四边形ABNM=AB·EF∵AD∥BC∴∠M=∠MNC又∵DE=CE，∠1=∠2，∴△CEN≌△DEM∴S△CEN=S△DEM，∴S梯形ABCD=S五边形ABNED+S△NCE=S五边形ABNED+S△DEM=S平行四边形ABNM=EF·AB总之，对于梯形的有关问题，要根据题目的题设和结论，灵活添加辅助线，力求用最简洁的方法作出正确解答  -全文完-。