2.3数学归纳法2.3数学归纳法2.ppt

对于用不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题或猜想,可尝试采用数学归纳法来证明它们的正确性：,(1)证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时结论正确; (2)假设当n=k(kN* ,k n0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确. 在完成了这两个步骤以后,就可以断定这个命题或猜想对于从n0开始的所有正整数n都正确.,找准起点,奠基要稳,注:“观察、猜想、证明”是解决许多问题的有效途径.,用上假设,递推才真,写明结论 才算完整,数学归纳法:是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法.,1.用数学归纳法证明等式 1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时， 当n1时，左边所得项是 ； 当n2时，左边所得项是_.,1+2+3,1+2+3+4+5,2.用数学归纳法证明:,在验证n1成立时，左边所得项为( ),(A)1,(B)1+a,(C)1+a+a2,(D)1+a+a2+a3,C,3.求证:,3.求证:,证:(1)当n=1时,左边= ,右边= ,由于 故不等式成立.,(2)假设n=k( )时命题成立,即,则当n=k+1时,即当n=k+1时,命题成立.,由(1)、(2)原不等式对一切 都成立.,例是否存在常数a、b,使得等式: 对一切正整数n都成立,并证明你的结论.,点评:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.,解:令n=1,2,并整理得,以下用数学归纳法证明:,练习1.用数学归纳法证明:,练习2.证明不等式:,用数学归纳法可以解决许多有关正整数的命题或猜想,练习3 :平面内有n (n 2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数 为多少?并证明.,证:(1)当n=2时, 左边= 不等式成立.,(2)假设当n=k(k2)时不等式成立,即有:,则当n=k+1时,我们有:,即当n=k+1时,不等式也成立.,由(1)、(2)原不等式对一切 都成立.,练习1.用数学归纳法证明:,证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2, 不等式显然成立.,(2)假设当n=k时不等式成立,即有:,则当n=k+1时,我们有:,即当n=k+1时,不等式也成立.,根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都 成立.,练习2.证明不等式:,n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 f (1)=0 f (2)=1 f (3)=3 f (4)=6 f (5)=10,猜想：f (1)=0，f (2)=0+1，f (3)=1+2，f (4)=1+2+3， f(5)=1+2+3+4 , ,f (n)=1+2+(n-1)=,n(n-1)，,然后用数学归纳法证明猜想的关键是： 求初始值f (1)=0，建立递推关系f (n+1)=f (n)+n,练习3.平面内有n (n 2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数 为多少?并证明.,解:如图,练习3.平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点个数是f(n)= n(n-1).,当n=k+1时：第k+1条直线分别与前k条直线各交于一点，共增加k个点，,由（1）、2）可知，对一切nN原命题均成立。

证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1, 而f(2)= 2(2-1)=1, 命题成立.,k+1条直线交点个数=f(k)+k= k(k-1)+k= k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)(k+1)-1=f(k+1),即当n=k+1时命题仍成立2)假设n=k(kN,k2)时,k条直线交点个数为f(k)= k(k-1),。