高一数学函数模型及其应用复习例题讲解.docx

3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型一、点击考点1．数学模型为一次函数的问题一次函数也是最常见的一种函数模型，在初中就已经接触过［例］某人开汽车以 60km/h 的速度从 A 地到 150km 远的 B 地，在 B 地停留 1h 后，再以 50km/h 的速度返回 A 地，把汽车离开 A 地的距离 x (km)表示为时间 t (h) （从 A 地出发时开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速 v (km/h) 表示为时间 t (h)的函数，并画出函数的图象 .［解］汽车离开 A 地的距离 x km 与时间 t h 之间的关系是：60t, t [0,2.5],x 150, t (2.5,3.5],150 50(t 3.5), t (3.5,6.5].它的图象右如图所示 .速度 v km/h 与时间 t h 的函数关系是：60, t [0,2.5),x 0, t [2.5,3.5),50, [3.5,6.5).它的图象如右图所示2．数学模型为二次函数的问题二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值（或最小值） ，故常常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。

［例］渔场中鱼群的最大养殖量为 m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量， 必须留下适当的空闲量， 已知鱼群的年增长量 y 吨和实际养殖量 x 吨与空闲率的乘积成正党组织，比例系数为 k(k 0).（ 1）写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（ 2）求鱼群年增长量的最大值；（ 3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围 .［例］（ 1） ykx(1x )(0x m) ；（ 2）∵ yk ( x2mk (xm)2km .mx)mm24mkm∴当 x时， y 取得最大值.24（ 3）依题意，为保证鱼群留有一定的生长空间，则有实际养殖量与年增长量的和小于最大养殖量，即 0 x y m.因为当 xm 时， y最大km ，所以联想到“ f ( x, y)f max (x, y) a ”这一等价转24化命题，则有m km0 m ，解得 2 k 2.2 4但 k 0 ，从而得 0 k 2.思考：本题中空闲养殖量与实际养殖率的关系如何？而实际养殖率与实际养殖量、 最大养殖量的关系又是如何？3．数学模型为指数函数的问题一般地，形如y ax(a0且a 1)的函数叫做指数函数，而在生产、生活实际中，以函数 y b ?axk 作为模型的应用问题很常见 .［例］某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少1 ，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已3知： lg 20.3010, lg 30.4771 ）［分析］每次过滤杂质含量降为原来的2 ，过滤 n 次后杂质含量为2? (2) n ，结合按31003市场要求杂质含量不能超过0.1%，即可建立数学模型 .［解析］依题意，得2 ? ( 2)n1，即 ( 2)n1.则 n(lg 2lg 3)(1 lg 2) ，100310003201lg 27.4, 考虑到 nN ，即至少要过滤 8 次才能达到市场要求。

故 nlg 2lg 34．数学模型为对数函数的问题形如 ylog a x （ a0 且 a1 ）的函数叫做对数函数，a 1 时，此函数为增函数；0 a 1 时，此函数为减函数，虽然直接以对数函数作为模型的应用问题不是很多，但我们知道，对数运算实际是求指数的运算，因此在指数函数模型中，也常用对数计算［例］在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v (m/s) 和燃料的质量 M (kg)、火箭（除燃料外） 的质量 m (kg)的关系 v 2000ln(1M ). 当燃料质量是火箭质量的多少倍时，m火箭的最大速度可达12km/s ？［解］由12000 2000ln(1 M ) ，即 6ln(1M ),1Me6，利用计算器算得Mmmm402.m［例］某城市现有人口100 万，如果 20 年后该城市人口总数不超过120 万，年自然增长率应控制在多少以内？［解］设年自然增长率为x ，依题意有：100 (1x)20120,(1 x)201.2,20lg(1x)lg 1.2,lg(1 x)1 lg 1.2.2由计算器计算得 x 0.9 %答：年自然增长率应控制在 0.9%以内5．比较函数模型的增长趋势比较函数模型的增长趋势一般有两条途径： （ 1）不等式的方法， 即作差比较或解不等式；（2）结合函数的图象，数形结合的方法。

［例］为了发展电信事业方便用户， 电信公司对移动采用不同的收费方式， 其中所使用的 “便民卡” 和“如意卡” 在某市范围内每月 （ 30 天）的通话时间 x (分 )与通话费 y (元 ) 的关系如图所示 .（ 1）分别求出通话费y1 、 y2 与通话时间 x 之间的函数关系式；（ 2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡比较使用.［分析］由图形可知，函数关系是线性关系，因此，可以用一次函数解决实际问题.［解］（ 1）由图象可设 y1 k1x29, y2 k2x ，把点 B(30,35) 、 C(30,15) 分别代入所设两函数式中得 k11 ,k21 . ∴ y11 x 29, y21 x.5252（ 2）令 y1y2 ，即 1 x 291 x ，即 x 96 2 .96 2 时， y1523当 xy2 ，两种卡收费一致；3当 x96 2时， y1y2 ，即“如意卡”便宜；3当 x96 2时， y1y2 ，即“便民卡”便宜 .36、分段函数问题；［考题 1］“依法纳税是每个公民应尽的义务” ，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的：总收入不超过1000 元的，免征个人工资、薪金所得税；超过1000 元部分需征税，设全月纳税所得额（所得额指工资、薪金中应纳税的部分）为x, x全月总收入－ 1000 元，税率见下表：级数全月应纳税所得额 x税率1不超过 500 元部分5%2超过 500 元至 2000 元部分10%3超过 2000 元至 5000 元部分15%⋯⋯⋯45%9超过 100000 元部分（ 1）若应纳税额为 f ( x) ，试用分段函数表示 1— 3 级纳税额 f (x) 的计算公式 .（ 2）某人 2000 年 10 月份工资总收入为 4200 元，试计算这个人 10 月份应纳个人所得税多少元？［解析］（ 1）依税率表，有第一级： x ?5%,第二级： (x 500) ?10% 500 ? 5%,第三级： (x 2000) ?15% 1500 ?10% 500 ? 5%.0.05x(0x500),即 f (x)0.1(x500) 25(500x2000),0.15(x2000)175 (2000x 5000).（ 2）这个人 10 月份纳税所得额x420010003200,f (3200)0.15(32002000)175355.答：这个人10 月份应缴纳个人所得税355 元。

［考题 2］某公司生产一种产品每年投入固定成本0.5 万元，此外每生产100 件这种产品还需要增加投资0.25 万元，经预测知，市场对这种产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t （单位：百件）时，销售所得的收入约为5t1 t 2 （万元） .2（ 1）若该公司的年产量为x （单位：百件） (x0) 时，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为当年产量x 的函数 .（ 2）当该公司的年产量多大时，当年所得利润最大？［解析］（ 1）当 0x5 时，产品全部出售，当x 5 时，产品只能出售500 件 .(5x1 x2)(0.5 0.25x)(0 x5),∴ f (x)21(50.25x)(x5).552 ) (0.52（ 2）当 0x5 时，f (x)(x29.5x)0.519.5285.752(x),22。